Некоторые собственные мысли

Вы можете вспомнить, что в ПУСах 30 и 31 мы ссылались на разницу между порядковым и количественным числом. При счете вслух и счете по биркам мы имели дело с порядковыми числами - последовательным свойством чисел. К количественным числам мы подошли с другой стороны. Прежде всего мы обратили внимание на способность вашего ребенка на ранней стадии (задолго до того, как числа станут чем-то большим, чем словами в детских стишках, не имеющих смысла) непосредственно видеть единичность отдельного объекта в отличие от двоичности пары и позднее от троичности тройки. Некоторые ПУСы были разработаны, чтобы подвести ребенка к навыку присоединять числовые ярлыки этим малым множествам без истинного счета в последовательном смысле. Еще позже мы дали ему возможность расширить свой навык на множества из 5 элементов. Но мы, кроме того, пытались связать воедино эти две линии в развитии понимания числа. В критических ПУСах 88-91 мы должны были допустить счет по биркам либо использование попарного соответствия, как приемлемую процедуру, именно потому, что на этой стадии мы не хотели подчеркивать необходимость доверять количественному свойству чисел, достигаемых в результате последовательного процесса счета по биркам за пределами возможностей восприятия ребенка.

Чтобы последнее утверждение не казалось устрашающим, давайте выразим его в практических терминах. В них оно станет даже более удивительным. Из 80 детей, которые все могли считать по биркам, по крайней мере, до 20, 5 демонстрировали любопытную способность понимать сохранение числа и в то же время неспособность понимать сохранение количества, если оно было раздроблено. Им дали два набора кубиков, причем дети знали, что эти наборы содержали одинаковое их количество, поскольку они сами сделали наборы равными; затем один набор кубиков поместили в одну банку на подносе, а другой разложили в две аналогичные банки на другом подносе. Все 5 детей сказали, что на каждом из подносов находится по 14 кубиков, как это и было в действительности, но отрицали, что на них находится одинаковое количество кубиков. Для взрослых это может прозвучать странно, но с точки зрения ребенка это вполне резонно. Так же как два стула отличаются друг от друга и каждый имеет свою идентичность, хотя они и несут один и тот же ярлык, который относится к их "стулости" - свойству, экспериментально определенному в словах "что-то для сидения", то точно так же два множества могут иметь одинаковый ярлык 14 и иметь общее свойство четырнадцатиричности только в том смысле, что стандартное, одно и то же действие счета ведет к одному и тому же ярлыку.

Это не изолированный пример. Эти два вида сохранения - числа самого по себе и количества, описываемого числом,- впервые были отмечены другими исследователями. Более того, мы можем прямо связать эти два вида сохранения с отмеченной выше разницей между порядковыми и количественными числами. Счет по биркам, как последовательная процедура, приводит к ярлыку, который является неизменным для считаемого множества. Это характерный признак данного множества, такой же прочный, как цвет, форма, размер или какие-либо иные свойства его элементов. Так оно и есть в действительности. Но, по существу, это все еще порядковые числительные. Пока не понято то, что числовой ярлык относится не только к данному множеству, но и к характерному признаку количества, общего для всех множеств, несущих этот ярлык, количественное свойство числа нельзя ввести в игру. Кратко говоря, сохранение количественных чисел, обычно усваиваемое раньше, отличается от сохранения порядковых чисел той же величины.

Чтобы получить этот очень важный вывод другим путем, нам нужно только использовать последовательность ярлыков, которые не относятся к количеству. Было бы вполне возможно использовать алфавит таким же способом, как и счет по биркам. Вместо счета по биркам от 1 до 12 мы могли бы перечислять от А до М. Тогда любое множество из 12 элементов получало бы ярлык М как I неизменную характеристику. Чтобы проверить это, вы должны использовать ваши пальцы или некоторые другие процедуры попарного соответствия, поскольку 12 остается вне предела непосредственного восприятия. Тогда личность будет свойством множества, которое приобретает ярлык М, если с ним обращаться таким образом. Однако все еще были бы пропущены два важных момента. Во-первых, что М-ичность одного множества совпадает с М-ичностью другого множества, получающего этот же ярлык. Другими словами, то, что М-ичность обладает сверхординарным, почти трансцендентным качеством, сродни голубизне голубого, которое независимо и не обязательно связано с каким-либо конкретным объектом или конкретной частью окружающего мира. Во-вторых, что эта М-ичность связана с количеством .

Вернемся теперь к трудности, которую дети встречают в сохранении количественного числа (количества) для разделенного множества. Если ребенок может считать по биркам до 5, то он может убедиться, что у него по 5 пальцев на обеих ногах. Когда его способность непосредственного восприятия возрастет до 5, он сможет прямо увидеть эту пятиричность. Порядковое 5, которое возникнет в результате последовательного процесса счета по биркам, будет тогда соотнесено с количественным б, т. е. с неизменным количеством, которое он устанавливает в результате субитации. Он знает, что это количество должно быть неизменным, потому что пальцы принадлежат ему самому, не добавляются и не убавляются (что связано с тождественностью его как личности), так что неизменность этого количества он может видеть непосредственно.

Каждая нога в отдельности обладает свойством пятиричное. Как только он сможет сосчитать по биркам до 10, он сможет обнаружить, что ярлык 10 как порядковое число появляется при счете всех его пальцев вместе. Так как все его пальцы обладают неизменностью, связанной с тождественностью его личности, он может поверить в 10 как в количественное число, даже если он не способен воспринимать десятиричность непосредственно. Так как каждая нога в отдельности связана с пятиричностью, то, когда все его пальцы ног составлены вместе как множество и сосчитаны, ему не покажется невероятным, что порядковое 10 связано с десятиричностью таким же образом, как порядковые пятерки связаны с пятиричностью.

Это большой интуитивный скачок, в значительной степени в темноте, но это тот скачок, который он когда-нибудь и как-нибудь должен сделать, если ему придется иметь дело с количественными числами, превышающими порог непосредственного восприятия, что и составляет содержание арифметики. Переход от ПУСа 89 к ПУСу 91 поможет ему сделать этот скачок. Если предположить, что ребенок может объединить два множества пальцев, чтобы таким способом прийти к десятиричности этого объединенного множества, то становится существенным вопрос, может ли он обратить этот процесс. Сколько у него всего пальцев на ногах, если его ноги немного раздвинуты? Все ли еще у него 10 пальцев, когда его ноги расставлены как можно шире? Все ли еще 10 пальцев, когда одна нога находится по одну сторону открытой двери, а вторая - с другой стороны или когда одна нога уже в ванне, а другая - еще на полу? И наконец, все ли еще у него 10 пальцев на ногах, когда он обут? Если он так считает, то он определенно может справиться с разделенным множеством, которое связано с тождественностью его личности.

Испытайте его с пальцами на руках. Здесь возникает дополнительная трудность: счет должен переходить с одной руки на другую, не только для руки, пальцы которой считают, но и для той, которая ведет счет. Понаблюдайте за ребенком постарше, когда он считает свои пальцы и, переходя на другую руку, использует простые суммы, и вы увидите, как этот перенос функций от руки к руке ведет к колебаниям и ошибкам.

Переход от порядковых к количественным числам с неодушевленными предметами - это другой рассказ. Можно использовать ПУС 90, чтобы помочь малышу сделать переход от установления попарного соответствия к счету как способу оценки количеств. Это упражнение предложили 18 детям в возрасте от 4 л. 9 мес. до 5 л. 9 мес. (средний 5 л. 3 мес). Восемь из них начали с утверждения, что в более длинном ряду больше кубиков, чем в более коротком, несмотря на то что оба ряда имели одинаковое число кубиков, причем число, которое полностью укладывалось в рамки их устного счета по биркам. Они упорствовали в этом суждении все время, пока число кубиков в обоих рядах систематически, пара за парой, уменьшалось, и до тех пор, когда в обоих рядах осталось по 2-3 кубика. В этот момент они чрезвычайно удивились. Раньше им не приходило в голову, что слово одинаковый может иметь и другое значение. Только тогда, когда они смогли прямо увидеть численную эквивалентность двух рядов, они сумели отказаться от визуального признака длины.

Это гениальное прозрение, и, как только ребенок споткнется на том факте, что визуальные признаки протяженности и числовые признаки могут противоречить друг другу, оно открывает возможность отнестись к числу как показателю количества даже тогда, когда оно визуально противоречит другим признакам. Чтобы помочь этому прозрению, вам нужно всего лишь обратить процедуру, прибавляя к обоим рядам кубиков пару за парой, побуждая вашего ребенка относиться к числу как к признаку, который ответит на наш вопрос. Вначале малыш, возможно, не будет готов пойти дальше малых чисел, которые он может субитировать, но, познав на опыте, что между числами сосчитанными и числами, воспринимаемыми непосредственно, существует соответствие, он в этом уверится. В результате он будет подготовлен к тому, чтобы воспринять, что если в каждом из двух рядов имеется по 6 предметов, то безотносительно к внешнему виду, который может быть различным, они связаны с одним и тем же числом не только в порядковом, но также и в количественном смысле.

Обсуждая пути овладения понятием сохранения количества, мы предположили, что усвоение понятия сохранения дискретных количеств предшествует усвоению понятия сохранения непрерывных количеств. Как правило, это верно. Если бы каждый ребенок развивался таким образом, то это заставило бы предположить, что такова необходимая последовательность событий. К счастью (или к несчастью, в зависимости от того, как вы на это смотрите), некоторые из детей проявляют при некоторых обстоятельствах способность понимать сохранение непрерывных количеств прежде, чем они в состоянии понять сохранение дискретных количеств. Из 20 ребят, получивших 6 различных тестов на сохранение, двое смогли понять сохранение воды при переливании ее в две банки и в то же время не смогли сделать этого для фасолин при тех же условиях. Восемь детей смогли понять сохранение количества фасолин, но не воды, четверо смогли сделать и то и другое, и шестеро детей не владели никакой формой сохранения при тех же самых условиях. Поскольку для непрерывных сред, таких, как вода, счет невозможен, пока не используется измерительная аппаратура, мы сталкиваемся с головоломным вопросом о том, как возможно понять сохранение без счета, и с еще более неприятным вопросом о том, почему подобный навык, каким бы он ни был, применим только к непрерывным количествам. Честно говоря, мы не знаем. При обсуждении концепций тождественности мы стремились открыть подходы к сохранению независимо от числа, но трудно понять, почему бы это могло действовать в случае воды, но не в случае фасолин.

Наблюдения, действия и понятия, связанные с соответствием и принадлежностью, предлагают другой возможный путь поиска, объяснения, о чем говорилось в главе 4. От соответствия мы приходим к принципу обратимости почти как к побочному выводу. Задолго до того, как ребенок дойдет до подлинного понимания сохранения, он узнаёт, что некоторые изменения, связанные с ощущаемым размером количества, могут быть обратимыми. Бусинки можно нанизать на нитку или собрать вместе; воду из низкой широкой банки можно вылить в высокую узкую и перелить обратно, чтобы придать ей первоначальный вид, заполнив ею то же пространство, что и раньше; глине можно придавать различные формы, а между этими преобразованиями скатывать в шарик того же размера. Все это с очевидностью, наводит на мысль, что обратимость, мало помогая ребенку достигнуть истинного понимания сохранения, в значительной степени представляет собой такое же препятствие, как признаки размеров, которые находятся в противоречии с признаками количества. Ребенок должен научиться отвлекаться от преобразований внешнего вида как не относящихся к делу, чтобы стало возможным настоящее понимание сохранения. Вполне может оказаться, что, достигнув подлинного понимания сохранения, ребенок может включить обратимость в систему его понятий потому, что она согласуется с сохранением количества, а также как средство проверки того, что ничего не добавлено и не отнято; однако этому еще нет ясных доказательств.

Можно заключить, что обратимость является центральным понятием, когда она рассматривается в связи порядковой значимостью множеств. Генри, о котором мы упоминали в главе 8, прекрасно понял, что различия между множествами обратимы и что попарное соответствие между ними можно восстановить, прибавляя или добавляя элементы к соответствующему множеству.