Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

4.3. О недостатках принципа большинства

Одним из самых известных и, по-видимому, самых древних принципов выбора результирующего отношения является принцип большинства. Принцип этот состоит в следующем. Пусть выданы N ранжировок m объектов: r1, ..., rN. В этом случае на первое место в результирующей ранжировке попадает объект, который большинство экспертов поставили на первое место; на второе - объект, который большинство поставили на второе и т. д.

Пусть, например, выданы три ранжировки четырех объектов:


В результирующей ранжировке объекты получат следующие ранги:


ибо большинство первое место отвело первому объекту, второе место - второму, третье - четвертому и четвертое - третьему.

Однако в еще более ранних исследованиях по проблеме выбора наилучшей ранжировки (объектов), которые принадлежат французским ученым Жану Антуану Кондорсе (1743 -1794) и Жану Шарлю Борда (1733-1799)*, указано на недостаточность процедуры определения результирующего отношения по принципу большинства.

* (Математик и философ Жан А. Кондорсе - автор трактата "Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума", в котором он предсказал возможность существенного продления жизни человека.)

Приведем пример ([15]), иллюстрирующий точку зрения Кондорсе. Допустим, что рассматриваются двадцать объектов (альтернатив) ai (i = 1, ..., 20) и их ранжировки, высказанные десятью экспертами:


Здесь для большей наглядности альтернативы a1 размещены соответственно занятым в каждой ранжировке местам. По правилу большинства в этом примере наилучшей должна быть признана альтернатива a2, хотя очевидно, что с большим успехом она может быть признана наихудшей альтернативой.

Иногда при использовании правила большинства вводят дополнительные требования, позволяющие устранить указанный недостаток, В частности, наилучшей может быть объявлена альтернатива, которую считают наилучшей не менее половины экспертов. Между тем в реальных экспертизах такая ситуация случается не очень часто. Кондорсе был предложен следующий принцип выбора наилучшей ранжировки. На основании полученных от экспертов ранжировок для каждой пары альтернатив ai, aj вычисляется величина Sij - число экспертов, считающих, что ai лучше aj. Находится, соответственно, и величина Sij. Если Sij>Sji, то альтернатива ai считается более предпочтительной, чем aj (символически факт "ai предпочтительней, чем aj" записывается так: ai> aj). Альтернатива ai объявляется наилучшей альтернативой - альтернативой Кондорсе - если Sij>Sji для всех j≠i В рассмотренном выше примере такой альтернативой является a1.

Однако при использовании принципа выбора Кондорсе может возникать указанный им же парадокс, являющийся следствием нетранзитивности коллективных предпочтений. Под нетранзитивностью понимается нарушение свойства транзитивности, т. е. следующий факт: при a1>a2 и a2>a3 все же a3>a1.

Проиллюстрируем парадокс Кондорсе на примере. Допустим, что три эксперта проранжировали три альтернативы следующим образом:


В этом случае S12>S21, S23>S32, но S13<S31, следовательно, a1>a2, a2>a3, но a3<a1, и потому альтернативы Кондорсе в этом случае не существует.

Заметим, что число экспертиз, приводящих к парадоксу Кондорсе, в среднем немного меньше 1/10 общего числа экспертиз при их фиксированном числе. В реальных задачах, когда мнения экспертов могут сильно отличаться друг от друга, вероятность возникновения этого парадокса даже выше 1/10.

Другой способ усовершенствования принципа большинства был предложен Борда и состоит в следующем. Объектам, проранжированным экспертом, приписывают "веса": последнему - вес, равный нулю, предпоследнему - единице и т. д.

Если через si обозначить сумму весов, приписанных альтернативе ai всеми экспертами, то результирующим объявляется отношение = (ai1, ai2, ..., ain), для которого si1≥si2≥ ... ≥ sin. Способ Борда также не лишен недостатков. Например, альтернатива Кондорсе, т. е. лучшая любой другой при парном сравнении, может оказаться не выбранной в качестве наилучшей по принципу Борда.

Рассмотрим простой пример. Допустим, что пять экспертов проранжировали объекты a1, a2, ..., a5 следующим образом:


Лучшим по принципу парных сравнений Кондорсе является объект a1 (проверьте сами!). Однако по принципу Борда он будет хуже a2, так как s1 = 15, a s2 = 16.

Указанных в этом разделе недостатков лишен принцип выбора, предложенный Кемени. Как уже отмечено, этот принцип основан на выборе среднего отношения (ранжирования), наименее удаленного от высказанных экспертами. Ниже будут предложены разработанные авторами методы отыскания среднего при судействе фигурного катания.

предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru