Дальнейшие средства

Какие существуют другие пути проверки того, что преобразованный объем не вырос или не уменьшился? Взрослые применяют измерительные устройства, но это становится возможным намного позже того момента, тогда ребенок вдруг постигает, что количества не меняются только из-за того, что им придают различную норму. Помимо измерительных устройств, не существует способов прямой проверки; однако помочь ребенку преодолеть впечатление от ложных признаков, связанных с внешним видом, можно пятью способами.

Первый состоит в том, что операция может быть замаскирована. Вместо переливания воды в прозрачную чашку, в которой хорошо виден ее уровень, воду можно перелить в непрозрачную банку. Некоторые дети способны понять сохранение преобразованного количества, если они не наблюдают ложный признак - уровень воды банке.

Основой второго способа является то, что ребенок легче откажется от уровня как признака, если ему укажут, что хотя уровень воды выше (или ниже), но зато банка уже (или шире). Таким способом внушается, что изменение одного размера возмещается или компенсируется изменением другого. Эта идея компенсации вряд ли выдержит научную проверку, но она помогает ребенку выйти из-под влияния только одного измерения и учит не поддаваться гипнозу одного лишь уровня.

Третий способ основан на том, что операция может быть обращена. Шар из глины, который раскатан в колбаску, можно снова скатать в шар и проверить его первоначальную эквивалентность. Это опять-таки не доказательство. В принципе глина может пухнуть и ужиматься при операции изменения формы, но если мудрый и могущественный взрослый готов привести обратимость как очевидное обоснование того, что конкретное количество остается неизменным, то ребенок готов принять это на веру и может спокойно отбросить внешний вид как признак количества. Чтобы оценить степень требуемого доверия, можно использовать обратимость и компенсирование размеров на дискретных материалах, когда возможен счет, а затем перенести эти процессы на непрерывные количества.

Вместо того чтобы, обратив преобразования, восстанавливать прежний вид одного количества, можно, применив еще раз то же преобразование ко второму количеству, снова привести их в соответствие. Как и в случае обратимости, это не является доказательством: в принципе количества могли бы меняться вместе с их формой. Однако параллельное изменение может помочь ребенку отказаться от предположения, что количества могут расти или уменьшаться при изменениях своего облика.

Пятое средство, помогающее облегчить ребенку понимание сохранения,- это отказаться от стандартной ситуации сохранения и использовать только одно конкретное количество. Такая манера представления поднимает целый ряд теоретических вопросов. Для наших целей достаточно учесть (этому имеется множество доказательств), что для большинства детей сохранение становится более затрудненным, когда им дают для сравнения два количества. Без второго количества для сравнения вопросы должны быть переформулированы. В стандартной ситуации, когда после преобразования одного из количеств ребенка спрашивают: "У нас все еще одинаковые количества?", ему, может быть, трудно решить, просят ли его сравнить два количества в их новом облике, или преобразованное количество с тем же количеством в его первоначальной форме, или же преобразованное количество с другим количеством через его запас информации о том, как выглядело преобразованное количество. Возникают даже более сложные вопросы, если мы примем во внимание связь между качественной и количественной тождественностью. Оставляя в стороне эти мысли, подчеркнем лишь тот факт, что мы можем облегчить ребенку путь, если представим ему только одно конкретное количество, преобразуем его и спросим, осталось ли оно все еще тем же количеством, вместо того чтобы пробираться через стандартную процедуру сохранения.

Существуют еще два способа, с помощью которых может быть достигнуто понимание сохранения непрерывных количеств. Один состоит в прямом переносе представлений от дискретных материалов к непрерывным. Другой заключается в том, что число объектов при работе с дискретными материалами непрерывно увеличивается до тех пор, пока они не станут псевдонепрерывными. Все эти семь подходов могут использоваться и будут введены в ПУСы следующей главы.

Вспомните, что было сказано вначале относительно ваших разговоров с ребенком. По существу, вы стоите на пересечении идей. Когда вы демонстрируете ПУСы, говорите ему о том, что вы делаете, что вы только что сделали, что вы собираетесь делать и почему вы делаете все это. "Что произойдет, если я теперь раздвину бусинки в этом ряду?", "Да, он станет длиннее, но останется ли в нем такое же число бусинок?" Произведя операцию, спросите его: "Что теперь произошло?", "Да, этот длиннее, но ведь он не так заполнен, не так ли?", "Можно ли его сделать таким же, каким он был прежде, как ты думаешь?", "Я что-нибудь взяла или добавила что-нибудь? Как ты думаешь?" Вовлекайте его в процесс мышления, чтобы он мог связать операции с теми понятиями, которые лежат за ними. Предложите его вниманию утверждение о том, что если на первом месте стоит "мы сделали их одинаковыми", то тогда банки или ряды содержат после преобразования то же самое количество независимо от изменения внешнего вида. "Не важно, что они так выглядят, правда?" А главное, пусть он начнет с понятий, связанных с принадлежностью и тождественностью, примитивной, персональной, качественной и количественной, с тем чтобы число и конкретное количество стали частью системы понятий, которую он строит, чтобы придать смысл миру, действительно странному в некоторых отношениях.