3.5. Начальные понятия теории вероятностей

Построим математическую модель игры в теннис и с ее помощью разберемся в некоторых вопросах, касающихся структуры теннисного матча.

Прежде всего: что принять за показатель качества игры отдельного теннисиста? По-видимому, долю мячей, которые он в среднем выигрывает. Здесь нам придется воспользоваться рядом понятий и элементарных фактов теории вероятностей. О них можно прочитать в [7; 8]. Тем не менее напомним их.

В качестве испытания J рассмотрим розыгрыш отдельного мяча. Это испытание может иметь для рассматриваемого игрока два взаимно исключающих исхода: мяч выигран (событие А) или мяч проигран (событие В).

Частотой случайного события А (соответственно В) в рассматриваемой серии из n испытаний принято называть отношение m/n числа m тех испытаний, в которых наступило событие А (соответственно В), к их общему числу n. Естественно, что розыгрыш различных мячей осуществляется в различных условиях. Но даже если эти условия оказались бы одинаковыми, трудно было бы найти закономерность по результату розыгрыша отдельного мяча (испытания J). В то же время, как показывают эксперименты, при рассмотрении каждой достаточно длинной последовательности из п испытаний частота m/n появления некоторого исхода А мало отличается от некоторой величины P(А). В этом факте проявляется свойство так называемой статистической устойчивости частоты. При этом величина P(А) принимается за вероятность события А.

Чем большее число испытаний n проводится, тем меньше частота m/n отклоняется от вероятности P(А). Этот неоднократно проверенный экспериментально факт находит математическое подтверждение в теореме Бернулли (одной из форм закона больших чисел) (см. [3], с. 69). Вот почему при проведении большого числа испытаний частоту m/n принимают за приближенное значение вероятности Р(А). Заметим, что всегда 0≤Р(А)≤1.

Будем считать, что для каждого игрока известны вероятность Р(А) того, что мяч им будет выигран, и вероятность Р(В) того, что мяч будет проигран^*.

^* (В рассматриваемой ситуации вероятность Р(А) является, конечно, величиной относительной: она зависит от того, с кем данный игрок встречается.)

Естественно, что

Суммой (объединением) А + В (или A∪B) событий называют событие, которое реализуется как при исходах, приводящих к А, так и при исходах, приводящих к В. При этом исходы, которые приводят к А и В одновременно, считаются один раз.

Произведением (пересечением) АВ (или A∩B) двух событий называется событие, реализующееся при тех и только тех исходах, которые приводят как к А, так и к В.

События А и В несовместны, если их произведение является событием невозможным: его вероятность равна нулю.

В нашем случае испытание J приводит лишь к двум несовместным исходам (выигрыш или проигрыш мяча). Их сумма А + В - событие достоверное: его вероятность равна единице: Р(А + В) = 1, а произведение АВ - событие невозможное: Р(АВ) = 0.

Формула (1) - частный случай теоремы сложения вероятностей: если исходы А и В испытания J несовместны, то вероятность суммы А + В исходов А и В равна сумме вероятностей этих исходов: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Теорема сложения вероятностей обобщается на тот случай, когда испытание приводит к любому конечному числу В¹, ..., B_k попарно несовместных исходов (т. е. каждое произведение Bt_iB_j при i≠j - событие невозможное):

Для дальнейшего важно понятие условной вероятности Р(А/В) события А при условии, что имеет место событие В: условной вероятностью Р(А/В) называют отношение числа тех исходов испытания J, приведших к А, которые приводят и к В, к числу всех исходов, приводящих к В. Из определения следует, что Р (А/В) = Р(АВ)/Р(В).

Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность Р(А/В) равна безусловной вероятности р (А), т. е. Р (А/В) = Р (А). Из предыдущего вытекает, что для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей:

Для зависимых событий

Напомним, наконец, необходимую нам в дальнейшем формулу полной вероятности. Пусть события B¹, ..., B_k попарно несовместны и событие А имеет место, когда возникает по крайней мере одно какое-либо из событий B¹, ..., B_k. Тогда справедливо тождество

и формула полной вероятности

или