Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

3.9. Воспользуемся векторными операциями

Пусть x = (x1, ..., x5) - некоторый пятимерный вектор, а А - заданная матрица пятого порядка. Произведением вектора х на матрицу А называют (по определению) вектор-строку x' = (x'1, ..., x'5) в которой каждая координата x' равна скалярному произведению вектора x на i-й вектор-столбец матрицы А. Например, при умножении вектора x на нашу матрицу перехода T получим

x'1 = x1*1 + x2*0,6 + x3*0 + x4*0 + x5*0,
x'2 = x1*0 + x2*0 + x3*0,6 + x4*0 + x5*0,
x'3 = x1*0 + x2*0,4 + x3*0 + x4*0,6 + x5*0,
x'4 = x1*0 + x2*0 + x3*0,4 + x4*0 + x5*0,
x'1 = x1*0 + x2*0 + x3*0 + x4*0,4 + x5*1.

Пусть, далее, p0 = (p10, ..., p05) - наше начальное распределение вероятностей для состояний, показанных на рис. 4, а T - матрица переходов. Какова вероятность того, что после первого шага (розыгрыша первого очередного мяча) счет станет, например, "ровно"?

Из состояния "игра АВТОРА" в состояние "ровно" переход осуществляется с вероятностью 0 (гейм завершен), из состояния "больше" - с вероятностью 0,4, из "ровно" - с вероятностью 0, из "меньше" - с вероятностью 0,6, из "игра ЧИТАТЕЛЯ" - с вероятностью 0. По формуле полной вероятности находим, что после первого шага

p13 = P("ровно") = p01*0 + p02*0,4 + p03*0 + p04*0,6 + p05*0.

Таким образом, p3(1) оказывается скалярным произведением вектора p0 начального распределения на третий столбец матрицы T.

Проводя аналогичные рассуждения для остальных четырех состояний, заключаем, что после первого разыгранного мяча вероятности вновь возникающих состояний можно найти как соответствующие компоненты вектора

p0T = p(1) = (p1(1), p2(1), p3(1), p4(1), p5(1)).

Повторяя те же операции над векторами p0T = p(1), p(2) = p(1)T, ... получаем, что после n разыгранных мячей соответствующие вероятности окажутся компонентами (p1(n), p2(n), p3(n), p4(n), p5(n) вектора*)

p(n) = p(n-1)T = (p0T)T*...*T = p0Tn.

* (Tn - матрица T, возведенная в n-ю степень.)

Можно найти* так называемые предельные вероятности p*1 и p*5 (вероятности выигрыша гейма АВТОРОМ и ЧИТАТЕЛЕМ при неограниченном возрастании n), которые в нашем примере равны 0,736 и 0,264 соответственно.

* (В теории марковских цепей (при некоторых предположениях о матрице переходов T) доказывается существование предельных вероятностей.)

Заметим, что при произвольных вероятностях p и q (p + q = 1) выигрыша мяча АВТОРОМ и ЧИТАТЕЛЕМ соответственно, использовав те же рассуждения, можно установить, что после розыгрыша четырех или пяти мячей предшествующие периоду случайного блуждания вероятности равны:

p01 = p4 (1 + 4q); p02 = 4p3q2; p03 = 6p2q2; p04 = 4p2q3; p05 = q4(1 + 4p).

Если, например, p = q = 1/2, то p01 = 3/16; p02 = 1/8; p03 = 3/8; p04 = 1/8, p05 = 3/16 и вектор p0 = (3/16, 1/sup>/8sub>, 3/8, 1/8, 3/16).

предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru