2.2. Каковы особенности прикладной математики?

Говоря теперь о чистой и прикладной математике, мы будем, с одной стороны, иметь в виду "академическую" математику, изучаемую на математических факультетах университетов и целиком основанную на дедуктивном методе, а с другой стороны - математику в том виде, который она приобретает в процессе приложений.

Естественно, что содержание многих понятий, утверждений, методов и в чистой, и в прикладной математике одинаково или почти одинаково (пример - теорема Пифагора). Однако сейчас мы сосредоточим внимание на различиях.

Существование решения. Вопрос "имеет ли данная задача решение" не так прост, как может показаться на первый взгляд; и зачастую "чистый" и "прикладной" математики дают на него прямо противоположные ответы. Не углубляясь в философские и логические дебри, поясним сказанное на примере.

Американские студенты увлекаются игрой в "гекс". Играют двое на четырехсторонней доске из правильных шестиугольников (в качестве доски, например, можно использовать кафельный пол) фишками двух цветов: "черными" и "полосатыми". Обычно размеры доски - 11×11 шестиугольников (см. рис. 1). Две противоположные стороны доски объявляются "черными", две другие - "полосатыми". Игроки по очереди выкладывают свои фишки: один - "черные", другой - "полосатые", причем фишку можно класть на любое свободное поле. За каждым из игроков закреплена пара сторон доски - одинаковых по цвету с его фишками. Цель каждого игрока - соединить связным путем свои стороны своими фишками.

Рис. 1

Естественно поставить вопрос: а существует ли выигрышная стратегия для первого или второго игроков ("стратегия" состоит в указании хода в любом уже создавшемся положении)? На этот вопрос дал ответ известный американский математик Дж. Нэш: он доказал, что существует выигрышная стратегия для первого (начинающего) игрока и не существует для второго. Приведем схему его остроумного доказательства.

Прежде всего, можно доказать (мы предоставляем это читателю), что данная игра обязательно заканчивается выигрышем одного из игроков, т. е. ничьих не бывает. Считая это известным, докажем существование выигрышной стратегии для первого игрока методом "от противного", т. е. допустим, что такой стратегии нет. Это означает, что, как бы ни старался первый игрок, второй может уйти от поражения, т. е. в силу невозможности ничьих выиграть. Но тогда . второй игрок имеет выигрышную стратегию (подумайте, почему это так?).

Пусть первый игрок играет таким образом. Он ставит на любое поле первую фишку и затем, не обращая на нее внимания, отвечает на ходы противника, пользуясь выигрышной стратегией второго игрока (как бы считая себя вторым игроком). Так он продолжает до тех пор, пока ему в силу этой стратегии не понадобится место, уже занятое первой фишкой. В этот момент он ставит фишку на любое свободное место, а дальше опять играет, не обращая на нее внимания, пользуясь выигрышной стратегией второго игрока и т. д. В результате после каждого своего хода первый игрок получает позицию, предусмотренную стратегией для второго игрока, да еще впридачу одно накрытое поле. Значит, его противник очередным ходом не может закончить партию, как бы он ни ходил. А так как ничья невозможна, то первый игрок обязательно доведет партию до своей победы, вопреки предположению. Полученное противоречие доказывает существование выигрышной стратегии для первого игрока; а отсюда ясно, что у второго игрока такой стратегии не может быть.

Казалось бы, задача о выигрышной стратегии полностью решена. Но тут приходит игрок и спрашивает у математика: "Как же я должен играть, чтобы наверняка выиграть?" Анализ проведенного доказательства позволяет дать только такой ответ: "Перебери все возможные стратегии (их конечное число); в силу сказанного среди них есть по крайней мере одна выигрышная - ею и пользуйся!" "Но как их перебрать? Их ведь так много..." "А это к математике не относится,- возможно, ответит математик,- пусть инженеры изготовят устройство для такого перебора. Я свое дело сделал".

Это - ответ "чистого" математика. "Прикладной" же математик не может не учитывать реальных обстоятельств при построении решения (в данном примере - выигрышной стратегии). Нетрудно проверить, что общее число S всевозможных стратегий (для первого игрока во всяком случае) удовлетворяет оценке:

(напомним, что поле на доске состоит из ста двадцати одного шестиугольника).

Правая часть этого неравенства заведомо превосходит 100¹*100¹²⁰*100¹¹⁸*...*100¹⁰² = 10²²²². Можно быть уверенным, что никогда никакое устройство не сможет осуществить перебор такого количества вариантов!

Итак, перед нами утверждение о существовании решения задачи, вполне правомерное с точки зрения "ортодоксальной" чистой математики, но с точки зрения прикладной математики - неприемлемое. Грубо говоря, расхождение этих двух подходов получилось из-за того, что "ортодоксально" конечное общее число стратегий оказалось практически... бесконечным. Поэтому, хотя абстрактное решение данной задачи и существует (доказано, что у первого игрока есть выигрышная стратегия), "прикладной" математик ответит, что у задачи игры в "гекс" решения нет (нельзя в общем случае указать практически реализуемый алгоритм нахождения этой выигрышной стратегии).

Способ рассуждений. В чистой математике нет понятий "не вполне строгое доказательство" и т. п.; в ней все "не вполне точно определенное" - не определено, "не вполне строго доказанное" - не доказано. При решении любой задачи в чистой математике переходить от одних утверждений к другим можно, исходя из условий этой задачи, только на основе правил строгой логики.

Не то в прикладной математике! Конечно, и в ней дедуктивные рассуждения играют весьма важную роль. Но здесь не менее важны и рассуждения иного рода, которые называют "эвристическими", "правдоподобными", "рациональными" и т. п. Это - рассуждения, неприемлемые с точки зрения чистой математики, но при разумном их применении приводящие к правильным практическим результатам. Такие рассуждения типичны для всех дисциплин (физика, химия, биология, медицина и т. д.), кроме чистой математики; так что в этом отношении прикладная математика находится как бы на стыке математики с этими дисциплинами.

Эвристические рассуждения могут включать аналогии, численные и физические эксперименты, общие выводы на основе анализа типичных случаев (это - так называемая "неполная индукция") и другие подобные способы рассуждений. Все эти способы в чистой математике доказательной силы не имеют, однако в прикладных задачах они вполне правомерны и постоянно применяются.

В прикладных математических рассуждениях за математическими понятиями обычно стоят реальные объекты. Поэтому при решении прикладной математической задачи часто оказываются полезными сведения, не содержащиеся явно в формулировке задачи, но вытекающие из ее "физического смысла".

Однако в ряде случаев наиболее целесообразными, а порой и единственно возможными оказываются дедуктивные методы. Поэтому прикладная математика использует все способы рассуждений.

Почему же все-таки в прикладной математике далеко не всегда удается проводить все построения так же строго, как в чистой? Дело в том, что зачастую эвристическим путем можно получить решения задач именно в тех случаях, когда чисто дедуктивные методы не приводят к цели или требуют колоссальных, неоправданных усилий. Кроме того, переход от реального объекта к его математической модели (об этом см. ниже) всегда является эвристическим и осуществляется лишь с некоторой точностью. Решение математической задачи - это только часть полного исследования.