Глава 4. Задачи практичные и непрактичные

47в. Опечатка в учебнике

Некий автор, читая свой учебник, заметил, что в предложении: "Отсечь 9 см на левой стороне угла, равного 60°, а на правой... и вычислить расстояние между полученными таким образом точками" - на месте проставленных нами точек имеется опечатка: наборщик увеличил число сантиметров, указанное в рукописи, на 1. Конечно, наборщик и не подумал изменить ответ, напечатанный в конце учебника. Несмотря на это, опечатка не привела к ошибке. Какое число набрал наборщик в задаче?

48. Игрушка

На картонном кружке нарисован концентрический меньший кружок, разделенный на восемь секторов равной величины: четыре белых и четыре черных. Оставшееся кольцо разделено на 10 равных секторов, белых и черных вперемежку, по пять секторов каждого цвета. Кружок надеваем на гвоздь и приводим в быстрое вращательное движение. Вначале секторы сливаются в однообразный серый цвет, но через минуту появляется кольцо, вращающееся в одну сторону, и кружок, вращающийся в обратную сторону, хотя все сделано из одного куска картона.

Эта игрушка действует только при электрическом освещении, но не в каждом городе. Почему?

49. Праздничный окорок

Три соседки сложились по 15 рублей и купили окорок (без кожи, сала и костей). Одна из них разделила его на три части, уверяя, что части по весу равны. Другая заявила, что доверяет только весам в магазине на углу; там оказалось, что якобы равные части после пересчета стоимости соответствуют 14, 15 и 16 рублям. Третья участница проверила вес на домашних весах, которые также дали иной результат. Возник спор, ибо первая настаивала, что она разделила окорок на равные части, другая признавала только магазинные весы, а третья - свои.

Как можно успокоить спорящих и разделить куски (не разрезая их больше) так, чтобы каждая женщин'а признала, что получила окорок стоимостью по крайней мере в 15 рублей при пересчете его стоимости по тем весам, которым она доверяет?

50. Раздел лепешки

Каждую лепешку независимо от ее формы можно разделить на четыре равные части двумя взаимно перпендикулярными сечениями. Другими словами, для каждой плоской области с площадью Р можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, что в каждой из четырех образуемых ими четвертей лежит часть этой области, имеющая площадь Р/4.

(Доказать эту теорему значительно легче, чем фактически разделить на четыре равные части, скажем, треугольник со сторонами 3, 4, 5.)

51. Раздел треугольного торта

Павел и Гавел должны разделить между собой треугольный торт. Гавел поставил условие, что он прямолинейным разрезом отрежет свою часть, а Павел согласился на это с тем условием, что он заранее обозначит точку Р, через которую должен пройти этот разрез. Так как торт имеет одинаковую толщину в любом месте, а также однороден по вкусу, то задача имеет планиметрический характер. Вопрос ставится следующим образом: как Павел должен выбрать точку Р, чтобы лучше защитить себя от чревоугодия Гавла? Второй вопрос: какой величины излишек перепадет Гавлу, если Павел удачно решит первую задачу, а Павел потом отрежет себе возможно большую часть торта?

Если бы форма торта зависела от Павла, то он мог бы выбрать фигуру, имеющую центр симметрии (т. е. круг, квадрат, эллипс и т. д.), и поместить Р в этом центре. Тогда у Гавла не оказалось бы никаких преимуществ. Однако интересен вопрос, какая форма торта (при сохранении указанных вначале условий раздела) будет самой удобной для Гавла и какой наибольший излишек он сможет себе обеспечить, удачно выбрав форму торта?

52. Взвешивания

Имеется 5 предметов различного веса, которые нужно упорядочить по убыванию весов, пользуясь чашечными весами без гирь, с помощью которых можно сравнить веса любых двух предметов. Как нужно действовать, чтобы решить задачу, используя наименьшее возможное число взвешиваний? Чему равно это число?

52а. Когда его день рождения?

День рождения Невядомского отмечали в многочисленном кругу. Кроме сестры хозяина Екатерины и его брата Иоахима, присутствовал известный путешественник Педанткевич и много других друзей Невядомского, которые ценили его варшавское гостеприимство.

Кто-то спросил Педанткевича, что он делал год тому назад. Тот взял блокнот и с присущей ему педантичностью ответил: "Точно год тому назад я вышел на восходе солнца из палатки, прошел прямо на юг милю или немного больше, свернул на запад и через несколько часов, ничего не подстрелив, свернул на север. Своих собственных следов я уже не пересекал и, идя все время на север, вышел к палатке". Когда день рождения Невядомского?

53. Сколько лет Софье Сергеевне?

Наша знакомая Софья Сергеевна еще не стара, ибо родилась после первой мировой войны, но она не любит прямо отвечать на вопрос - сколько ей лет.

Когда ее спросили 27 июля 1950 г., сколько ей лет, она ответила: мне всего один год, так как я отмечаю день своего рождения только тогда, когда он совпадает с днем недели, в который я родилась, а такой день рождения я отмечала всего лишь один раз.

Сколько лет Софье Сергеевне?

54. Сколько рыб в пруду?

Некий ихтиолог хотел определить, сколько в пруду рыб, годных для улова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, обнаружил 30 рыб, отметил каждую из них меткой и бросил обратно в пруд. На другой день забросил ту же самую сеть и поймал 40 рыб, на двух из которых были его метки. Как по этим данным он приблизительно вычислил количество рыб в пруду?

55. Калибровка валиков. Одна из составных частей бензинового двигателя имеет форму валика. Для измерения толщины валика служит стальная плита, в которой в ряд высверлены 15 отверстий с точно установленными размерами. Первое отверстие имеет диаметр 10 мм, каждое последующее имеет диаметр, на 0,04 мм больший предыдущего. Калибровка валика заключается во вкладывании его в отверстие; если он не помещается, то его диаметр считают больше диаметра отверстия, а если помещается, то считают его меньше. Таким образом, в конце концов диаметр валика определяется с погрешностью менее 0,04 мм (валики с диаметром меньше 10 мм, или больше 10,56 мм, не принимаются во внимание; остальные же идут на дальнейшую обработку).

Рабочие, которым поручена калибровка, пробуют каждый валик на одном и том же числе отверстий, но, конечно, на разных отверстиях. Сколько проб измерения необходимо для каждого валика? Какова должна быть очередность проб?

56. Сто двадцать шариков

Мастерская точной механики заказала 120 стальных шариков диаметром 6,1 мм. Им прислали действительно 120 шариков, однако измерения выявили, что диаметры не отвечают требованиям точности. В результате этих измерений было обнаружено:

К счастью, другая мастерская согласилась принять шарики при условии, что их доставят в двух ящиках, отдельно большие и отдельно меньшие, и что на каждом ящике будет указан общий диаметр для всего ящика.

В задаче требуется определить предельный диаметр, ниже которого шарики войдут в ящик А (а следовательно, в ящике В окажутся шарики диаметром больше предельного), а также отыскать числа а и Ь, которые следует выписать на ящиках. Эти три числа должны быть таковы, чтобы сумма абсолютных погрешностей была наименьшей. Абсолютной погрешностью мы здесь называем абсолютную разность между диаметром шара и надписью на ящике, в который его вложили.

57. Лента на трубке

Ленту длиной 25 м и толщиной 0,1 мм намотали плотно на картонную трубку - получился валик диаметром 1 дм. Каков диаметр трубки?

58. Часы с одинаковыми стрелками

Известно, что, определяя время без часов, никто не ошибается более чем на шесть часов.

Часовой мастер вставил в часы две одинаковые стрелки, так что невозможно отличить малую от большой. Какова будет наибольшая ошибка, которая грозит владельцу часов?

59. Великаны и карлики

На уроке физкультуры в классе, в котором все ученики были разного роста, учитель, построив класс прямоугольным строем, сказал. "Сейчас мы увидим, кто среди вас самый высокий карлик". Отыскал в каждом ряду самого низкого, а когда эти "карлики" выступили из строя и создали переднюю шеренгу, он выбрал самого высокого из них: "Вот самый высокий карлик".

Мальчики вернулись на старые места, и тогда учитель сказал: "Сейчас я вам покажу самого низкого великана". Указал в каждой шеренге на самых высоких, а когда "великаны" выступили вперед, нашел самого низкого среди них: "Вот самый низкий великан".

Могло ли случиться, что один и тот же мальчик мог оказаться самым низким "великаном" и самым высоким "карликом"? Существуют ли такие классы, в которых самый низкий "великан" меньше самого высокого "карлика?" А как обстояло бы дело, если бы учитель при определении "великанов" искал бы их в рядах, а не в шеренгах, т. е. точно так же, как искал "карликов"?

60. Ученики классов А и В

В школе есть два класса: А и В. Ученики класса А хвастаются, что они выше ростом, чем ученики класса В, а ученики класса В считаются лучшими математиками. Когда однажды один из учеников класса А свысока посмотрел на ученика класса В, тот спросил: что, собственно, означает, что вы выше нас ростом? Значит ли это, что:

1) любой из вас выше любого из нас?

2) самый высокий из вас выше самого высокого из нас?

3) для любого из учеников класса А найдется ученик класса В ниже ростом?

4) каждый из учеников класса В ниже хотя бы одного из учеников класса А?

5) для каждого ученика класса А можно указать ученика класса В ниже ростом, причем разным ученикам класса А соответствуют разные ученики класса В?

6) для каждого из учеников класса В можно указать ученика класса А выше ростом, причем разным ученикам класса В соответствуют разные ученики класса А?

7) самый низкий ученик класса В ниже самого низкого из учеников класса А?

8) число учеников класса В, меньших ростом самого маленького из учеников класса А, больше числа учеников класса А, меньших ростом самого высокого из учеников класса В?

9) суммарный рост учеников класса А больше суммарного роста учеников класса В?

10) средний рост учеников класса А больше среднего роста учеников класса В?

11) среди вас больше таких, которые выше кого-либо из нас, чем у нас таких, которые выше кого-либо из вас?

12) среди вас больше учеников выше нашего среднего роста, чем среди нас учеников выше вашего среднего роста?

13) серединный по росту из вас выше серединного по росту из нас (в том случае, если учеников в классе четное число, серединным ростом считается среднее арифметическое от роста серединной пары учеников)?

Ошеломленный потоком вопросов ученик класса А стал как будто ниже. Мы спрашиваем читателей: зависят ли эти вопросы друг от друга, а если зависят, то укажите, какие именно? Другими словами, нужно найти такие пары вопросов, для которых положительный ответ на один из них предопределяет положительный ответ и на второй. Существуют ли эквивалентные вопросы, т. е. существуют ли такие пары, для которых ответы на оба вопроса обязательно должны быть одинаковы? Существуют ли пары вопросов зависимых, но не эквивалентных?

61. Статистика

Некий статистик решил исследовать, как используются купе для некурящих на железных дорогах в различных странах. Он выделил следующие возможности:

a) курящие чаще всего едут в купе для курящих,

а') не а ("не а" обозначает отрицание предложения а),

B) некурящие чаще всего едут в купе для курящих,

b') не b,

c) в купе для курящих большей частью едут курящие,

с') не с,

d) в купе для некурящих чаще всего едут курящие,

d') не d.

Каждую страну можно охарактеризовать с помощью четырех букв а, b, с, d со штрихами или без; конечно, ни одна буква не может появиться в символе одновременно со штрихом и без, ибо каждый штрих обозначает предложение, противоречащее предложению без штриха. Поэтому всех возможных символов имеется 16.

Можно ли в 16 поездах разместить путешественников так, чтобы каждому поезду соответствовал иной символ?

62. Группы крови

Как хорошо известно (Ландштейн, Янский, Мосс и др.), у людей бывает 4 группы крови: О, А, В, АВ (терминология Дангерна и Хиршфельда; эта классификация дает возможность выяснить, может ли данный человек служить донором для определенного другого человека). Обозначим символом - X→Y утверждение: "индивидуум с группой крови X может дать свою кровь индивидууму с группой крови Y без опасности для последнего".

Тогда законы, открытые названными выше учеными, могут быть сформулированы так:

I. Х→Х для любого X.

II. 0→Х для любого X.

III. Х→АВ для любого X.

IV. Любое отношение X→Y, не сводимое к I, II и III, является ложным.

Доказать, что

1° Система законов I-IV непротиворечива.

2° Из законов I-IV следует, что при любых X, Y, Z из X→Y и Y→Z вытекает, что X-+Z.

3° Из I-IV следует, что отношение А→В ложно.

Пояснение. Выражение "для любого X" в I, II, III означает, что импликация → справедлива для X, совпадающего с О, А, В или АВ. Аналогичное замечание относится и к 2°.

63. Снова о группах крови

Феликс Бернштейн (чье имя ассоциируется у нас обычно с теорией множеств^*) первым сформулировал законы наследования групп крови О, А, В, АВ. Предположим, например, что отец имеет группу крови А, а мать - группу АВ. Припишем к однобуквенному символу А букву О, т. е. мы обозначим группу, к которой относится отец, через АО. Группы обоих родителей будут, следовательно, АО и АВ. Для составления символа группы крови их потомства мы должны взять одну букву символа крови матери и одну, букву символа крови отца. Мы получим, таким образом, следующие возможные символы группы крови ребенка: АА, АВ, ОА и ОВ. Затем эти символы упрощаются: вместо двух букв А А можно писать просто А и можно отбросить букву О, где бы она ни встретилась в двубуквенном символе. Итак, мы получили группы крови А, АВ, А, В, т. е. ребенок может иметь любую из трех групп крови А, В, АВ и не может иметь группы О.

^* (Еще в бытность Ф. Бернштейна студентом Гёттингенского университета он доказал знаменитое утверждение Г. Кантора (ныне известное как теорема Кантора - Бернштейна), лежащее в основе всей канторовской теории множеств (если существуют взаимно однозначные отображения множества А на подмножество множества В н множества В на подмножество множества А, то между А и В можно Установить взаимно однозначное соответствие).- Примеч. ред.)

Указанные правила приписывания буквы О, комбинирования букв родителей, сокращения двубуквенных символов из одинаковых букв и отбрасывания буквы О полностью определяют (причем не только в приведенном выше примере) так называемую фенотипическую теорию на следования групп крови. Правила допустимых переливаний крови мы перечислили в задаче 62.

Два брата знают законы переливания крови и знают, что никто из них не может дать свою кровь другому, но каждый из них может получить кровь от матери. Может ли их сестра заменить мать?

63а. Кассовая задача

Если у кого-либо имеется сумма денег в 5 злотых 27 грошей, то среди них обязательно найдется сумма в 2 гроша^*, в то время как сумма в 17 грошей может и не найтись. Мы понимаем под этим следующее: без монеты в 2 гроша, либо двух монет по 1 грошу нельзя составить сумму в 5 злотых 27 грошей, однако указанную сумму можно составить при наличии купюры в 5 злотых и монет в 20 грошей, 5 грошей и 2 гроша; в последнем случае мы никак не составим суммы в 17 грошей. После этого пояснения становится ясным смысл предложения: "Некоторая денежная сумма обязательно содержит другие суммы".

^* (В Польской Народной Республике находятся в обращении монеты достоинством в 1 грош, 2 гроша, 5 грошей, затем в 10 грошей, 20 грошей, 50 грошей, 1 злотый (=100 грошей) и денежные купюры в 2 злотых, 5 злотых и т. д. В обращении отсутствуют монеты в 3 гроша, 15 грошей и денежные купюры в 3 злотых и 25 злотых.- Примеч, пер.)

Какая из денежных сумм от 1 гроша до 999 грошей наверняка содержит наибольшее число различных сумм?

63б. Сады

На Бискупине во Вроцлаве имеются сады, а в них различные сорта фруктовых деревьев. Не зная точного числа, предположим, что существует m садов и n сортов деревьев. Имеется s₁ таких садов, в которых растет только по одному сорту деревьев (не обязательно один и тот же во всех), имеется s₂ таких садов, в которых растет только по два разных сорта деревьев, и т. д. . . ., имеется sn таких садов, в которых растет по n сортов (следовательно, все сорта). Имеется g₁ таких сортов деревьев, каждый из которых растет только в одном саду, имеется g₂ таких сортов, каждый из которых растет в двух (и только в двух) садах, и т. д. . . ., имеется g_m сортов, которые растут в m садах (следовательно, во всех садах). Какие соотношения существуют между числами s₁, s₂, . . ., s_n, g₁, g₂, . . ., g_m, m, n?

64. Излишек труда

Если мы хотим вбить по гвоздю в каждый из нескольких десятков столбов, расставленных на равных расстояниях вдоль дороги, то лучше всего начать с первого, а закончить последним. Но как сделать то же самое хуже всего, т. е. так, чтобы проделанный нами путь был самым длинным?

65. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

При помощи масштабной линейки измерьте диагональ кирпича, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, т. е. расстояние между самыми отдаленными его вершинами.

Укажите практический способ, пригодный для работы в мастерских (а не школьный пример на применение теоремы Пифагора).

66. Перевязывание коробок

В кондитерских для перевязывания коробок конфет поступают так: лента идет наискось и образует один замкнутый косой (неплоский) восьмиугольник; на крышке видны два параллельных отрезка ленты, а внизу лента проходит подобным же образом. Зная все измерения коробки, можно вычислить длину ленты, а также под какими углами она пересекает ребра коробки. И, наконец, можно доказать, что лента может быть смещена не только вдоль самой себя, но также и по коробке.

66а. Другое перевязывание

Коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, обычно перевязывается накрест: шнурки пересекаются под прямым углом в центре покрышки У и в центре основания Р.

Доказать, что прочное склеивание шнурков в N и Р делает невозможным всякое их смещение.

67. Безмен

Безмен - это деревянный (или металлический) тонкий стержень (постоянной толщины), сделанный из однородного материала. На одном конце к нему приделан довольно тяжелый груз, а на другом - крючок, поддерживающий взвешиваемые предметы. На стержне с помощью зарубок нанесена шкала, по которой мы прочитываем (например, в килограммах) вес подвешенного на крючке предмета. Для этого на безмене нужно найти точку, в которой он, подпираемый пальцем (или острием ножа), уравновешивается: соответствующее этой точке деление шкалы укажем искомый вес. Шкалу легко сделать экспериментально, если есть гири,- чем богаче их комплект, тем точнее будет шкала.

Как составить шкалу геометрическим способом, если у нас есть только одна гиря, например только килограммовая?

68. Минимум длины

Линейка L прибита к столу, а подвижная линейка R углом В скользит вдоль края линейки L (см. рис. 134 нас. 117), постоянно опираясь своим краем о гвоздь О, вбитый в стол; этот край оканчивается углом А. При таком движении расстояние АО при некотором положении линейки R достигнет минимума. Найти это положение и вычислить минимальное расстояние АО, зная расстояние гвоздя от неподвижной линейки и ширину подвижной линейки.

69. Деление на части прямоугольников и квадратов

Если прямоугольник разделен на два прямоугольника, то совершенно очевидно, что эта конфигурация возникла в результате одного деления и не могла возникнуть иначе. Однако если мы разделим данный прямоугольник на три прямоугольника, то никто не сможет угадать, возникла ли эта конфигурация сразу же в результате деления на три части или же поочередно в результате деления первоначального прямоугольника на два, а затем последующего деления одного из полученных двух прямоугольников на два меньших. Будем говорить, что деление прямоугольника на две части является первичным, а деление его на три части не является первичным. Точнее, мы называем первичным такое деление, которое не может возникнуть в результате последовательного деления (совершенно безразлично, как оно возникло в действительности). Это определение дал профессор Лось, который заметил, что существуют первичные деления на 2, 5, 7, 8, . . . частей и в то же время не бывает первичных делений на 3, 4 и 6 частей. (Пусть читатель сам докажет, что не существует первичных делений на 3 и 4 части, и найдет первичное деление на 5 и 7 частей; профессор Ч. Рылл-Нардзевский доказал, что не существует первичного деления на 6 частей.)

1° Указать пример первичного деления квадрата на 5 равных частей.

2° Указать пример первичного деления квадрата на 7 равных частей.

3° Указать пример первичного деления квадрата на 8 равных частей.

70. Практическая задача

Фабричная территория - плоская, но отлогая. У нас имеются нивелировочный инструмент, состоящий из горизонтальной люнетки, вращающейся вокруг вертикальной оси (причем углы поворота мы прочитываем по шкале горизонтального круга), и веха, на которую мы наводим, чтобы прочесть разность уровней, а также расстояние, на котором установлена веха (благодаря двум горизонтальным ниткам в люнетке и шкале на вехе). Как проще всего определить наклон земельного участка и направление наклона?

71. Соседние города

На карте Европы соединяем каждый город с ближайшим к нему, предполагая при этом, что расстояния между любыми двумя парами городов не равны.

Доказать, что ни один город не будет соединен более чем с пятью соседними городами.

72. Железнодорожная сеть (I

) Имеется пять городов; из них никакие три не лежат на одной прямой. Эти города нужно соединить железнодорожной сетью, состоящей из четырех прямых дорог; при этом можно провести железнодорожную линию одну над другой по виадукам.

Сколько существует таких различных железнодорожных сетей?

73. Железнодорожная сеть (II)

Города А, В, С, D лежат в вершинах квадрата со стороной 100 км. Нужно наметить железнодорожную сеть так, чтобы каждый город был соединен с любым из остальных трех городов (причем допустимо образование узловых станций в местах, отличных от A, В, С, D) и чтобы общая длина линий была по возможности наименьшей. Какова искомая сеть и какова ее длина?

74. Пробный полет

Самолет нового типа вылетел из Осло, направляясь по кратчайшему пути к аэродрому X, находящемуся в Южной Америке, на самом экваторе. Свидетели отлета из Осло видят, как самолет исчезает на горизонте в точке, лежащей точно на запад.

Какова длина трассы полета? В какой точке горизонта должны ждать самолет зрители, встречающие его на аэродроме в X?

75. Солнце и Луна

Расстояние Солнца от Земли в 387 раз больше, чем расстояние Луны от Земли. Во сколько раз объем Солнца превышает объем Луны?

76. Космография

Вычислить длину самого короткого дня во Вроцлаве. Решение требует знания двух углов. Каких?