Глава 5. Парадоксы теории вероятностей

Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами - истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Прекрасный пример этому - парадокс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной ²⁷/₅₀, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна ³⁶⁴/₃₆₅ (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет ³⁶³/₃₆₅. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна ³⁶²/₃₆₅ и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения. его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна ³⁴²/₃₆₅. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь ²³/₅₀. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным - то есть в феврале может быть 29 дней - и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе - увеличивает.)

Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.

Еще проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24 людей из книги "Кто есть кто" или какого-нибудь другого биографического справочника. Естественно, что чем больше число имен превышает 24, тем больше вероятность совпадения. На рис. 21 изображена кривая, показывающая рост вероятности с увеличением числа людей. График обрывается, когда число людей достигает 60, потому что дальше вероятность уже слишком близка к достоверности (то есть к значению 1) и кривую практически невозможно отличить от прямой. В действительности даже для 23 людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышает ¹/₂ и равна 0,507... Обратите внимание, как круто поднимается кривая примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере приближения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выигрывая в 3 299 000 случаях из 3 300 000. Конечно, абсолютная достоверность достигается лишь тогда, когда взято 366 человек.

Рис. 21

Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения 3 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. действительно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, три президента - Джефферсен, Адаме и Монро - умерли 4 июля.

Может быть, еще более удивителен парадокс со вторым тузом. Представьте себе, что вы играете в бридж. Сдав колоду и посмотрев на свой карты, вы говорите: "У меня туз". Можно точно вычислить вероятность того, что у вас на руках окажется и второй туз. Можно доказать, что она равна ⁵³⁵⁹/_{14 498}, то есть меньше ¹/₂, Допустим теперь, что мы выбрали, например, туза пик. Будем продолжать игру до тех пор, пока, взяв карты, вы не сможете сказать: "Туз пик у меня". Вероятность того, что у вас найдется еще один туз, составляет теперь ¹¹⁶⁸⁶/_{20 825}, то есть немногим больше ¹/₂! Почему изменяется вероятность, если вы заранее называете масть выбранного туза?

Рис. 22

Вычисление вероятностей в обоих только что рассмотренных примерах - дело долгое и скучное, но разобраться, отчего возникает парадокс, нетрудно, если оставить в колоде всего лишь четыре карты: туза пик, туза червей, двойку треф и валета бубен. Если в игре участвуют двое, то при сдаче карт на руках у любого из игроков оказывается одна,из шести возможных комбинаций (рис. 22), В пяти случаях игрок имеет право заявить, что у него туз, но только в одном случае у него будет еще и второй туз. Следовательно, вероятность появления второго туза равна ¹/₅. С другой стороны, в трех случаях игрок с полным основанием может утверждать, что у него есть туз пик. В одном из этих трех случаев у него на руках оказывается еще и второй туз, поэтому при такой постановке задачи вероятность появления второго туза становится равной ¹/₃.

Очень похож на парадокс со вторым тузом парадокс со вторым ребенком. Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита мальчик? Первое, что приходит в голову,- это сказать, что вероятность равна ¹/₂, но, перебрав три равновероятных возможности - ММ, МД, ДМ,- мы видим, что ММ - только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна ¹/₃^*. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше) из его детей. В этом случае допустимые комбинации исчерпываются двумя - ММ и МД - и вероятность того, что другой ребенок мистера Смита - мальчик, возрастает до ¹/₂. Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решеткой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх гербом, поэтому вероятность того, что другая монета также выпала вверх гербом, равна всего лишь ¹/₃, и мы смело можем утверждать, что другая монета выпала вверх решеткой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала гербом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.

^* (Если дети не близнецы!- Прим. ред.)

Самым знаменитым среди парадоксов теории вероятностей следует считать петербургский парадокс, впервые изложенный в "Мемуаре", представленном знаменитым математиком Даниилом Бернулли Санкт-Петербургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет герб. В случае же выпадения решетки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет герб. Если же снова выпадет решетка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает герб. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту "одностороннюю игру", а вы не остались в убытке?

В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна ¹/₂, вероятность выиграть два доллара равна ¹/₄, четыре доллара - ¹/₈ и т. д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1×¹/₂) + (2×¹/₄) + (4×¹/₈)... Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например, 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь гербов. Если же мой капитал, как это имеет место в действительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким вопросам обоснования теории вероятностей.

Карл Хемпель, глава школы "логических позитивистов", а ныне профессор философии Принстонского университета, открыл еще один удивительный парадокс. Со времени первой публикации (в 1937 году) и поныне "парадокс Хемпеля" неизменно служит предметом высокоученых споров между специалистами по философии науки, ибо он затрагивает самую сущность научного метода.

Предположим, пишет Хемпель, что ученый хочет исследовать гипотезу "все вороны черные". Его исследование состоит в изучении как можно большего числа ворон. Чем больше он найдет черных ворон, гем более вероятной становится его гипотеза. Таким образом, каждая черная ворона может рассматриваться как пример, подтверждающий гипотезу. Большинство ученых считает, что они отчетливо представляют себе, что такое подтверждающий пример. Парадокс Хемпеля мгновенно рассеивает их иллюзии, так как с помощью железной логики мы можем легко доказать, что красная корова тоже является подтверждающим примером гипотезы "все вороны черные"! Вот как это делается.

Утверждение "все вороны черные" можно преобразовать в логически эквивалентное ему утверждение "все нечерные предметы - не вороны" способом, который в логике принято называть "прямым доказательством через обращение". Второе утверждение по смыслу тождественно первому; оно просто иначе сформулировано. Очевидно, что существование любого объекта, подтверждающего второе утверждение, должно также подтверждать и первое.

Предположим, что ученый ищет нечерные предметы для подтверждения гипотезы о том, что все такие предметы не являются воронами. Он сталкивается с каким-то красным предметом. Более близкое знакомство показывает, что это не ворона, а корова. Красная корова, безусловно, является подтверждающим примером положения "все нечерные предметы - не вороны" и поэтому увеличивает вероятность того, что логически эквивалентная гипотеза "все вороны черные" справедлива. Подобная аргументация, безусловно, применима и к белому слону, и к красной селедке, и к зеленому галстуку самого, ученого. Как выразился недавно один философ, орнитолог, изучающий цвет ворон, мог бы продолжить свои исследования и в дождливый день, даже не замочив при этом ног. Для этого ему достаточно оглядеться в собственной комнате и отметить примеры всех нечерных, предметов, не являющихся воронами!

Как и в предыдущих примерах парадоксов, трудность здесь, по всей видимости, кроется не в ошибочном рассуждении, а в том, что Хемпель называет "заблуждением интуиции".

Все сказанное приобретает еще больший смысл, если рассмотреть пример попроще. В фирме работает много машинисток, у некоторых из них рыжие волосы. Мы хотим проверить гипотезу о том, что все рыжие машинистки замужем. Проще всего подойти к каждой рыжей машинистке и спросить, есть ли у нее муж. Но есть и другой способ, может быть, даже более эффективный. Мы берем в отделе кадров список всех незамужних машинисток, затем подходим к девушкам из этого списка, чтобы увидеть, какого цвета у них волосы. Если ни одна из обследуемых не будет рыжей, то гипотеза полностью подтверждена. Никто не станет возражать против того, что каждая незамужняя машинистка, цвет волос которой отличается от рыжего, будет подтверждающим примером теории о том, что все служащие в данной фирме рыжие машинистки замужем.

Согласившись с предложенной выше программой обследования нечерных предметов, не являющихся в то же время воронами, или цвета волос машинисток, мы столкнемся с небольшим затруднением: малым числом обследуемых объектов. Если же мы попытаемся установить, все ли вороны черные, то обнаружится огромная диспропорция между числом всех ворон на земле и числом нечерных предметов. Каждый согласится, что проверка всех нечерных предметов представляет собой весьма неэффективный способ исследования. Наш вопрос несколько тоньше: есть ли рациональное зерно в утверждении о том, что обнаружение красной коровы в том или ином смысле может служить примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу? Становится ли наша первоначальная гипотеза хоть немного более правдоподобной при обнаружении подтверждающего примера, по крайней мере если речь идет о конечных множествах (рассмотрение бесконечных множеств завело бы нас слишком далеко)? Одни логики считают, что подтверждающий пример увеличивает правдоподобие гипотезы, другие в этом сомневаются. Они замечают, например, что красную корову точно с таким же основанием можно считать подтверждающим примером гипотезы "все вороны белые". Каким образом обнаружение отдельного объекта может изменить правдоподобие одной из двух взаимоисключающих гипотез?

Некоторые пытаются отделаться от парадокса Хемпеля смущенной улыбкой и недоуменным пожиманием плечами. Не следует забывать, однако, что многие логические парадоксы, которые долгое время считались пустыми забавами, безделушками, сыграли чрезвычайно важную роль в развитии современной логики. Точно так же анализ парадокса Хемпеля уже позволил глубоко проникнуть в существо некоторых сложных проблем индуктивной логики, основного средства получения всех научных результатов.