Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

§ 2. Одношаговые стохастические задачи

Начнем рассмотрение стохастических одношаговых задач с простого примера, показывающего, как меняется задача линейного программирования, если считать, что некоторые ее параметры являются случайными величинами [8].

Рассмотрим транспортную задачу. Пусть однородный товар размещен на m складах и допустимое количество товара на i-м складе есть ai. Товар следует транспортировать в n магазинов, однако спрос в каждом магазине заранее точно не известен. Из предыдущего опыта торговли известно только, что потребности этих магазинов следует считать непрерывными случайными величинами с плотностью вероятности φj (vj), где j - номер магазина и vj - потребность этого магазина. Предполагается, что vj - независимые случайные величины, т. е. магазины расположены таким образом, что спрос в каждом из них не влияет на спрос в других магазинах.

Обозначим через cij стоимость перевозки единицы товара со склада i в магазин j. Полную стоимость перевозки будем считать пропорциональной количеству перевозимого товара xij.

Пусть yj - количество товара, поступившего в j-й магазин. Если это количество меньше спроса (yj<vj), то магазин не получит той выручки, которую мог бы получить (не говоря уже о потерях населения от неудовлетворенного спроса). Допустим, что получающиеся в этом случае потери описываются функцией πj (vj - yj), где πj - постоянная величина, равная


Если yj>vj, то магазин также терпит убыток, например, из-за того, что необходимо отправлять товар обратно на склад или продавать его по сниженной цене. Пусть получающийся в этом случае убыток описывается функцией kj (yj - vj), где kj - также постоянная величина, равная


В этих условиях требуется определить наивыгоднейшее количества товара yj, поставляемого каждому магазину, при котором сводятся к минимуму транспортные расходы и возможные убытки от избытка или недостатка товаров при наличии случайного спроса.

Средние ожидаемые потери из-за нехватки товаров в j-м магазине, определяемые математическим ожиданием M1j случайной величины πj (vj - yj), есть


(4.3)

Аналогично средние ожидаемые потери, вызванные избытком товаров в j-м магазине, записываются в виде


(4.4)

Прежде чем окончательно сформулировать задачу, удобно представить выражения (4.3) и (4.4) иначе. Используя тождественные преобразования, перепишем (4.3) в виде


(4.5)

где - ожидаемый спрос в j-м магазине (все vj≥0).

Пределы интегрирования в (4.5) предполагают изменение переменной vj в интервале 0≤vj<yj, где vj<yj, но именно в этом интервале по условию πj = 0. Значит, весь второй член в (4.5) также равен нулю, мы имеем:

M1j = πjj - yj).(4.5a)

Рассуждая точно так же, нетрудно показать, что

M2j = kj(yj - μj).(4.6)

Как в случае недостатка товара, так и в случае его избытка j-м магазине потери определяются разностью между действительным количеством товара yj и математическим ожиданием спроса на товар μj в данном магазине.

Полные затраты, включая транспортные расходы и ожидаемые потери из-за недостатка или избытка товаров по всем магазинам, согласно (4.5а) и (4,6) составляют


(4.7)

Вследствие условий, которым подчиняются величины πj и kj, можно сказать, что два последних члена в (4.7) никогда не должны встречаться вместе, поскольку недостача и избыток товара не могут возникнуть одновременно.

Сформулируем задачу окончательно следующим образом: Ври ограничениях


(4.8)

найти


Отметим, что обратный переход от стохастической задачи (4.8) к соответствующей линейной транспортной задаче с постоянными параметрами легко осуществляется. Если положить yj = μj ≡ bj (при условии, что ), то мы сразу приходим к задаче:

при ограничениях



найти


В этой задаче два ограничения, как и в задаче (4.8), Однако в задаче (4.8) от второго ограничения можно избавиться, исключив yj из функции цели. Оказывается, что всегда при переходе к стохастической задаче можно избавиться от тех ограничений детерминированной задачи, коэффициенты в которых являются случайными величинами. При этом появляется добавка в функции цели, которая учитывает убытки, появляющиеся при нехватке или излишках соответствующих ресурсов.

Все величины μj в (4.7), (4.8) получаются путем усреднения спроса vj с помощью соответствующих функций φj (vj). Фактически даже не решая задачи, можно сказать, что минимум полных затрат получится в том случае, если будет обеспечено равенство μj = yj для всех j магазинов.

В качестве примера рассмотрим случай, когда спрос подчиняется закону распределения:


где, как известно, значение μ0j определяет положение максимума кривой распределения и σj характеризует ширину этой кривой. В этом случае величина


легко вычисляется и в результате мы получаем:


где - функция Лапласа.

Таким образом, средний ожидаемый спрос μj отличается от μ0j, причем тем больше, чем меньше отношение . В пределе →,0 мы получаем . Однако уже при >4÷5 отличие μj от μ0j становится пренебрежимо малым.

предыдущая главасодержаниеследующая глава



ИНТЕРЕСНО:

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2017
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru