Что такое сохранение

В. развитии логического и математического мышления ребенка есть важная граница, которую большинство детей переходят между 5 и 8 годами,- понятие о сохранении. Это значит, что ребенок осознает, что количество остается таким же" до тех пор, пока вы не прибавите или не убавите из него что-то, и не зависит от того, насколько вы измените расположение или распределение его частей.

Рис. 1а

Например, вы можете показать ему два равных ряда бусинок и спросить, одинаковы ли они. Если ребенок понимает, о чем вы спрашиваете, он ответит "да" (рис. 1а).

Если затем сдвинуть один ряд, как показано на рис. 1б, и спросить, остались ли ряды одинаковыми, или в одном ряду стало больше бусинок, он может ответить, что в длинном ряду бусинок больше. Это означает" что он не обратил внимания на неизменность числа бусинок и использовал длину ряда в качестве ключа.

Рис. 1б

Когда ребенок начнет овладевать понятием сохранения, он скажет, что оба ряда имеют одинаковое число бусинок, потому что в рядах по 5 бусинок или просто потому, что вы только растянули один участок и ничего не убрали. Если ребенок действительно "схватил" это понятие, он скажет далее, что в обоих рядах останется одинаковое количество бусинок независимо от того, что вы сделаете - разложите их в банки, расположите определенным рисунком или разложите на кучки.

Аналогичный опыт можно провести с водой или другой жидкостью. Покажите ребенку две одинаковые банки с жидкостью и затем перелейте жидкость одной из них в высокую узкую или в широкую банку или, наконец, в две меньшие банки. Если ребенок усвоил понятие сохранения, он скажет, что после переливания в другую банку в ней содержится такое же количество жидкости. Сделайте два равных шарика из пластилина, а затем раскатайте один из них в жгутик или превратите его в блинчик или же в два шарика меньших размеров; ребенок тем не менее способен понять, что в нераскатанном и в раскатанном шарике одно и то же количество пластилина, при условии, что вы ничего не добавили и ничего не убавили.

Для сравнения вам не обязательно нужны два одинаковых набора предметов. Предыдущий опыт с очевидностью показывает, что ребенку даже легче отбросить и проигнорировать первоначальное состояние отдельного множества и основываться единственно на том факте, что если ничего не было добавлено или убавлено, то количество должно остаться тем же.

Это понятие усваивается не сразу: оно развивается медленно и может проявиться раньше или позже, в зависимости от индивидуальности ребенка и от обстоятельств. Например, он может усвоить сохранение, оперируя с предметами, задолго до того, как он сможет учесть сохранение для множества из 12 предметов, и, возможно, сможет делать и то и другое задолго до того, как усвоит понятие сохранения применительно к жидкостям или деформируемым материалам.

Пока ребенок не овладел понятием сохранения, он не способен с истинным пониманием ни делать правильные количественные суждения, ни выполнять какие-либо математические операции. Цель нашей работы с ребенком в возрасте между 2 и 5 годами - заложить фундамент этой концепции с тем, чтобы он мог справиться с числами и формальными операциями, когда начнет учиться в школе.

Усвоение понятия сохранения настолько тесно связано с общей способностью ребенка мыслить и выводить суждения, что, готовя основу для этого понятия, мы должны помочь ему развить все его интеллектуальные способности.

Ни один ребенок не научится применять принцип сохранения при любых возможных обстоятельствах. Существуют проблемы, которые даже взрослому сложно решить, например: как определить, что больше - 10 куб. м или 3 т бетона, или угадать, сколько фасоли в банке?

Если, по вашему мнению, вы умеете достаточно объективно определять количество на глаз, возьмите примерно 12 емкостей различного вида и размера (банки, чашки, бутылки, миски или кастрюли) и последовательно расположите их по размеру. Затем, начиная с конца последовательности, наполните самый большой (или самый маленький) сосуд. Перелейте воду в следующий сосуд. Если вы аккуратны, то у вас всегда будет оставаться излишек воды (или объема - в зависимости от того, с какого сосуда вы начали).

Ребенок должен усвоить понятие сохранения применительно к двум принципиально разным видам материала (непрерывный, деформируемый как противоположность дискретному и недеформируемому) и двум различным видам величин (пересчитываемым и непересчитываемым). Непересчитываемые материалы или величины в принципе могут быть измерены, но соответствие числа результату измерения - дело дальнейшего развития, и оно будет скорее идти за понятием сохранения, чем предшествовать ему.

Понятие сохранения количества применительно к единичному твердому предмету, скажем крышке от кастрюли, приходит сравнительно легко уже в раннем возрасте. Хотя размер и вид кастрюль могут меняться с расстоянием, ориентацией относительно глаза, но крышка обязательно подойдет к вполне определенной кастрюле - к той, которой эта крышка принадлежит. Здесь нет необходимости ни в счете, ни в измерении, и все, что должен делать ребенок,- это запомнить тождественность (идентичность) индивидуальных крышки и кастрюли. Принадлежность ведет к идентичности, и подбор крышки к кастрюле оказывается способом, которым можно подтвердить принадлежность одного объекта другому. Более того, эта конкретная крышка всегда больше другой - меньшей. Так что, хотя измерение (в смысле привязывания чисел к размерам) выше сил ребенка, тем не менее упорядочение по размерам ему вполне доступно.

Сохранение числа дискретных твердых предметов (бусинок, пуговиц, чашек) в наборе можно установить счетом. При этом можно изменять взаимное расположение элементов, составляющих набор, но не сами эти элементы.

Деформируемые, непрерывные материалы (жидкости, глина, бечевка, одежда) не поддаются счету. Меру им можно придать только с помощью измерительных устройств: линеек, весов, градуированных емкостей и т. п. Это слишком сложная проблема для маленького ребенка, так как она подразумевает, что он не только полностью усвоил понятие сохранения, но и освоил некоторые очень специальные технические приемы. Вот почему он научается измерять обычно намного позже, чем осваивает понятие сохранения.

На практике разница между этими двумя видами материалов (пересчитываемыми и непересчитываемыми) выражена не так ярко. Речной песок или сахарный песок в действительности состоит из отдельных частичек, сосчитать которые в нормальных условиях или неразумно, или невозможно. Мы называем их псевдонепрерывными. С точки зрения ребенка любая ситуация, где используется очень большое число предметов,- это ситуация с псевдонепрерывными материалами, когда подсчет этого числа предметов ему не под силу.

Куски бечевки или эластичной ленты еще более затемняют упомянутую разницу между величинами: ведь их можно сосчитать, как отдельные элементы, образующие набор, и в то же время любой отдельный кусок деформируем и ребенку трудно измерить его величину. Пальцы отделены друг от друга, и их можно сосчитать, несмотря на то что они связаны с рукой.

В процессе усвоения понятия сохранения количества ребенок должен научиться отвечать на вопросы, что является таким же, что больше, что меньше, и уметь это делать при обстоятельствах двух видов:

1. При оценке состояния В этом случае ребенку предлагаются две статичные величины (например, два ряда бусинок или две банки с водой).
2. При оценке преобразований В этом случае происходит изменение или преобразование величины.

Существует два вида преобразований, и ребенок должен научиться их различать:

• изменяется вид совокупности, но не его величина,
• изменяется величина при добавлении или уменьшении количества, а внешний вид при этом может измениться очевидным образом, но может явно и не измениться.

На первый взгляд это кажется невыполнимой задачей, но существуют определенные правила, которые ребенок может освоить, а ПУСы, описанные в этой книге, помогут ему открыть эти правила для себя. Какие ключи, принципы и методики могут быть полезны, чтобы ему помочь?

1. Оценка состояний
   • Дискретные величины.
     В том случае, когда используется множество с очень малым числом объектов, ребенок может их непосредственно видеть. (Отметим, что техническим термином для непосредственного восприятия малых множеств является субитация.) Далее ребенок может сравнивать множества поэлементно, т. е. он может объединить в пару первый элемент из одного множества с первым элементом из другого и продолжать это действие до тех пор, пока не использует все элементы обоих множеств (или одного из них). Это ему укажет на то, действительно ли наборы одинаковы, или один содержит больше элементов, чем другой. Наконец, он может считать.
   • Непрерывные величины.
     Сравнение непрерывных величин трудно даже для взрослого человека, не имеющего измерительных устройств, за исключением случаев, когда различие между величинами достаточно велико или же, наоборот, величины очевидным образом одинаковы. Таким же образом можно помочь ребенку, когда он начнет отмечать очевидные различия величин. Хорошо, если он осознает связь количества с размерами и будет по ним оценивать количество. Большое ведро содержит больше воды, чем маленькое. Оно оказывается тяжелее, выглядит большим и причиняет больше хлопот, если его пролить на пол. Вся вода из большого ведра не входит в маленькое. Привыкая судить таким способом, ребенок также учится понимать и использовать соответствующие слова: столько же, больше, длиннее, выше и т. п. Когда сосуды одинаковы, он должен оценить это просто на глаз. Если же размеры сосудов различны, то он может попытаться установить различия: этот сосуд выше, но уже, а тот короче, но шире, так что в конце концов они могут различаться не столь уж сильно.
2. Оценка преобразований
   • Дискретные величины.
     У ребенка есть три ключа или процедуры, описанные выше в общих чертах (прямое наблюдение, попарное сравнение и счет), и ему не трудно с их помощью проверить, изменилось количество или нет. Заметим, что если ему предложить оценить преобразования отдельного множества, то в этом попарное сравнение оказывается невозможным.
   • Непрерывные величины.
     Еще до того, как ребенок постигнет искусство измерения, он может применять некоторые принципы и правила для оценки увеличения или уменьшения количества материала, внешний вид которого изменяется.
     Прибавление и убавление.
     Ребенок может следить за тем, что вы делаете, и отмечать, добавляете вы что-нибудь или же убавляете. Этот прием основан на усвоенном понятии сохранения.
     Тождественность величин.
     Этот прием тесно связан с понятием о добавлении и убавлении. Определенное количество (жидкости или сыпучего материала) соответствует данному сосуду примерно так же, как определенная крышка подходит к данной кастрюле. И это количество можно вернуть в соответствующий ему сосуд независимо от того, насколько изменился его внешний вид в данный момент.
     Прием обратимости.
     Прием обратимости связан с двумя предыдущими приемами. Если внешний вид количества изменяется, но сохраняется его тождественность, так как ничего не добавлено и не убавлено, то отсюда следует, что первоначальный внешний вид может быть восстановлен обратным преобразованием. Использование приема обратимости как прикладной методики помогает напомнить ребенку связанные с ним понятия.
     Соответственное изменение.
     Соответственное изменение означает, что ребенку дают вначале два одинаковых количества, затем изменяют внешний вид одного из них и предлагают ему изменить вид второго количества так, чтобы эти количества снова выглядели одинаково. Как и прием обратимости, эта методика сама по себе не столько доказательна, сколько она помогает направить внимание ребенка на критическую оценку происходящих событий.
     Компенсация.
     Ребенок может попытаться связать между собой одновременно изменяющиеся размеры и заметить, что если ряд делается длиннее, то предметы в нем дальше отстоят друг от друга; когда для воды берется более высокий, но более узкий кувшин, уровень воды в нем становится выше. Похоже, что этот прием сам по себе достаточно Аккуратен, чтобы позволить ребенку делать точные уценки, но может быть полезен как дополнительный пример, помогающий раскрыть понятие величины.
     Маскировка.
     При маскировке ребенку не показывают изменившийся внешний вид, результат трансформации может быть скрыт от взгляда. Этим исключаются вводящие в заблуждение ключи и устраняется необходимость в компенсации изменившихся размеров. Сама по себе маскировка не содержит каких-либо принципов сохранения, но, использованная как прием, может помочь овладению основным понятием, позволяя привнести в игру другие вспомогательные приемы и понятия.

Эти вспомогательные приемы и понятия приложимы и к дискретным материалам, и именно при работе с дискретными величинами мы научим ребенка, как использовать перечисленные выше приемы.

Мы начинаем с очень простых действий, предлагая вашему ребенку ПУСы, которые дают ему возможность выучить и употреблять слова, обозначающие размеры и числа; научиться находить качественное и количественное соответствие; располагать объекты в определенном порядке. Затем, используя очень маленькие числа, он узнает, что слова, обозначающие числа, отмечают определенные величины - три обозначает тройку, независимо от того, что вы считаете - машины или пятна. После того как ребенок научится доверять малым числам, он может перенести доверие и на большие числа и ощутить истинную цену счета. Кроме того, пользуясь очень маленькими числами, он может научиться применять принципы и правила сложения и вычитания, установления тождественности, обратимости, соответственного изменения, компенсации и маскировки. Если только он поймет эти идеи, он сможет научиться обращаться с непрерывными величинами.