2.3. Математические модели

Специалист по прикладной математике все время имеет дело с математическими моделями. Моделями могут быть геометрические фигуры, числовые множества, различные уравнения и системы уравнений и т. п., описывающие какие-либо свойства изучаемого реального объекта или явления.

Рассмотрим простой пример. Пусть нас интересует объем жидкости, которую может вместить стоящий перед нами стакан. Этот объем можно найти, например, наполнив стакан и затем вылив воду в специальный сосуд с делениями. Но вот мы говорим, что стакан - это круглый цилиндр с диаметром основания d и высотой h.

Тем самым мы переходим к математической модели, которая дает возможность получить ответ: ^hπd2/₄ без эксперимента, но и без учета несовершенства реальной формы стакана, поверхностного натяжения и т. п.

Конечно, математическая модель описывает реальный объект лишь приближенно. Однако бывают случаи, когда принятая математическая модель описывает реальный объект совершенно неправильно, как говорят, модель оказывается неадекватной реальному объекту. Составление математической модели - дело очень ответственное. Реальный объект может иметь много различных, неравносильных моделей; поиски адекватной и в то же время достаточно простой модели зачастую приобретают драматический характер. Кроме того, изучая модель, мы можем столкнуться с совершенно непредвиденными математическими трудностями.

Всякий научный подход связан с построением модели изучаемого явления. Модель в определенном смысле проще самого объекта; обычно она имитирует не все, а лишь наиболее важные (для данного исследования) его особенности (характеристики) и потому удобнее для изучения. Все зависит от изучаемого объекта (явления, ситуации) и от тех свойств, которые учитываются моделью. Так, математической моделью токов, протекающих в электрической цепи, служит система линейных алгебраических уравнений (например, знакомый из школьного курса физики закон Кирхгофа). Физической моделью, воспроизводящей работу водителя поезда (самолета), является автомашинист (автопилот). Физической моделью строительной конструкции может служить система упругих стержней, а математической моделью последней - система уравнений, связывающих напряжения в этих стержнях. Н. Винер и его сотрудники построили механическую, а затем математическую модель, имитирующую дрожание руки человека с нарушенной координацией движений.

Нет ничего необычного и в построении моделей: каждый инженерный, экономический и иной расчет, выполняемый с привлечением средств и языка математики, является, в сущности, математическим моделированием.

Один и тот же объект (явление, ситуация) может иметь несколько неэквивалентных моделей. Это определяется тем, какие характеристики объекта учитываются в модели. Но даже при учете одних и тех же характеристик возможны различные модификации.

Важнейшее требование к математической модели состоит в ее адекватности изучаемому реальному объекту, т. е. в правильном описании объекта по соответствующим характеристикам. Модель, адекватная по одной системе характеристик, может быть неадекватной по другой. Так, например, в § 3 строится математическая модель игры в теннис, адекватная игре по основной характеристике - по изменению счета в гейме (сете). Однако эта модель не учитывает эмоциональных, психологических факторов и адаптации к игре противника. Затем эта модель уточняется и вводится еще одна характеристика - адаптация или обучение в ходе игры. И все же эта модель остается неадекватной реальному процессу по другим особенностям.

Модель должна быть относительно простой: существующие методы, вычислительные средства (ЭВМ) должны дать возможность провести анализ модели по выбранным характеристикам. Как правило, чем модель адекватней реальному процессу, тем она сложней. Поэтому требования простоты и адекватности в определенном смысле противоположны.

Характеристики моделирования распадаются, в первом приближении, на две категории. Одна из них состоит из величин, поддающихся достаточно точному измерению, управлению. Это - детерминированные величины. Другая категория охватывает величины стохастические, имеющие случайную природу и не поддающиеся точным измерениям. Упомянутая модель игры в теннис содержит стохастические характеристики и описывается в терминах теории вероятностей и случайных процессов. Стохастической является также модель прогнозирования спортивных результатов (§ 5). В то же время модель распределения игровых обязанностей в баскетбольной (хоккейной и т. п.) команде является детерминированной (§ 6).

Математическими моделями, цель которых обосновать принятие в данной ситуации того или иного из возможных решений, занимается важнейший раздел прикладной математики - исследование операций.