Глава 2. Точки, многоугольники, окружности, эллипсы

12. Точки на плоскости

На плоскости дано несколько (или несколько десятков) точек. Каждую из них соединяем отрезком прямой с ближайшей точкой; при этом не возникает сомнения, какая из точек является ближайшей, ибо предполагается, что все расстояния различны.

Доказать, что полученная фигура не содержит замкнутого многоугольника или пересекающих отрезков.

13. Исследование угла

Пусть х₁, х₂, . . ., х_n - положительные числа. Выберем на плоскости луч ОХ, отсечем на нем ОР₁=х₁ затем перпендикулярно к ОР₁ отсечем Р₁Р₂=х₂, затем перпендикулярно к OР₂ отсекаем Р₂Р₃=х₃ и т. д. вплоть до P_n-1P_n=x_n. При этом прямые углы ориентированы так, что их левые стороны проходят через точку О. Можно считать, что луч ОХ вращается вокруг точки О (от первоначального положения, проходя через точки Р₁, Р₂, . . .) до конечного положения ОР_n, описывая некоторый угол.

Доказать, что при данных числах x_i угол этот будет наименьшим, если они пронумерованы в убывающем порядке,x₁ ≥ х₂ ≥ .. ≥ x_n, и будет наибольшим, если они пронумерованы в возрастающем порядке.

14. Площадь треугольника

Доказать без помощи тригонометрии, что если в треугольнике ∠А =60°, то площадь 5 треугольника определяется формулой

а если ∠А = 120°, то

15. Деление периметра треугольника на равные части

Возьмем произвольный треугольник. Мы, конечно, можем пересечь его прямой так, чтобы разделить его периметр пополам. Мы даже можем заранее задать направление пересекающей прямой. Если мы это проделаем дважды, в двух различных направлениях, то прямые пересекутся в некоторой точке Q. Тогда через точку Q пройдут две прямые, делящие периметр пополам.

Существует ли точка, через которую могут пройти три такие прямые? Если существует, то как ее найти?

15а. Центр масс

Пусть Р - центр масс трех точек А, В, С (говоря о центре масс каких-либо трех точек, будем подразумевать, что массы, размещенные в этих точках, одинаковы). Пусть А₁, В₁, С₁ - соответственно центры масс следующих троек точек: В, С, Р; С, А, Р; А, В, Р.

Доказать, что центром масс тройки А₁, В₁, С₁ снова является точка Р.

16. Деление треугольника

Разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон.

В этой задаче число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?

17. Треугольники

В этой задаче n обозначает натуральное число. На плоскости заданы 3n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Можно ли образовать из этих точек (приняв их за вершины) n треугольников, не пересекающихся и не содержащих друг друга?

Подобную задачу при 4n точках можно поставить для четырехугольников, при 5n точках - для пятиугольников и т. д. Все ли эти задачи решаются положительно?

18. Треугольная сеть (I)

Как известно, всю плоскость можно покрыть сетью равносторонних треугольников.

Можно ли в каждом узле этой сети поместить один из знаков плюс или минус так, чтобы для каждого из треугольников, составляющих сеть, имело место следующее правило: если в двух вершинах треугольника имеется одинаковый знак, то в третьей вершине будет плюс, а если наоборот - то в третьей будет минус.

Конечно, можно всюду расставить плюсы, но это тривиальное решение мы исключаем.

19. Треугольная сеть (II)

Доказать, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.

20. Что останется от прямоугольника?

Золотой прямоугольник - это такой прямоугольник, стороны а и b которого находятся в пропорции золотого сечения, т. е. удовлетворяют равенству

Вообразим, что прямоугольник этот вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток снова будет золотым прямоугольником. Становимся по левую сторону стола, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону прямоугольника, и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника, за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определить положение этой исключительной точки.

20а. Четырехугольники

Соединяем поочередно середины сторон выпуклого четырехугольника. Мы получим меньший четырехугольник. Доказать, что он является параллелограммом, площадь которого равна половине площади большого четырехугольника. Сохранит ли силу эта теорема без предположения о выпуклости?

21. Разбиение квадрата

Квадрат площадью 1 км² разбит на три части A, B, C. Каким бы это разбиение ни было, обязательно найдется по крайней мере одна пара точек Р и Q, принадлежащих одной части и таких, что расстояние между ними не меньше √65/64 ≈ 1,00778 (км).

Как это доказать?

22. Сеть квадратов

Плоскость можно покрыть равными квадратами; узлы этой сети в математике называют целочисленной решеткой.

Можно ли эти узлы обозначить буквами a, b, с, d так, чтобы каждый составной квадрат имел в своих вершинах все четыре буквы и чтобы в каждом столбце и в каждой строке решетки тоже фигурировали все четыре буквы?

23. Решетка точек

Определение целочисленной решетки дано в условии задачи 22. Ясно, что выбирая подходящий радиус, всегда можно добиться, чтобы окружность этого радиуса с центром в точке (√2, √3) проходила через заданную точку решетки. Требуется доказать, что, однако, на каждой такой окружности лежит не более одной точки решетки.

24. Точки решетки, заключенные внутри круга

В этой задаче мы имеем дело с решеткой, расположенной внутри круга К, точнее, с теми точками целочисленной решетки, которые заключены внутри этого круга (но не на его окружности).

Доказать, что для любого целого неотрицательного числа n существует круг, содержащий ровно п точек решетки.

25. 14 = 15

На съезде участников математической олимпиады во Вроцлаве в 1952 г. профессор Я. Минусинский указал такое деление всей плоскости на семиугольники, в каждой вершине которого сходятся три семиугольника. Исходя из этого, я покажу, что 14=15. Обозначим через P угол 180°. Сумма углов в семиугольнике равна 5P, поэтому средняя величина угла в семиугольнике равна у 5/7P. Так как вся плоскость покрыта семиугольниками, то средняя величина угла в паркетаже равна 5/7P. Но в каждой вершине сходятся три таких угла, следовательно, средняя величина угла при каждой вершине равна у Я. Отсюда вытекает, что средняя величина угла в паркетаже равна 2/3P, так как каждый угол принадлежит какой-нибудь вершине. Следовательно, что и требовалось доказать.

Найти ошибку в приведенном выше рассуждении.

26. Многоугольник

На плоскости даны n точек; никакие три из них не лежат на одной прямой. Всегда ли можно найти замкнутый -угольник с не пересекающимися сторонами, вершинами которого являются эти точки?

27. Точки и окружность

На плоскости даны четыре точки, через которые нельзя провести ни окружность, ни прямую. Можно ли эти точки так обозначить буквами А, В, С, D, чтобы точка D лежала внутри окружности, проходящей через точки А, В, С?

28. Геометрическая задача

Дан эллипс, длина большой оси которого равна 2а, а длина малой оси равна 2b. Нарисовать замкнутую кривую той же длины, что и длина эллипса, ограничивающую площадь, большую площади эллипса на (а-b)².