Глава 11. Сохранение тождественности, числа и количества

Шаги по направлению к сохранению были сделаны в: ПУСах, включающих числа, воспринимаемые непосредственно; в ПУСах, включающих слова тот же самый и количество; в ПУСах, вводящих понятия тождественности; в ПУСах, включающих счет; наконец, в ПУСах, включающих преобразования различных видов. Все, чем занимался ваш ребенок, подводило его к осмысливанию, основных понятий, составляющих фундамент сохранения. Так что он уже прошел значительную часть пути. Все, что теперь ему надо сделать, это свить воедино отдельные нити каната, чтобы оказаться у цели.

Прежде всего давайте посмотрим, готов ли он развивать свое понимание тождественности в тех направлениях, которые мы только что обсудили. ПУС 55 давал ему возможность связать единичность и двоичность непосредственно с частями своего тела. В ПУСе 56 число, воспринимаемое непосредственно без применения счета, было увеличено до 5 за счет использования предметов, окружающих ребенка. Далее ПУС 62 привел его к счету по биркам до 10. В ПУСе 83 он перешел от качественной тождественности к количественной. Теперь мы можем объединить эти операции и понятия.

Начните с ПУСа 55, чтобы убедиться, что у малыша все еще 2 ноги, затем перейдите к его пальцам: "Сколько пальцев у тебя на этой ноге?" Он, возможно, захочет сосчитать пальцы, которые так тесно прилегают друг к другу. Если он сидит в ванне, постарайтесь, чтобы он не исчез под мыльной пеной, поднимая ногу для более близкого рассмотрения. При удаче он заключит, что 5 - это примерно правильно. В противном случае сосчитайте ему его пальцы, чтобы он уловил идею, а затем пропустите остальное в этом ПУСе на некоторое время.

Когда он вполне уверится, что на его ноге 5 пальцев, переключитесь на другую ногу: "Теперь другая нога. Сколько на ней пальцев?" Он может ответить "5" только на основании симметрии и, возможно, подумает, что это бессмысленный вопрос. Пока он доходит до 5 счетом, прямым восприятием или исходя из симметрии, он идет в правильном направлении. "Итак, на них обеих одинаково - на обеих по 5 пальцев".

Теперь идет хитрый момент, когда эти два множества пальцев объединяются: "А теперь сколько всего у тебя пальцев на обеих ногах вместе?" Побудите его считать: "Попробуй сосчитать их". Не волнуйтесь и не суетитесь, если он столкнется с трудностями. Дайте ему сначала применить некоторые его собственные теории. Только если он совсем зайдет в тупик или придет к неправильному ответу, покажите ему, как надо действовать. Затем пусть он все проделает снова. Это важный ПУС, но также и трудный. Возвращайтесь к нему снова и снова и следите, как он справляется с открытием, что у него 10 пальцев, по 5 на каждой ноге. Покажите ему, что безразлично, считать их слева направо или справа налево, все равно у него будет то же число пальцев. Рано или поздно он обнаружит, что так происходит потому, что это все те же пальцы, его пальцы, и они не меняются. Не меняются и связанные с ними числа.

Задайте вопрос: "Сколько пальцев у меня на этой руке?", показывая ему свою руку. Затем переключитесь на другую руку: "А на этой руке сколько у меня пальцев?" Если он опять придет к 5, вы можете подтвердить этот жизненный факт: "Да, на этой руке 5, как и на другой". Затем сразу вопрос: "Сколько пальцев на обеих руках вместе?"

Пока эта последовательность была в тесной связи с последовательностью вопросов при счете его собственных пальцев на ногах. Когда он придет к заключению, что всего у вас 10 пальцев, снова подтвердите его вывод. И затем: "А сколько у тебя? Сколько у тебя пальцев на руках?" Возможно, что он придет к правильному ответу, не считая или даже не потрудившись взглянуть на свои собственные руки. Он знает, что и у него, и у вас по одной голове, по две руки и т. д. По аналогии он может быть готов предположить, что это соответствие распространяется на пальцы на руках. Даже если он сделает этот интуитивный прыжок успешно, пусть подтвердит его счетом по биркам. Возможно, вам придется ему помочь в связи с упомянутыми выше трудностями при переходе от одной руки к другой: "Вот. Я буду показывать на них, а ты считай. Положи руку. Раздвинь пальцы. Начнем". Дотрагивайтесь до каждого пальца по очереди, и пусть он считает. Если хотите, можете повторить счет до 5 на каждой его руке. Это может помочь ему запомнить, что 5 и 5 - будет 10, как и при счете пальцев на его ногах или на ваших руках.

После того как ребенок образовал множество из 10 элементов, мы хотим знать, может ли он относиться к нему как к целому в более трудных условиях. Для этого подходят пальцы рук и ног. Продолжая ПУСы 92 и 93, попросите его расставить ноги или широко раскинуть руки: "А теперь сколько всего у тебя пальцев на ногах?" Как только вы увидите, что это ему трудно, возвратитесь к ПУСам 92 или 93 и затем постепенно увеличивайте расстояние между руками или ногами.

Испытывайте его, когда он стоит одной ногой в ванне, а другой еще на полу, когда на одну ногу надет носок и когда носки на обеих ногах. Попросите его заложить сначала одну, а затем обе руки за спину, спрашивая каждый раз: "А теперь сколько всего у тебя пальцев на руках?"

Когда нужно, подтверждайте его ответы: "Да, все еще 10", "Давай я сосчитаю их тебе". Если он перестанет видеть тождественность множества, спросите: "Почему ты думаешь, что они изменились?" Слушайте внимательно, что он скажет. Вы сами можете кое-что узнать.

В идеале для этого ПУСа вам нужно два коротких марша лестницы, а не один длинный. В большинстве современных домов около 15 ступенек между первым и вторым этажами. Жаль, что архитекторы, как правило, не проектируют дома так, чтобы помочь детям играть в числовые игры (хотя бы и могли это делать), но если вам повезет, то в вашем доме найдется пролет, в котором будет от 3 до 6 ступенек, промежуточная лестничная площадка и другой, более длинный пролет. Начните с более короткого марша: "Давай посмотрим, сколько ступенек на этом куске лестницы". Это устный счет с двумя особенностями. Во-первых, ребенок считает всем своим телом, а не просто своими пальцами. Во-вторых, он считает неизменное множество, связанное с чем-то из окружающего мира. Вы должны сами сообразить, как сделать, чтобы один длинный пролет лестницы воспринимался состоящим из двух различных пролетов. Можно было бы выкрасить два множества ступенек в различные цвета, но, скорее всего, это испортит вид лестницы и удивит ваших друзей. Поэтому лучше прикрепить на стене, скажем, возле пятой ступеньки одно из художественных произведений вашего ребенка. Постарайтесь, чтобы оно прочно сидело на одном месте. Иначе, вместо того чтобы показать постоянные свойства множества, связанного с этим числительным, вы можете внушить ребенку что-нибудь другое.

Как только ребенок убедится, что до площадки или до картинки всего 5 шагов, можете переходить к другому множеству. "Хорошо. Давай посмотрим, сколько осталось ступенек. Начинай считать снова". Так он узнает, что в первом пролете всего 5 ступенек и 10 ступенек во втором пролете. Ступеньки - очень устойчивая часть его окружения. Малыш знает, что они не приходят и не уходят. Или, как выразился один ребенок: "Они не движутся". Если вы живете в доме с лифтом, этот ПУС непригоден.

И наконец, вы можете предложить ему сопоставить два множества: "Давай посмотрим, сколько всего сейчас ступенек". После того как он дойдет до 5: "Хорошо, продолжим счет. Какая следующая?"

Чтобы придать больше блеска этому ПУСу, вы могли бы попросить ребенка нарисовать вам большую цифру 5 и повесить ее взамен любой старой картины. Тогда он связал бы постоянную пятиричность множества с нарисованной цифрой, устанавливая соответствие между визуальным вводом цифры 5 и всеми другими сенсорными вводами, которые приводят к установлению пятиричности первого множества ступенек.

Возьмите два сосуда одинаковой формы, один сосуд должен быть настолько больше другого, чтобы разница между ними была очевидной. Очень хорошо использовать пластиковые мензурки. Многое говорит за то, чтобы проводить это упражнение в ванной, где ошибочные суждения не доставят неприятностей. Покажите малышу две банки или то, что вы используете, и спросите: "Они одинакового размера или одна больше другой?" Если он не заметит различия, вам нужно найти другую пару банок, более отличающихся по размерам, или проверить его зрение.

Кроме шуток, многие дети страдают дефектами зрения и слуха, что годами остается невыясненным. Если у вас есть хоть малейшее сомнение, немедленно обратитесь к врачу.

Вернемся к делу. "Наполни мне большую банку". Пусть он сделает это как хочет, погружая ее в воду или наливая из крана. Проверьте, чтобы она действительно была полной. "Она не совсем полная. Сверху еще есть немного места". Помогите малышу наполнить ее настолько, насколько это ему доступно. Поддержание верхнего уровня - это еще один вид мастерства, которому он только учится. "Теперь перелей воду из большой банки в маленькую". Наблюдайте за его действиями. "Осторожно, постарайся ничего не пролить". Когда маленькая банка наполнится, покажите ему, что в большой банке осталось еще немного воды или что это слишком много для маленькой банки, если он осторожно переливал.

Вылейте воду из большой банки и обратите процесс. "Перелей ее обратно в большую банку". Когда ребенок окончит эту работу, заметьте, что теперь немножко не хватает. В качестве дополнительного упражнения он может оставить лишнюю воду в большой банке, так что когда он перельет в нее воду из маленькой банки, то большая банка будет опять полной. Вода вся здесь.

Продолжайте предыдущие упражнения. На этот раз начните с наполнения меньшей банки. Спросите: "Что произойдет, если мы перельем эту воду в большую банку? Она вся войдет? Или в маленькой банке останется немного воды? Будет ли свободное место в большой банке, или она будет полна водой? Как ты думаешь, до какого уровня поднимется вода в большой банке?" Обсудите с ребенком эти мысли, затем пусть он перельет воду. Разговаривайте об изменении, которое происходит, отмечая, что хотя форма воды различна (эта банка шире, но не такая высокая), но ничего не потерялось. Спросите, думает ли он, что здесь все еще то же количество воды. Затем спросите: "Что произойдет, если мы перельем воду обратно в маленькую банку? Вся ли она войдет?" Пусть он перельет воду обратно, сведя к минимуму разбрызгивание, чтобы он открыл," что та вода, которую он вылил из маленькой банки, снова точно заполняет ее, когда ее наливают обратно. "Вот. Она опять полная". На берегу моря или в песочнице вы можете играть в ту же игру с песком. Подобные вещи можно проделать и используя глину - непрерывный материал, не требующий сосуда. Возьмите шарик из глины, пусть ребенок раскатает его в колбаску или в лепешку, и спросите: "Это все та же глина?" (качественная идентичность). Затем: "Это все то же количество?" (количественная идентичность). Что бы он ни ответил, переходите к обратной операции, спрашивая, что, по его мнению, произойдет, если он скатает глину обратно в шарик. "Будет ли это то же количество?" Это принцип обратимости. Вы можете изменить форму данного количества, а затем обратной процедурой доказать, что это то же самое.

Для этого упражнения вам нужны два или более сосуда равного объема, но различной формы, так чтобы на глаз было невозможно определить, что они вмещают одинаковое количество материала. Бутылки разной формы часто делаются стандартных размеров (пол-литра) - это распространенная емкость для таких товаров, как уксус, молоко, соки. Вам также может понадобиться воронка.

К несчастью для вас, это упражнение нужно проводить вне ванны. Поставьте бутылки на большой противень из плиты, положенный на столе, чтобы локализовать площадь, охваченную бедствием. Это упражнение можно выполнять на сушильной площадке кухонной мойки. Постарайтесь найти два сосуда весьма различного внешнего вида: один высокий и тонкий, другой широкий и низкий. Проверьте сначала, что у них в точности одинаковый объем, иначе у вас будет опять вариант предыдущего упражнения.

Попросите ребенка наполнить одну из бутылок и поставьте ее на противень рядом с пустой бутылкой. "Как ты думаешь, что произойдет, если мы перельем воду из этой бутылки в ту, пустую? Не будет ли для нее слишком много воды?", "Хватит ли здесь воды, чтобы наполнить пустую бутылку?" Варьируйте вопросы, пока он не поймет, чего вы добиваетесь. "Как ты думаешь, не останется ли здесь немного воды?", "В этой бутылке больше места, чем в той?" Не важно, если он откажется угадывать - это его право.

Пусть ребенок перельет содержимое, используя, если нужно, воронку, чтобы избежать разбрызгивания. "Хорошо. Давай посмотрим. Перелей воду в пустую бутылку для меня". В зависимости от его ожиданий ребенок будет или удивлен, или удовлетворен результатом: "Представь себе, они одинаковые". Очень возможно, что он будет немного озадачен этим преобразованием.

Пусть ребенок опять перельет воду в первоначальный сосуд, после того как вы еще раз задали ему те же вопросы, что и прежде. Какой бы ни была его догадка, поговорите с ним о результате, чтобы понять, как работает его голова. "Потом что ты сделал, а что затем? Они должны содержать одинаковое количество". Обратите внимание малыша, если он не сможет заметить первым, на то, что хотя одна из бутылок выше, чем другая, но она не такая широкая. Ведите его к системе мышления, которая поможет ему разрешить дилемму, возникающую при изменении внешнего вида, так, чтобы он комбинировал и учитывал различные измерения. Это принцип компенсации. Подкрепите идею этого принципа, введя третью бутылку такого же объема, если сможете ее найти, чтобы он понял, что безразлично, из какой переливать в какую,- все они вмещают одинаковое количество.

Используйте большую широкую эластичную ленту (или резинку). Подержите ее перед ребенком, слегка растянув двумя большими пальцами. Скажите: "Посмотри на нее" - и растяните ленту примерно вдвое от ее первоначальной длины. "Теперь ее больше или меньше или здесь то же количество эластика?" Что бы он ни ответил, спросите: "Почему? Как ты узнал?" Сосредоточьте внимание опять на качественной идентичности, если он затруднится в сохранении количественной идентичности. "Это та же эластичная лента?" Обсудите с малышом вопрос, чтобы выяснить ход его мыслей. Если он скажет, что теперь ее больше, потому что она длиннее, заметьте, что она в то же время стала уже, и, наоборот, если он скажет, что она меньше, потому что уже, отметьте, что зато она длиннее и что эти различия восполняют друг друга. Спросите его также, откуда появился излишек или куда он делся, если ребенок думает, что здесь произошли прирост или потеря. Лучшим является ответ, что ничего не прибавлено и не убавлено, так что данное количество должно быть тем же самым. Предложите малышу это утверждение, чтобы посмотреть, что он из него извлечет.

Вследствие своей упругости резиновая лента дает особый пример принципа обратимости. Будучи деформированной, она сама восстанавливает свой первоначальный вид, как только ее отпускают. Дайте ребенку самому поиграть с лентой, чтобы он ознакомился с этой любопытной ее особенностью из первых рук. Задайте ему вопросы из ПУСа 97, связанные с обратимостью, чтобы помочь ему связать этот принцип с понятием тождественности.

Идея добавления и убавления в случае дискретных материалов, когда ее можно подкрепить субитированием и счетом, была введена в ПУСе 87. Прежде чем приняться за стандартные ситуации сохранения с глиной и водой, мы хотим удостовериться, что ребенок может приложить понятие количественной идентичности и к этим материалам.

Пусть скатает кусок глины.в шарик. Укажите на другой кусочек примерно половинного размера и спросите: "Если я добавлю этот кусочек к шарику, что будет?" Отметьте его ответ, и пусть он прибавит второй кусочек к шарику: "Что теперь стало?"; затем: "Это все еще то же количество, какое было в шарике?" Помогите ему, если он запнулся: "Этот больше", "Теперь в этом больше".

Повторите то же самое, спросив, что произойдет, если вы немного глины отнимете. Опирайтесь на видимое изменение ("Это меньше") и ведите к количественному изменению ("В этом меньше"). Постепенно уменьшая величину кусков, отнимаемых или прибавляемых, вы будете толкать его к тому, чтобы он все меньше и меньше опирался на признаки внешнего вида, а судил о количественном изменении только в зависимости от операции добавления или убавления.

Вы можете проделать аналогичную операцию с водой в прозрачной банке, чтобы он мог наблюдать изменение уровня, когда он повышается или понижается. Облегчить ему переход к опоре на действие вы можете не только тем, что будете уменьшать переливаемые количества, но и тем, что перейдете к непрозрачным сосудам.

Для этого упражнения вам понадобится помощь человека, занимающегося плотничьим делом или резьбой, или же некоторое количество пластилина и 5 плоских мисок или жестянок для выпечки.

Ры можете заменить пластилин самодельным пластическим материалом. Возьмите две или три части муки на одну часть соли. Тщательно перемешайте, затем добавьте достаточно воды - примерно одну часть, чтобы получить консистенцию, которая так нравится детям. Добавка растительного масла улучшит ее структуру. Окрасьте эту массу свекольным соком или любым другим безвредным красителем, который всегда найдется в кухонном шкафчике. Пусть ребенок сам проделает всю черновую работу под вашим наблюдением. Он получит удовольствие, а вы сохраните руки чистыми. Эту массу держите в закрытой от воздуха пластмассовой коробке или полиэтиленовом мешочке, и она всегда будет мягкой. Масса будет лучше сохраняться, если в нее добавить щепотку квасцов, что улучшит ее свойства.

По существу, это - развитие идеи доски с фигурными вырезками, использованной в ПУСе 22 и связанной с ПУСами 24 и 59. В этом ПУСе можно ввести написанные номера, но пока нет необходимости делать упор на этой стороне дела. Материалы состоят из 5 квадратиков или кругов, сделанных из пластилина или выпиленных из куска фанеры. Можно использовать жестяную форму для выпечки или отдельные миски для пирогов.

Рис. 32

Любым удобным для вас способом сделайте 5 кругов, подходящих по размерам к отверстиям. Первый круг оставьте, как он есть, за исключением того, что на обеих сторонах напишите фломастером цифру 1. Другую цифру 1 нарисуйте возле отверстия, в которое он входит. Если вы в качестве доски с вырезами используете и миски для пирогов, то вы можете написать цифры на листках бумаги и приклеить их липкой лентой. Во всяком случае цифры несущественны в-этом упражнении. Забудьте о них, если они доставляют хлопоты или оказываются развлечением. Разрежьте второй круг пополам, поставьте цифры 1 и 2 на верхней стороне обеих половинок, а на нижней стороне каждой половинки - цифру 2. Еще одна цифра 2 помещается у отверстия. Продолжайте в том же духе, закончив на 5-м круге, разрезанном на примерно равные секторы, пронумерованные цифрами от 1 до 5 на одной стороне и отмеченные цифрой 5 на обратной стороне; еще одной цифрой 5 пометьте отверстие. Посмотрите на рис. 32, на котором показаны обе стороны всех частей.

В этом упражнении вы всецело игнорируете цифры. Покажите ребенку первый круг в его ячейке на доске, выньте его и спросите: "Войдет он обратно?" Отметьте, что он ответит - "да" или "нет". В обоих случаях скажите: "Попробуй положить его назад". Если он не сможет с этим справиться, можете дать ему поиграть частями и возвратитесь к этому ПУСу на следующей неделе. Если он скажет "да" и вставит круг на его место, перейдите к кругу, разделенному на две части.

Рис. 33

Продолжайте до круга, с которым ребенок не сможет справиться или пока не соберет всю серию. Со следующей недели испытайте его на ряде квадратов или прямоугольников, показанных на рис. 33. Затем попробуйте предложить фигуры сложной формы, приведенные на рис. 34.

Рис. 34

Главная цель этого упражнения заключается в установлении связи между идентичностью и занимаемым местом. Фигуру, соответствующую месту, можно удалить, разделить на части, снова соединить и вернуть на то же самое место. Она "принадлежит" ему. Ничто не добавлено и не убавлено. Несмотря на все преобразования, она сохраняет свою идентичность как определенная фигура, соответствующая данному месту, которое само совершенно не видоизменяется.

До сих пор не было необходимости упоминать цифры, но, если ребенок хорошо прошел через ПУС 101, вы можете начать привлекать его внимание к цифрам. Прежде всего обратите внимание на соответствие цифр на частях кружков и цифры возле отверстия: "Здесь 1. Видишь, и здесь 1. Поэтому это относится сюда". Переходите ко второму примеру: "Этот кружок из двух частей. Поэтому он относится к отверстию с цифрой 2". Проследите, положит ли ребенок на соответствующее место части с цифрами 1 и 2 или с цифрами 2 на обеих половинках. В любом случае вы можете заметить, что цифры указывают правильный путь. Не считайте достижением, если малыш научится читать их вверх ногами. Если он выбрал 1 и 2, вы можете сослаться на порядковые свойства множества: "Так. Один, два", показывая на них во время счета. Если же он выбрал 2 на обеих частях, вы ссылаетесь на количественное свойство двоичности: "Да. Здесь два и здесь два".

Когда вы перейдете к кругу, разделенному на три части, ребенок должен будет подумать, каким числам, порядковым или количественным, отдать предпочтение. Если он выбирает 1, 2 и 3 или же три цифры 3, вы можете действовать по-прежнему. Если же он выбирает две цифры 3 и одну из цифр 1 и 2, то вы должны привлечь его внимание к этому факту, сославшись на его предшествующие действия, в зависимости от того, какое понимание чисел, порядковое или количественное, он выбирал, когда действовал с половинками.

Если ребенок выбирал порядковое расположение: 1 и 2, вы можете указать: ^Теперь здесь три части. Одна. Две. Три. Где цифра 1?" (или соответственно 2). Пусть он найдет ее на обратной стороне сектора, чтобы дополнить последовательность. Если же он сначала исходил из количественного свойства двоичности, скажите: "А где еще одна цифра 3? Ты можешь мне ее найти?" Пусть опять сам заполнит ряд, выложив все три цифры 3.

Переходите к 4 и 5, как только ребенок будет к этому готов, но не подталкивайте его. Это, действительно, совсем новая для него мысль, что числа можно представлять в виде письменных символов и что эти символы имеют порядковые и количественные свойства. Пусть он сам выбирает, как ему удобнее посмотреть на это. Только когда он уверен в своих новоприобретенных знаниях, постепенно привлекайте его внимание к другому взгляду на числа в их связи с упорядоченными множествами. Это упражнение не является существенным для овладения понятием сохранения, но оно поможет ему, когда он пойдет в школу и начнет учиться числам и их записи цифрами. То же самое можно сказать и о счетных столбиках, упоминавшихся в главе 8. В этом случае цифры - это только фигурки, но рано или поздно ребенок познакомится с ними как с символами, связанными с числами, с которыми он уже научился обращаться как с количествами.

После ПУСа 101 независимо от того, заинтересуется ребенок ПУСом 102 или нет, вы может удалить внешний признак, каким является место, предназначенное для кружка. Это сделает ПУС чуть-чуть труднее, так как будет отсутствовать пустое отверстие, которое напоминало бы малышу, какую фигуру нужно восстановить.

Уберите доску с отверстиями и положите круги перед малышом в ряд. Дайте две части второго круга и спросите: "Ты можешь снова сложить их вместе так, чтобы они выглядели, как другие?" Покажите ему, что вы подразумеваете, если его озадачит ваш вопрос Как только он будет готов к этому, переходите к другим кругам. И наконец, пусть он попробует составить и другие фигуры (рис. 34), не пользуясь соответствующими им отверстиями.