Глава 40. Упаковка шаров

Шары одинаковых размеров можно складывать в пирамиды и располагать в пространстве множеством самых различных способов. Возникающие при этом конфигурации шаров, или, как еще принято говорить, укладки и упаковки, обладают многими интереснейшими свойствами. Этим и объясняется тот интерес, который питает к подобного рода задачам занимательная математика. Изучать свойства упаковок и расположение шаров лучше всего на моделях. Изготовив набор из 30 шаров, читатель намного облегчит себе понимание того, о чем мы расскажем в этой главе. Лучше всего взять 30 теннисных мячей. Мячи можно покрыть тонким слоем резинового клея и, высушив, складывать из них великолепные модели тех упаковок, о которых сейчас пойдет речь.

Для начала совершим небольшой экскурс в двумерные задачи аналогичного содержания. Если шары разложить на столе в виде квадрата (рис. 207, справа), то число шаров будет одним из так называемых "квадратных" чисел. Если же шары разложить в виде треугольника (рис. 207, слева), то число шаров будет одним из "треугольных" чисел. И квадратные, и треугольные числа служат простейшими примерами того, что в древности было принято называть "фигурными числами". В старину их изучением занимались многие математики (знаменитый трактат о фигурных числах написал Паскаль), и хотя в наше время им уделяют мало внимания, они позволяют интуитивно понять многие аспекты элементарной теории чисел.

Рис. 207. Происхождение треугольных (слева) и квадратных (справа) чисел

Достаточно, например, одного лишь взгляда на левую часть рис. 207, чтобы понять, что сумма любого числа целых положительных слагаемых, начинающихся с единицы, равна треугольному числу. Взглянув на правую часть рис. 207, мы сразу же заметим, что квадратные числа получаются при сложении последовательных нечетных чисел, начинающихся с 1. Рис. 208 позволяет сразу же понять интересную теорему, известную еще пифагорейцам: всякое квадратное число есть сумма двух последовательных треугольных чисел. Алгебраическое доказательство этой теоремы просто. Треугольное число, выражающее количество шаров, уложенных на плоскости в виде треугольника со стороной из n шаров, равно сумме 1 + 2 + 3 + ... + n, которую можно представить в виде 1/2n(n+1). Предыдущее треугольное число дается формулой 1/2n(n-1). Сложив оба выражения и вычеркнув члены с противоположными знаками, мы получим n². Существуют ли числа, которые бы в одно и то же время были и квадратными, и треугольными? Оказывается, существуют, причем их бесконечно много. Наименьшее из таких чисел (если не считать единицы, которая входит в любую последовательность фигурных чисел) равно 36, затем идут 1225, 41616, 1413 721, 48 024 900,... Вывести формулу для n-го члена этой последовательности довольно трудно.

Рис. 208. Связь между квадратными и треугольными числами

Трехмерные аналоги плоских фигурных чисел возникают при укладке шаров в пирамиды. Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,... Общий член ее выражается формулой ¹/₆n(n+1)(n+2), где n - число шаров, уложенных вдоль ребра пирамиды. Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (то есть половинки правильного октаэдра) порождают (четырехугольные) пирамидальные числа 1, 5, 14, 30,55, 91, 140,... Общий член этой последовательности дается формулой ¹/₆n( n+ 1)(2n + 1). Подобно тому как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскостью на два последовательных тетраэдра. (При построении моделей пирамид, порождающих пирамидальные числа, нужно следить за тем, чтобы шары нижнего слоя не раскатывались в стороны. Их можно удерживать на месте с помощью бортиков из линеек или дощечек.)

Свойства двух названных нами типов пирамидальных чисел легли в основу многих занимательных задач. Предположим, например, что городские власти собираются поставить на одной из площадей города памятник в виде четырехугольной пирамиды, сложенной из пушечных ядер.

Какое наименьшее число ядер нужно взять для того, чтобы их сначала можно было уложить в виде квадрата, а затем - в виде четырехугольной пирамиды, грани которой имеют форму равносторонних треугольников? Самое удивительное в ответе (4900 ядер) - его единственность. Доказательство этой задачи сложно и было получено лишь в 1918 году. Другой пример: продавец фруктов уложил апельсины в виде двух тетраэдров, но потом передумал и уложил их в виде одного большого тетраэдра. Каким должно бить наименьшее число апельсинов для того, чтобы их можно было уложить и в виде двух маленьких, и в виде одного большого тетраэдра? Если оба меньших тетраэдра одинаковы, то ответ единствен: 20 апельсинов. А как обстоит дело, если меньшие тетраэдры неодинаковы по размеру?

Рис. 209. При гексагональной упаковке шары следует класть в ямки A, при кубической - в ямки В

Представим теперь, что у нас очень большая коробка, что-то вроде тех ящиков, в которые упаковывают при перевозке пианино, и мы хотим наполнить ее как можно большим числом теннисных мячей. Как нужно для этого укладывать мячи? Прежде всего мы должны уложить слой мячей так, как показано на рис. 209 (окружности, проведенные тонкими линиями). Второй слой мячей следует укладывать поверх зазоров между мячами первого слоя (на рис. 209 второй слой обозначен окружностями, проведенными более жирными линиями). Приступая к укладке третьего слоя, мы сталкиваемся с необходимостью отдать предпочтение одному из двух возможных вариантов:

1. Каждый мяч можно положить в ямку, помеченную буквой F, то есть поместить его прямо над мячом первого слоя. Если, продолжая укладку, мы будем каждый раз помещать мячи очередного слоя строго над мячами слоя, расположенного через ряд под ним, то мячи образуют так называемую плотную гексагональную упаковку.
2. Каждый мяч можно поместить в углубление В, прямо над зазором между мячами первого слоя. Если придерживаться этого способа укладки мячей (при котором каждый новый мяч располагается прямо над мячом, лежащим на три слоя ниже), то в результате получается так называемая плотная кубическая упаковка. Именно так упакованы шары, сложенные в виде четырехугольной пирамиды с боковыми гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, и в виде тетраэдров. Различие состоит лишь в том, что в четырехугольной пирамиде слои располагаются параллельно боковым граням, а в тетраэдре - основанию.

При заполнении слоев плотной упаковки мы можем при желании переходить от гексагональной упаковки к кубической и наоборот и получать различные "гибридные" формы плотнейших упаковок. Во всех плотных упаковках - гексагональной, кубической и гибридных - каждый шар касается двенадцати соседних шаров и плотность упаковки (отношение объема, занятого шарами, к объему всего пространства) равна π/√18 = 0,74048 ..., или почти 75%.

Следует ли такую плотность считать наибольшей? Более плотные упаковки неизвестны, но в статье о связи между плотной упаковкой и порами в застывшей пене (1958) Г. С. М. Коксетер высказал интригующее замечание о том, что наиболее плотная упаковка еще не найдена. Действительно, двенадцать шаров можно расположить так, что все они будут касаться одного и того же центрального шара, и лишь немногого не хватает, чтобы к этим двенадцати можно было добавить тринадцатый шар. Большие пустоты в расположении двенадцати шаров вокруг центрального шара наводят на мысль о том, что при некоторой неправильной упаковке плотность может оказаться выше 0,74... (для сравнения напомним, что при плотнейшем расположении кругов на плоскости пустот, размеры которых были бы сравнимы с диаметром круга, вообще нет). Никому еще не удалось доказать, что упаковка с плотностью, превышающей 0,74..., невозможна. Не доказано даже, что касание с двенадцатью соседними шарами необходимо для плотнейшей упаковки. Высказанная Г. С. М. Коксетером гипотеза побудила Джорджа Д. Скотта проделать ряд экспериментов с шарами, упакованными случайным образом. Он насыпал большое количество стальных шариков в сферические колбы и взвешивал их. Полученные Скоттом результаты показали, что устойчивые случайные упаковки соответствуют плотностям в диапазоне от 0,59 до 0,63. Это означает, что если упаковка с плотностью, большей 0,74..., и существует, то строить ее необходимо по тщательно продуманной схеме, которая еще никому не известна.

Приняв плотную упаковку за плотнейшую, мы сможем предложить читателю очень трудную задачу: чему равно наибольшее число стальных шариков диаметром 1 см, которые могут уместиться в квадратной коробке размером 10×10×5 см?

Рис. 210. При раздувании шаров, образующих плотную упаковку, они превращаются в додекаэдры

Если плотно упакованные круги на плоскости равномерно "раздувать" до тех пор, пока не заполнятся все промежутки между ними, то получится узор, напоминающий пол в ванной комнате, выложенный шестиугольными плитками. (Кстати сказать, этим и объясняется столь широкое распространение "шестиугольного паркета" в природе: в пчелиных сотах, в пене между двумя почти соприкасающимися плоскими поверхностями, в пигментах на сетчатке глаза, на поверхностях некоторых диатомей и т. п.) А что произойдет с плотно упакованными шарами, если их равномерно расширять в замкнутом сосуде или подвергать равномерному давлению извне? Каждый шар, оказывается, превратится в многогранник (грани которого соответствуют касательным плоскостям, проведенным в точках касания шара с соседними шарами). При кубической упаковке каждый шар превращается в ромбический додекаэдр (рис. 210, вверху), все двенадцать граней которого имеют вид одинаковых ромбов. При гексагональной упаковке каждый шар переходит в трапецеромбический додекаэдр (рис. 210, внизу), у которого шесть граней имеют вид ромбов, а другие шесть - трапеций. Если трапецеромбический додекаэдр разрезать пополам показанной на рис. 210 плоскостью и одну из половинок повернуть на 60° относительно другой, то получится ромбический додекаэдр.

В 1727 году английский физиолог Стифен Хейлз описал в своей книге "Статистика растений" один опыт: насыпав в горшок зеленых горошин, он подверг их сжатию и получил "весьма правильные додекаэдры". Этот опыт получил название "горошин Бюффона" (потому что несколько позднее такой же опыт описал Бюффон). У большинства биологов он не вызывал никаких сомнений до тех пор, пока Эдвин Б. Мацке, ботаник из Колумбийского университета, не повторил его. Из-за неправильной формы, неодинаковых размеров, неоднородной плотности и случайного расположения насыпанных в контейнер горошин их форма после сжатия оказалась настолько случайной, что ее трудно было отнести к какому-нибудь определенному типу многогранников. В 1939 году появилось сообщение о новых экспериментах Мацке: он сжал свинцовую дробь и обнаружил, что при кубической упаковке дробинок образуются ромбические додекаэдры, а при случайной упаковке преобладают четырнадцатигранники неправильной формы. Мацке указал, что полученные им результаты имеют важное значение для исследования таких структур, как пена или живые клетки в недифференцированных тканях.

Рис. 211. Редкая упаковка Хееша и Лейвза. Большие шары сначала аспслагают так, как показано на левом рисунке, а затем каждый з больших шаров заменяют тремя маленькими. Результат показан а рисунке справа. Плотность такой упаковки составляет всего ишь 0,0555

Задача о плотнейшей упаковке наводит на мысль о прямо противоположном вопросе: какую упаковку можно назвать редчайшей, то есть при каком расположении шаров в пространстве достигается минимум плотности? Чтобы вся структура была жесткой, каждый шар должен касаться по крайней мер четырех остальных, а точки касания не должны лежать в одном полушарии или на одном экваторе. В книге "Наглядная геометрия" Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена^* описана упаковка, которую в то время считали редчайшей. Ее плотность составляла 0,123. Однако уже в следующем году голландские математики Г. Хееш и Ф. Лейвз сообщили подробности более редкой упаковки с плотностью всего лишь 0,0555 (рис. 211). Существует ли еще более редкая упаковка? Вот еще один интересный вопрос, который так же, как и вопрос о плотнейшей упаковке, пока еще остается нерешенным.

^* (Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, изд. 2-е, М.- Л., Гостехтеорегиздат. 1951.)

Единственность ответа (4900 ядер) в задаче о числе шаров, которые можно уложить и в виде квадрата, и в виде четырехугольной пирамиды, была доказана Г. Н. Уотсоном (1918). Предположение о единственности ответа высказал еще в 1875 году французский математик Эдуард Люка. Аналогичное предположение можно найти у Г. Дьюдени (1917).

Числам, которые одновременно являются и треугольными и квадратными, посвящена обширная литература. Известна формула для n-го квадратно-треугольного числа:

Вопрос о плотнейшей решетчатой упаковке шаров решен для всех пространств, размерность которых не превышает восьми^*. В трехмерном пространстве ответ на вопрос дают описанные нами кубическая и гексагональная упаковки с плотностью 0,74... При переходе к девятимерному пространству, как замечает К. Рейд в своей книге "Введение в высшую математику" (1959), задача претерпевает одно из тех неожиданных загадочных превращений, которые столь часто встречаются в геометрии многомерных евклидовых пространств. Насколько мне известно, задача о плотнейшей упаковке гиперсфер в девятимерном пространстве никем еще не решена.

^* (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 7, Am. Math. Soc., 1963, pp. 53-71.)

Девятимерное пространство служит поворотным пунктом и в тесно связанной с проблемой упаковки задаче о числе одинаковых сфер, касающихся одной и той же сферы того же радиуса. Лишь в 1953 году К. Шютте и Б. Л. Ван-дер-Варден впервые доказали, что для трехмерного пространства ответ равен 12^*. Более позднее доказательство можно найти в статье Дж. Лича "Задача о тринадцати сферах"^**. Соответствующая задача на плоскости имеет очевидный ответ: 6 (ровно столько одинаковых монет - но не больше!- могут касаться одной и той же монеты). Если прямую рассматривать как "вырожденную сферу", то ответ для одномерного пространства равен 2. Для четырехмерного пространства доказано, что 24 гиперсферы могут касаться одной и той же двадцать пятой гиперсферы, а для пространств размерности 5, 6, 7 и 8 максимальное число гиперсфер равно соответственно 40, 72, 126 и 240. Для девятимерного пространства задача остается нерешенной.

^* (Math. Ann., 125, 1953, pp. 325-334.)

^** (Mathematical Gazette, 40, № 331, February 1956, pp. 22-23.)

Наименьшее число апельсинов, из которых можно сложить либо две пирамиды (тетраэдра) неодинаковых размеров, либо одну большую пирамиду-тетраэдр, равно 680. Это тетраэдрическое число можно представить в виде суммы двух меньших тетраэдрических чисел: 120 и 560. Вдоль ребер пирамид можно уложить 8, 14 и 15 апельсинов.

В квадратную коробку с основанием 10 см² и высотой 5 см стальные шарики диаметром 1 см можно плотно уложить многими способами, и в зависимости от способа укладки коробка будет вмещать различное число шаров. Максимальная емкость - 594 шарика - достигается следующим образом.- Перевернув коробку на бок, нужно уложить первый слой шариков. Первый ряд должен состоять из 5, второй - из 4, третий - снова из 5, четвертый - снова из 4 и т. д. шариков. Всего получится одиннадцать рядов (шесть рядов по пяти шариков в каждом и пять рядов по четыре шарика в каждом). На все ряды первого слоя у вас уйдет 50 шариков, а незаполненная полоска вдоль стенки коробки будет иметь в ширину около 0,3 см. Второй слой также должен состоять из одиннадцати рядов. Первый и последний ряды содержат по четыре шарика, остальные - попеременно то пять, то четыре шарика. Во втором слое умещается всего лишь 49 шаров. (Последний ряд на 0,28... см выступает над последним рядом первого слоя, но, поскольку эта величина меньше оставшегося после укладки первого слоя зазора в 0,3 см, все шары второго слоя умещаются в коробке.) Всего в коробку входит двенадцать слоев (общей высотой 9,98... см), состоящих попеременно то из 50, то из 49 шариков, то есть 594 шарика.