ПУСы сохранения

Наконец, мы подошли к завершающей стадии и можем изложить ПУСы, в которых требуется подлинное понимание сохранения. Мы начнем с малых дискретных количеств, преобразовывая их различными способами; затем продвинемся к большим числам, а от них перейдем к псевдонепрерывным и, наконец, к непрерывным множествам. Весь нужный фундамент заложен. Ребенок уже начал оперировать с тремя измерениями. Может быть, он не совсем уверен во всем, что делал до сих пор, и может допускать случайные ответы, в таких случаях надо вернуться к более ранним ПУСам, чтобы напомнить ему существо дела. Но если ребенок овладел предыдущим материалом, до цели идти недалеко. Однако и теперь не все ему удастся сразу. Еще многое ему нужно изучить и обдумать. Старая истина гласит: поощряйте его все делать без труда, но непременно делать. К тому времени, когда малыш вполне постигнет сохранение для любых материалов и в любых условиях, он пробудет уже несколько лет в школе и будет хорошо подготовлен для занятий более формальной математикой.

В некотором отношении ПУС вытекает непосредственно из ПУСов 89-91, и, может быть, их следует напомнить ребенку, прежде чем предлагать ему данный ПУС. Выложите два параллельных ряда из 4 бусинок или ракушек так, чтобы ряды имели равную длину и желательно разную окраску. Придерживайтесь общего способа представления, описанного в предыдущей главе: "Красные - это твои, а синие - мои". Задайте первый вопрос: "У нас обоих одинаковое число бусинок / ракушек?" Так как здесь нет Ложных признаков и ребенок уже оказывался в более сложных ситуациях, то он должен без труда установить их равенство непосредственно (субитированием), или же установлением попарного соответствия, или счетом. Если у ребенка возникнут затруднения на этой стадии, то ясно, что либо вы поспешили, либо он решил выйти из игры. Займитесь чем-нибудь, что ему нравится.

Если малыш согласен с тем, что вначале у вас обоих одинаковое количество, то перейдите к вопросу 2: "Я собираюсь немного раздвинуть мой ряд. Когда я это сделаю, будет ли у нас все еще одинаковое количество бусинок / ракушек?" Этот вопрос для него будет твердым орешком. Не считая ПУСов 87 и 97, здесь его впервые просят вообразить себе результат того, что еще только должно произойти. Ему может понадобиться время, чтобы обдумать этот вопрос. Независимо от того, что он ответит, если вообще не промолчит, произведите преобразование, о котором вы сказали, и задайте вопрос 3: "Ну вот. А теперь у нас одинаковое количество или у кого-то больше?" Примите его ответ, каким бы он ни был, и задайте последний вопрос: "Откуда ты это знаешь?" Если ребенок ответит на все четыре вопроса без осечки, проверьте его на рядах из 5 предметов, сдвигая бусинки его ряда, вместо того чтобы раздвигать свои. Если у ребенка возникнут трудности при ответе по ряду из 4 предметов, то вернитесь к рядам из 3 предметов и в конце концов к рядам из 2. Если он все еще в затруднении, то начните все сначала.

Повторите этот ПУС с вариациями, как вы это делали в ПУСе 85, выкладывая различные узоры, чтобы установление попарного соответствия и счет стали труднее. Сопоставление узоров на глаз, будучи более примитивным процессом, сильнее направляет внимание ребенка на тождественность двух множеств, косвенно наводя на мысль о существенных неудобствах счета и установления попарного соответствия как метода сохранения конкретных количеств.

Если вы предлагаете .ребенку небольшое число предметов, он может получить ответ и без установления попарного соответствия. Как только вы увеличите число предметов и выйдете за пределы ПУСа 104, в котором возможно непосредственное восприятие, ему нужно будет придать более систематический подход. Поощрите ребенка использовать для проверки счет сначала над малыми числами. Выложите ряды из 4 бусинок в ситуации ПУСа 104, но поставьте еще несколько вопросов и предложений. После вопроса 1, если он согласен с тем, что у вас обоих одинаковое число, спросите его: "А сколько у тебя? И сколько у меня?" Подтвердите: "Да, у нас обоих по 4". После вопроса 2 вслед за утверждением ребенка, что после преобразования у обоих останется одинаковое число, спросите: "Так сколько у тебя будет? И сколько будет у меня?" Этим вы поощряете малыша ставить количественную идентичность четыричности выше качественной идентичности каждого ряда: "Да, у нас будет по 4 у каждого". Произведите изменение, о котором вы говорили, в одном из рядов, задайте вопрос 3 и снова упорно преследуйте его прямым вопросом о числе, обязывающим его сослаться на четыричность обоих рядов. Очевидным ответом на вопрос 4: "Откуда ты это знаешь?" - тогда становится: "Потому, что я их сосчитал" или "Потому, что у нас обоих по 4". Если ребенок дает более простой ответ: "Потому, что я могу это видеть", согласитесь, что это так, но снова привлеките его внимание к числу: "Да, конечно, ты можешь. И у нас обоих все еще по 4, не так ли?"

Двигайтесь дальше к множествам из 5 и 6 объектов, все время вводя число в обсуждение. К тому времени, когда вы предложите ряды из 7 и 8 объектов, ребенок сможет относиться к числу как к признаку, даже если оно выйдет за пределы его непосредственного восприятия. В этот момент вы можете сделать акцент на идее, что так как ничего не добавлено и не убавлено, то, конечно, у вас обоих должно оставаться одинаковое число. Закончите ПУС тогда, когда ребенок подкрепляет свое мнение ссылкой на число: "У нас обоих по 8" или "У нас все еще одинаковое число" - с добавлением: "Это правильно. Мы ведь ничего не убрали. И ничего не доложили. Так что они должны быть одинаковыми".

Этот ПУС помимо того, что он вытекает из ПУСа 105, связан еще с ПУСом 87, который можно использовать как вводное упражнение. Как и прежде, выложите два параллельных ряда, каждый из 5 бусинок или пуговиц: "Твой и мой". Спросите: "Сколько бусинок у тебя?" Затем: "Сколько у меня?" Уменьшите число бусинок в рядах до 4 или 3, если ребенок не может ответить на какой-нибудь из этих вопросов. Если же он с ними справился, то подтвердите: "Правильно, у нас обоих по 5. У нас обоих одинаковое число. Если я добавлю еще одну к твоему ряду, будет ли у нас обоих все еще одинаковое число бусинок?" Независимо от его ответа ("да", "нет", "не знаю") переходите к следующему вопросу: "Давай посмотрим, хорошо? Вот, еще одна тебе. Теперь у нас обоих все еще одинаковое число или у одного из нас больше?" Подтвердите, если ребенок скажет, что у него больше. В любом случае попросите его проверить числа: "Так сколько теперь у тебя? И сколько у меня?" Переходите к большим числам, как только малыш войдет в рабочий ритм, добавляя попеременно бусинки к своему и вашему ряду.

Следуйте порядку, установленному в ПУСе 106, но теперь поставьте альтернативный вопрос: "Если я уберу одну бусинку из моего ряда, останется ли у нас по одинаковому числу бусинок?" Продолжайте в том же духе, пока ребенок не сможет справиться примерно с 8 бусинками в ряду. Вставляйте добавочные замечания, чтобы напомнить, почему у одного из вас стало больше: "Да, это потому, что мы убрали 1 бусинку из моего (твоего) ряда". Пусть он, если хочет, произведет преобразование так, чтобы получить дополнительную информацию, напоминающую ему, что что-то было добавлено или убавлено.

В качестве последнего преобразования попросите малыша перенести бусинку из одного ряда в другой: "Если ты возьмешь одну бусинку из моего ряда и положишь ее в твой..." Кстати, хотя в этом случае изменение и будет более наглядным, но добавление и убавление нужно связывать именно с одновременным изменением числа бусинок в обоих рядах. "Правильно. У тебя стало на бусинку больше, а у меня на бусинку меньше".

На каком-то этапе в ПУСах 105-107, когда ребенок станет действовать вполне уверенно, хорошо бы изменить цвет бусинок, чтобы он не придавал особенного значения какому-либо цвету, а учился основываться* только на числе бусинок в каждом ряду как на ярлыке, относящемся к количеству. Чтобы быть уверенным в этом, закончите упражнение, применяя два ряда, состоящие из бусинок одинакового цвета.

Теперь мы перейдем от ситуаций, в которых возможен счет, к ситуациям, в которых считать значительно труднее или даже совсем невозможно. Как и в ПУСах 86, 96-98, мы будем для преобразований применять операции пересыпания. Начнем с двух высоких узких банок и одной широкой низкой. Попросите ребенка: "Положи 8 красных бусинок в эту банку", указывая на первую - высокую узкую - банку. Затем дайте ему другую банку, тоже высокую узкую, и попросите: "Положи 8 бусинок и в эту банку". Если вы найдете, что это помогает, вы можете называть банки "твоя" и "моя" и для двух множеств используйте сначала различные цвета. Вопросом 1 проверьте: "У нас одинаковое число бусинок? У нас одинаковое количество?" Если он не сможет справиться с этим вопросом, уменьшите число бусинок, вернувшись, если это необходимо, к 3 бусинкам в каждой банке. Подтвердите правильный ответ: "Да, ты положил в банки одинаковое количество". Введите в действие широкую низкую банку и поставьте вопрос 2: "Если я пересыплю мою кучку в эту банку, будет ли у нас по-прежнему одинаковое количество?" Отметьте его ответ, произведите перемещение и задайте вопрос 3: "Ну вот. А теперь у нас одинаковое количество или у одного из нас больше?" Опять отметьте его ответ и переходите прямо к вопросу 4: "Откуда ты это знаешь?"

В зависимости от ответов ребенка вы можете развить этот ПУС в направлениях ПУСа 104, переходя к меньшим числам, чтобы помочь малышу справиться с вопросами в связи с этим частным видом преобразования. Можно помочь ему постичь сохранение, предложив сосчитать оба ряда после пересыпания или обратиться к принципу обратимости: "Если я пересыплю мои бусинки обратно в эту банку, тогда у нас будет одинаковое число?" Пусть он сделает это сам, если хочет убедиться, что не произошло ничего подозрительного.

Обобщите принцип, лежащий в основе этого ПУСа, перейдя к двум низким широким банкам, пересыпая их содержимое в высокую узкую банку и преобразуя иногда множество малыша вместо вашего. Снова и снова напоминайте, что так как ничего не было ни добавлено, ни убавлено, то два множества должны быть одинаковыми. Заметьте, что в этом упражнении, после вопроса 1, можно обойтись без ссылок на число бусинок, опять-таки если он способен понимать сохранение без проверки счетом.

Предыдущий ПУС может вызвать у ребенка трудности не только потому, что была исключена поддержка счетом, но и потому, что ребенка могло вводить в заблуждение изменение внешнего вида. Возможно, что, правильно ответив на вопрос 2, т. е. предсказав, что у вас обоих после пересыпания будет одинаковое количество, он изменит свое мнение, когда столкнется с изменившимся после преобразования внешним видом. Чтобы помочь ребенку преодолеть этот барьер, вы можете уменьшить влияние ложного признака, скрывая содержимое банки, в которую насыпается материал. Сделайте это, используя непрозрачную банку, либо закрасив ту, которая у вас есть, либо же заклеив ее изнутри толстой бумагой. Наконец, вы можете во время пересыпания поместить третью банку за экраном так, чтобы была видна только ее верхняя часть.

Все проводится так же, как в ПУСе 108, но с точки зрения ребенка с тем единственным отличием, что теперь он не видит содержимого третьей банки после пересыпания.

Поскольку малыш не замечает изменения внешнего вида, он может понять сохранение, основываясь прежде всего на том факте, что он положил в них столько же, а также на том, что ничего не было добавлено или убавлено, или же, наконец, на том, что процесс обратим. В таком случае вы можете сделать еще один шаг в этом ПУСе, удаляя экран после того, как ребенок высказал свое суждение о том, что у вас обоих осталось одинаковое количество, и обосновал свое мнение удовлетворительными причинами. Он, возможно, потом переменит свое мнение. Вы можете помочь малышу, спрашивая его, почему он теперь думает, что количества стали разными. Почти неизбежно он сошлется на изменение одного или другого измерения, обычно высоты. Вы можете в противовес указать на компенсирующее изменение другого измерения: "Да, но эта банка вместе с тем шире / уже". Кроме того, вы можете воспользоваться обратимостью преобразований: "Если мы высыплем их обратно в эту банку (в первоначальную банку), будет ли у нас снова одинаковое количество?" Пусть он попробует это сделать; обсудите с ним этот вопрос. Выясните, как он рассуждает в этой ситуации, как он взвешивает разные виды информации, как - правильно или неправильно - разрешает кажущееся противоречие между событиями и проявлениями внешнего вида и как он аргументирует свои суждения.

В этом ПУСе мы отказываемся от счета как средства, и устанавливающего, и подтверждающего эквивалентность. Как и раньше, возьмем три банки, но теперь они должны быть достаточно большими, так как мы хотим использовать такое большое количество элементов, которое трудно сосчитать. Попросите ребенка насыпать сколько-то бусинок в его банку, а потому в вашу: "Насыпь мне такое же количество". Затем спросите: "У нас одинаковое количество или у одного из нас больше?" Если он думает, что у одного из вас больше, попросите его: "Сделай, чтобы было одинаково". Он может сделать это, досыпая бусинки в одну банку, отсыпая из другой или пересыпая из банки в банку. Как бы он ни действовал, пусть продолжает, пока не успокоится на том, что "у нас обоих одинаково". Затем задайте вопрос и далее следуйте, как в ПУСе 108.

Так как ребенку считать не представляется возможным, то вы должны обратиться к другим принципам. Укажите на изменение размеров: "Ниже, но шире". Используйте обратимость, восстанавливая первоначальный внешний вид. Сошлитесь на первоначальное неравенство: "Но ты в них насыпал одинаково". И напомните, что "ничего не было добавлено и не было убавлено". Все эти четыре аргумента одинаково хорошо приложимы к предыдущему ПУСу, где он мог прибегнуть к счету, если хотел подтвердить эквивалентность. Если в ПУСе 108 ребенок согласился признать счет ненужным, то, значит, он способен перенести свою веру в эти принципы и в данном ПУСе, в котором счет исключен.

Пока ребенок не готов отказаться от счета как от нереальной и не относящейся к делу процедуры, он не сможет понимать сохранение непрерывных или псевдонепрерывных количеств. Смысл упражнений с псевдонепрерывными материалами, перед тем как переходить к непрерывным, состоит в том, что псевдонепрерывные материалы выглядят так, как будто их элементы можно сосчитать, и это в принципе возможно. Это просто означает, что в какой-то момент операция пересчета становится практически невозможной.

Применяйте маскирующую технику ПУСа 109, если это поможет ребенку для понимания сохранения.

Глина - это, несомненно, непрерывный материал. Она имеет свойства, которые отличают ее от дискретных материалов, с одной стороны, и от жидкостей, с другой. Она также отличается от таких псевдонепрерывных материалов, как сахар и песок, своей пластичностью, хотя и приближается по своим свойствам к влажному песку, который также можно формовать. Как и жидкости, она несжимаема. Ее форму можно легко изменить, но объем и вес данного куска глины остаются постоянными, хотя этот факт вряд ли представляется ребенку очевидным.

Как и в ПУСе ПО, ребенок не сможет использовать счет как средство установления или проверки эквивалентности. Попросите его скатать два шарика из глины разного цвета, один для себя, а другой для вас, причем так, чтобы у обоих были одинаковые количества. Убедитесь, что он удовлетворен их эквивалентностью: "Итак, у нас обоих одинаковое количество?" И пусть он подгоняет размеры двух шариков до тех пор, пока сам не останется доволен при их сравнении. Вы можете продублировать проверку, спросив его: "Если мы обменяемся, будет у нас одинаковое количество?" Покажите ему, что вы подразумеваете под обменом.

Другой путь введения в этот ПУС - сделать два шарика равного размера и позволить ребенку провести все уточнения, которые он считает необходимыми для того, чтобы сделать их эквивалентными. Когда он согласится, что у вас обоих одинаковое количество глины, сообщите о предполагаемом преобразовании и спросите о его будущем результате: "Если я раскатаю мой шар в колбаску, будет ли у нас одинаковое количество?" Отметьте его ответ и раскатайте глину. "Вот. А теперь у нас одинаковое количество глины?" Снова отметьте его ответ и продолжите: "Откуда ты знаешь?" или "Почему ты так думаешь?" Оцените его ответ и подтвердите его суждение, если он усвоил сохранение. Как и прежде, если ребенок не способен понять сохранение, обратите его внимание на четыре главные идеи, которые помогают усвоить сохранение. Напомните о взаимной компенсации изменяющихся размеров и спросите, что произошло бы при обратном процессе. Используйте обратимость и прием со скрытым преобразованием и напомните малышу, что первоначально он сделал шары равными и к ним ничего не добавлялось и ничего не убавлялось. Возможен еще один ход, если он думает, что количества изменились. Дайте ему раскатать другой шар в колбаску, пока в его глазах не восстановится эквивалентность. Так же как и при обращении преобразования, это ничего не доказывает, но может натолкнуть на дополнительные мысли.

Следуйте процедуре, общей для ПУСов 106 и 107. Установите эквивалентность, как в ПУСе 112, а затем спросите ребенка: "Если я добавлю глины к твоему шару, будет ли у нас одинаковое количество?" Примите его ответ, каким бы он ни был, и добавьте к его шару довольно-таки большой кусок: "У нас по-прежнему одинаковое количество или у одного из нас больше?" Выслушайте, что он ответит, и закончите обычным выяснением, почему.

Проведите подобную же процедуру, удаляя большой кусок глины, повторяя те же вопросы относительно того шара, который изменяется. Наконец, попробуйте перенести кусочек глины с одного шара на другой. Постепенно уменьшайте добавляемое количество (удаляемое или добавляемое), пока ребенок не придет к выводу, что если шары были одинаковы вначале, то их эквивалентность должна теряться, сколь бы малые количества ни переносились от шара к шару.

Упражнение с водой проводится так же, как и с глиной. Действуйте стандартным методом, предложив ребенку налить равные количества воды в две одинаковые банки. Он сможет сделать это либо на глаз, сравнивая уровни, или же наполняя третий сосуд и переливая из него воду в данные ему две банки. Возможно, что вам самим проще проделать эту процедуру, показывая, что вы делаете, и предлагая ребенку подтвердить исходную эквивалентность количеств в двух банках. Задайте вопрос 1: "У нас обоих одинаковое количество воды?" Обсудите с ним проблему, если ему трудно проследить, что происходит, и если он не очень уверенно знает, как установить эквивалентность. Если эквивалентность доставляет ему слишком много хлопот, то он не подготовлен к этому упражнению.

Задайте вопрос 2: "Если я налью в твою банку еще o немножко воды, будет ли у нас по-прежнему одинаковое количество?" После его ответа добавьте в его банку столько воды, чтобы различие стало очевидным, и поставьте вопрос 3: "А теперь у нас одинаковое количество воды или у одного из нас больше?" После его ответа задайте вопрос 4: "Как ты узнал это?" или "Почему ты так думаешь?", чтобы выяснить его доводы, и обсудите с ним все происходящее в соответствии с тем, как он его представляет себе. Если он просто укажет на изменение уровней, напомните ему: "Мы добавили немного в эту банку, не так ли?"

Перейдите к уменьшению количества, как это делали с глиной. Закончите простым переливанием из одной банки в другую, постепенно уменьшая количество переливаемой воды до тех пор, пока изменение уровня воды не станет трудно различимым.

Используя формулы "твое" и "мое", мы подсказываем ребенку, что к понятию идентичности можно отнестись как к способу сохранения данного количества. При желании вы можете ПУС с глиной сделать аналогичным этому ПУСу с водой, если ПУС 111 его затруднит.

В целом для этого упражнения вам понадобятся четыре пластиковых подноса - три одинакового размера, а один существенно большего. Оптимальные размеры для маленьких подносов - примерно 15 см длина, 10 см ширина и 5 см глубина. Большой поднос может быть размером 20*16 см и, возможно, чуть глубже, хотя его глубина не особенно важна. Кроме того, вам понадобится пара пластмассовых плавающих уточек.

Поставьте два меньших подноса, называя их прудами или озерами, и налейте в них поровну воды. Как и прежде, установите их эквивалентность, проверив, что ребенок согласен с тем, что в обоих прудах одинаковое количество воды. Затем пусть он выберет утку, чтобы пустить ее в свой пруд, а вы тем временем пустите вторую утку в свой пруд. Когда все будет готово, вы можете сказать, что его утка хотела бы поплыть в другой пруд. Введите третий маленький поднос, но без воды: "Здесь сухо, поэтому твоя утка должна взять с собой свою воду". Помогите ему перелить воду в третий поднос вместе с уткой, затем, указывая на старый пруд, мимоходом задайте вопрос об идентичности: "Это та же вода, что была у утки здесь?" (качественная тождественность). Обсудите его ответ, если нужно, а затем спросите: "Это то же самое количество или здесь воды на сколько-нибудь больше?", указывая на новый пруд (количественная тождественность).

Так как оба пруда выглядят одинаково, и у ребенка все еще есть ваш пруд для сравнения, то у малыша пока не должно быть трудностей, если он и не понимает полностью, о чем идет речь. Если же трудности возникли, то нужно быстро отступить. Попробуйте просто поиграть с ребенком, чтобы разрядить настроение.

В том случае, если он согласен, что эта та же самая вода и то же самое ее количество, вы можете быть уверены, что он руководствуется общими принципами. Отложите упражнение на день, затем так же начните этот же ПУС, но на этот раз переливайте воду в больший пруд. Теперь ребенок готов к ПУСу 115.

Помимо того что этот ПУС непосредственно вытекает из ПУСов 111, 112 и 114, он связан с ПУСами 94 и 98, т. е. с ПУСами, которые связаны с переливанием жидкости и подводят к мысли, что жидкость "соответствует" сосуду.

Как и в двух предыдущих ПУСах, установите эквивалентность количества воды, налитой в две одинаковые банки. Введите третью банку другого объема и предложите ребенку высказать свое мнение о возможных результатах переливания, которое вы собираетесь сделать, отметив его ответ. Перелейте воду и задайте затем вопросы 3 и 4, как и прежде.

Используйте все применявшиеся ранее приемы и доказательства, чтобы помочь ребенку понять сохранение данного количества. Варьируйте внешний вид банок и попеременно переливайте содержимое "его" и "вашей" банок, когда он будет готов обобщить процедуру. Если он будет колебаться в этом упражнении, упростите ситуацию, выведя из игры банку, служащую для сравнения. Опустите вопрос 1 относительно эквивалентности, так как теперь он будет бессмысленным. Начинайте прямо с вопроса 2, сформулировав его подходящим образом: "Если эту воду мы перельем в другую банку, будет ли это все та же самая вода?" (качественная тождественность). Затем: "Будет ли это все то же количество?" (количественная тождественность). Перелейте воду и поставьте вопрос 3, также заново сформулированный так, чтобы он относился к двум видам идентичности. Далее идут вопросы типа: "Как ты узнал?" или "Почему ты так думаешь?"

Нет сомнений в том, что способность понимать сохранение разбитого на части множества требует особого озарения со стороны ребенка. Поэтому этот ПУС необходимо вводить как можно более осторожно. Введением в данный ПУС может служить ПУС 94, в котором ребенку помогает понятие его личной идентичности.

Начинайте с множеств, содержащих не более 3 кубиков или бусинок, чтобы у ребенка не возникало трудностей с установлением эквивалентности двух множеств. Пусть он возьмет 3 красных кубика себе и даст вам 3 синих кубика, и пусть он подтвердит, что у вас обоих одинаковое число кубиков - по 3.

Теперь спросите ребенка: "Если я положу два моих кубика сюда,- показывая на место в нескольких сантиметрах в сторону, - а еще один сюда,- показывая на второе место, отстоящее на пару сантиметров в противоположном направлении,- то будет ли у нас с тобой одинаковое число кубиков, или же у кого-нибудь станет больше?"

Отметьте его ответ, проведите операцию и поставьте вопросы 3 и 4 обычным образом. Если у него возникнут трудности, предложите ему посчитать, сдвигая, если нужно, разделенное множество теснее. В качестве введения перейдите к упражнению только с одним множеством, как это делалось в предыдущих ПУСах, и соответственно измените вопросы. Если он и тут проявляет признаки смущения, то шуткой выйдите из положения и отложите этот ПУС на одну-две недели. Ребенок к нему не готов.

По мере того как он будет осваивать этот ПУС, вы можете увеличивать число объектов в каждом множестве, беря больше 5 объектов и дойдя, возможно, до 8 или 9; вы можете убрать цветовой признак, предложить ребенку самому проделать разделение, наконец, попеременно менять разделяемое множество ("ваше" или "его"). Внимательно смотрите и слушайте, будьте готовы убрать любое сомнение и обменивайтесь с ним мыслями.

Так же как вы перешли от ПУСов 104 и 105 к ПУСу 108, используя банки как переход к ПУСу 110, следуйте той же схеме развития и с разделенными количествами. Все три банки могут быть одинакового вида и размера. Пусть он счетом установит эквивалентность 8 или 9 бусинок, положенных в каждую из двух банок, а затем спросите: "Если несколько моих бусинок пересыпать в эту банку, будет ли у нас с тобой одинаковое количество?" Один из способов уменьшить неясность этой ситуации заключается в том, что у вас обоих имеется еще и поднос, так что вы можете говорить о количестве, имеющемся на подносе. Если третья банка стоит на одном из подносов, вы можете поставить вопрос более определенным образом, относя его к "твоему подносу и моему", т. е. "На твоем подносе такое же количество, как и на моем?" или "Если высыплю сколько-то моих бусинок в эту банку, будет ли на наших подносах одинаковое количество?" Так как операция ограничена отдельным подносом, то это может помочь ребенку удержать идентичность разделенного множества. Если окажется, что пересыпание для него чересчур ненаглядно и он теряется, то позвольте ему посчитать, чтобы убедиться в неизменности разделенного множества.

Как только он сможет определять и устанавливать эквивалентность, не прибегая к счету, переходите к псевдонепрерывным материалам, таким, как бисер. Не забывайте про уже освоенные аргументы и доказательства, подтверждающие идентичность количества. Напомните ребенку прежде всего, что он уже вначале сделал количества одинаковыми, что ничего не добавлялось и не убавлялось; используйте прием маскировки, укажите на обратимость и на соответствующее изменение размеров, чтобы помочь ему преодолеть барьер. Если нужно, опять вернитесь к работе только с одним количеством, пропустив ситуацию с первоначальной эквивалентностью множеств и относящийся сюда вопрос. Возможно, ребенок прибегнет и к принципу компенсации, поставив две банки вертикально одна на другую, чтобы соединить воедино разделенные количества. Это неплохая мысль, и определенно он заслуживает, чтобы за нее его ласково обняли. Ко всему прочему ее было бы трудно предложить. Если бы он не пришел к этой мысли самостоятельно, то возможно, что вы его только запутали бы, пробуя натолкнуть на подобный прием соединения.

В ПУСах 111, 114, 115 ребенок научился понимать сохранение глины и воды. Используйте те же материалы, сначала глину, и пройдите упражнение с делением на части одного из количеств, его или вашего. Банки при работе с глиной не нужны. Установите эквивалентность двух шаров, как в ПУСе 111, затем предложите операцию разделения: "Если я разломаю свой шар o на две части, будет ли у нас одинаковое количество глины?" Пройдите те же основные вопросы и процедуры, делая предположение и поддерживая малыша, когда надо, приведите обычные доказательства и используйте подходящие приемы.

От глины перейдите к воде или лимонаду, если ребенок найдет его более интересным материалом, и, взяв опять три банки, использованные в ПУСе 117, следуйте той же последовательности действий. Вы можете усложнить этот ПУС, увеличив число банок, в которые разливаете воду.