2. Что такое прикладная математика?

2.1. О "чистой" и "прикладной" математике

Трудно указать предмет, который вызвал бы в последние годы столь ожесточенные споры среди людей, имеющих отношение к математике. Пока идут эти споры, во всех промышленно развитых странах развернулась широкая подготовка специалистов в области прикладной математики; в частности, и в наших институтах специальность "прикладная математика" превращается в одну из наиболее популярных. В то же время многие выдающиеся специалисты утверждают, что никакой прикладной математики вообще нет...

Что же это за область, "которой нет"? И чем занимаются специалисты в этой (еще неизвестно, существующей ли) области?

Математика начала применяться еще до того, как стала наукой. Простые арифметические и геометрические понятия и закономерности проникали во все области человеческой деятельности. Во времена же расцвета античного мира произошло оформление математики как науки с ее характерным дедуктивным методом, согласно которому все ее утверждения выводятся по строгим логическим правилам из немногочисленных исходных положений, принимаемых без доказательства, как аксиомы. С этого периода началось построение грандиозного здания математики.

Попутно с развитием математики расширялся и круг ее приложений. Многие важные математические понятия и методы были созданы специально для решения прикладных задач и лишь затем анализировались, развивались и обобщались в "чисто математическом" плане. Отдельные дисциплины - небесная механика, теоретическая электротехника, теория прочности, теоретическая физика и некоторые другие - оказались буквально "нашпигованными" математикой.

Однако до последних десятилетий сравнительно сложные разделы математики применялись все же лишь в небольшом числе традиционных областей науки и техники; да и там сложные задачи часто не удавалось довести до практически приемлемого решения.

В наше время электронные цифровые вычислительные машины в корне изменили представление о возможностях применения математики. С помощью ЭВМ были решены многие ранее поставленные математические задачи прикладного характера, а также и новые задачи и проблемы, относящиеся как к традиционным областям приложений, так и к новым областям, где ранее математика не находила применения. Оказалось, что не только конкретные математические результаты, но и сам строй математического мышления приносит неоценимую пользу в самых разных областях науки, техники, экономики, всей человеческой деятельности. Наступает качественно новый период развития математики - период "всеобщей математизации".

И вот стало отчетливо видно, что математика в процессе ее приложений приобретает ряд характерных особенностей, черт, родственных для различных областей приложения и в то же время порой существенно отличающихся от привычных черт "чистой" математики. Традиционное выдвижение на первый план логического совершенства, глубины и общности формулировок далеко не всегда отвечает жестким требованиям современных приложений - своевременности, эффективности, экономичности. Вследствие этого получилось, что специалисты в области "чистой" математики часто оказывались не в состоянии математику эффективно применять. Возникла настоятельная потребность в специалистах нового типа.

Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Таким образом, при достаточно широком взгляде на математику прикладная математика является неотъемлемой частью "математики вообще". При этом не следует представлять себе упрощенно, что будто бы математику можно отчетливо разделить на "чистую" и "прикладную" или что прикладная математика - это математическая дисциплина типа алгебры или геометрии.

Применяться могут самые разнообразные разделы математики, и огромное число математических понятий и методов являются как "чистыми", так и "прикладными" (или "преимущественно чистыми", "преимущественно прикладными" и т. п.), т. е. могут входить как в чисто математические, так и в прикладные исследования. Поэтому более правильно говорить о чистой и прикладной математике не как о разделах математики, а как о ее аспектах, подходах к ней, отвечающих, соответственно, тезисам "математика как цель" и "математика как средство". И оказывается, что многие понятия, методы, утверждения в этих двух подходах не только играют существенно различную роль, но порой наполняются и различным содержанием (см. 2.2).

Широко известен афоризм: "чистая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная - то, что нужно, так, как можно". В действительности не существует бесспорных признаков, по которым можно классифицировать математические конструкции на чистые и прикладные. Все относительно. Так, например, во времена Карла Гаусса (1777-1855) комплексные числа большинством математиков рассматривались как весьма абстрактные объекты. Но прошли годы, возникла теория функций комплексного переменного, и ее аппарат нашел приложения в гидро- и аэродинамике (в расчетах подъемной силы крыла самолета), в теоретической электротехнике и других областях. Абстрактная теория групп, ведущая свое начало от работ Жозефа Лагранжа (1736-1813), нашла изумительное применение в конкретных задачах кристаллографии, теоретической физики, в квантовой механике, в теории кодирования (математической теории передачи сообщений по каналам связи). Существование некоторых элементарных частиц было предвосхищено теорией групп задолго до их фактического обнаружения. Существование позитрона и мезона постулировалось в работах П. Дирака и Юкавы. Свойства этих частиц изучались математическими методами до экспериментального доказательства их существования. В терминах теории групп Феликс Клейн (1849-1925) классифицировал различные разделы геометрии. Понятие группы, наряду с понятиями множества, функции, предела,стало одним из основных в математике. Подобными примерами перерастания чистого в прикладное и обратными процессами история математики очень богата.

Об этом же писал Ф. Клейн^*: "Чисто логические концепции должны составить, так сказать, твердый скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самая жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики - это то же, что искать живое существо с одной только костной основой без мускулов, нервов, сосудов".

^* (Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.- М.: ГТТИ, 1934.)

Пока дисциплин, основанных на систематическом применении математики, было немного, а сами методы этого применения были не слишком сложны, потребности в большом числе специалистов по прикладной математике не было. С легкими математическими задачами справлялись сами представители этих дисциплин, а более трудные и принципиально новые задачи изучали такие великие ученые, как Б. Риман, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов и другие (которые были одновременно специалистами как по чистой, так и по прикладной математике!). Однако в период всеобщей математизации, когда прикладные математические задачи становятся все более сложными и разнообразными, такого сочетания усилий недостаточно: великих ученых не хватает на все задачи! В то же время существенный вклад в решение таких задач из самых разнообразных областей человеческой деятельности сейчас могут внести лишь специалисты с широким математическим образованием, владеющие методами применения математики и обладающие соответствующими интересами и навыками. Это и есть "прикладные" математики. В зависимости от темперамента и обстоятельств они могут специализироваться либо в какой-то определенной области приложения математики, например, использовать математические методы в задачах спорта, либо же, будучи в первую очередь математиками, переходить от одной области к другой; могут работать в составе групп или же самостоятельно.

И, наконец, отметим, что, несмотря на многовековую историю применения математики и огромный опыт такого применения к конкретным задачам, изучение принципов и общих методов этого применения только начинается. Возможно, некоторые из наших читателей примут участие в изучении, систематизации и совершенствовании этих принципов и методов, т. е. в оформлении своеобразной дисциплины - прикладной математики и в выходах ее в спортивную тематику.