Рассказ пятнадцатый и последний, а на самом деле не рассказ, а беседа

Все жанры хороши, кроме скучного

Французская пословица

Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться на общие методы.

Р. Курант и Г. Роббинс

В конце столетия существовала удручающая тенденция отворачиваться от основных проблем, как в механике, так и в чистом анализе. Вопреки великой традиции Якова Бернулли и Эйлера, этот формализм быстро укрепился во французской школе и нашел отражение в "Аналитической механике".

Т. Трусделл

"Все жанры хороши, кроме скучного". В этой пословице отражен веселый и жизнерадостный дух французского народа. Как не хочется быть скучным!

В первой части этой книги я очень старался развлекать своего читателя. Я рассказывал легенды, притчи, истории и анекдоты, стремился быть разнообразным, наполнял содержание романтикой, выдумкой и поэзией, следовал за мыслями великих людей.

А во второй части все совершенно изменилось; стало приземленным, рутинным и прозаичным. Ни историй, ни поэзии, ни красот. Функции, производные, принцип Лагранжа., Сплошное однообразие! Формализация, необходимые условия, решение уравнений - и опять формализация, необходимые условия и т. п. Какая скука!

Вспомним еще раз один из наших эпиграфов. "Следует поставить перед собой цель изыскать способ решения всех задач одним и притом простым способом". (Даламбер имел здесь в виду задачи динамики.) Но возможно ли достигнуть такой цели? Разве неправда, что истины сокрыты в неисчислимом числе тайников? Можно ли ожидать, что они открываются одним ключом или хотя бы небольшой связкой ключей?

С Даламбером спорят Курант и Роббинс:

"Занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться на общие методы". Известный современный механик Трусделл противопоставляет формализм Лагранжа великой традиции Эйлера, явно становясь на сторону Эйлера (см. эпиграфы к этой главе).

Кто же прав - Эйлер или Лагранж, Даламбер или Трусделл?

Не побоимся поставить и следующий вопрос, несмотря на кажущуюся однозначность ответа: что лучше - поэтическая романтика или скучное однообразие?

От этих вопросов не так уж легко отмахнуться, особенно для тех, кто или учится, или учит. Чему учить и как учиться? Конкретному или абстрактному? Задачам или общим принципам?

Ограничим пока этим начальный круг проблем, которые предполагаем обсуждать.

Некоторые из поставленных вопросов могут показаться тривиальными. Начнем с самого простого - о романтике и рутине.

Романтика пленяет нас. Нас влекут горы, ледяные пустыни, бурные волны, опасность, риск. Мы чтим великих подвижников - путешественников, открывающих новые земли, альпинистов, взбирающихся на недоступные вершины, отважных и дерзновенных мореплавателей.

Когда-то достижение полюса было уделом героев. Но однажды мне довелось разговаривать с человеком, который побывал на обоих полюсах. В юности он любил путешествия, но потом у него случилось заболевание глаз, и он уже не мог носить большие рюкзаки и совершать дальние пешие переходы. И вот именно тогда-то он и побывал на полюсах. Для этого ему не пришлось ни мерзнуть, ни преодолевать торосы, ни проваливаться в полыньи. Он летал туда на самолетах.

И до сих пор можно пытаться дойти до полюса в одиночку или с группой друзей - на собаках, на лыжах, на дирижабле, с преодолением препятствий, с романтикой и риском.

Но есть и другой путь к цели - самолетом. Когда он начался? Не тогда ли, когда было изобретено колесо? Потом телега, паровой двигатель, железная дорога, автомобиль и, наконец, самолет. Самолет может доставить на полюс любого из нас - без поэзии и романтики.

Человечество не может двигаться вперед без подвижничества, без одержимости, без риска, без романтики и поэзии. Но неизбежно наступает время, когда манившая и далекая цель становится общедоступной, освоенной. Тогда для достижения ее никто не делает ничего героического. Кто-то готовит самолет к вылету, совершая обычную, ежедневную работу. Потом приходит команда. На аэродроме нет провожающих, нет оркестров. Люди просто выполняют свою работу. Самолет вылетает и потом приземляется на полюсе. Но лишь тогда, когда такой полет становится рядовым, рутинным, обычным, заурядным, лишь тогда можно сказать, что полюс оказался освоенным.

Разве кто-нибудь может усомниться в том, что в будущем, когда человечество справится с бременем отягчающих его проблем, оно не позаботится о том, чтобы любой человек мог постоять на Эвересте, не карабкаясь и не задыхаясь?

Прогресс в жизни и в науке осуществляется соединением усилий первопроходцев и размеренным движением вперед всей нашей цивилизации. Это движение со временем делает общедоступными те цели, к которым ценою жертв и страданий раньше пробирались лишь герои.

Как и в жизни, в науке каждый человек может ставить перед собой двоякие цели. Он должен тренировать себя для того, чтобы, даже не располагая особыми средствами, сделать попытку в одиночку взобраться на неприступную вершину. Но нужно также участвовать в коллективном труде, обеспечивающем размеренное движение цивилизации по прокладыванию дорог и коммуникаций к этим вершинам. И следовательно, учить тоже и тому и другому.

Вот мы подошли к теме - чему учить и как учить. Учатся для развития (в основном - до школы), для образования (в школе), для профессии (в институте и аспирантуре). О каждом этапе нужно думать отдельно. Могут спросить: а разве это уже не продумано? Ведь это - один из самых кардинальных вопросов, касающийся и каждого отдельного человека, и всего человечества.

Когда-то мне думалось, что все вопросы уже решены и все давно известно - на Земле, в небе, в науке и в жизни. Ведь жизнь на Земле длится так долго, столько было мудрецов!

В этой книге я старался представить один из разделов математики - от истоков до наших дней. Окинем взором пройденное еще раз. Давно ли все начиналось? И да, и нет. Двадцать пять веков... Это, конечно, очень много. Но выстроим мысленный ряд, по одному человеку от каждого поколения, пусть пять человек в век. Окажется сто двадцать пять человек - от нас до Аристотеля. Как мало!

Мы еще очень молоды. Человечество только еще начинает осваивать мир. Собственно, наука о природе в нынешнем понимании этого слова зародилась лишь триста-четыреста лет назад. И уже так много известно. И так мало! Ваши дедушки и бабушки могли знать людей, родившихся в век телеги. Буквально на глазах, в течение немногим более ста лет человечество освоило практически все, что наполняет сейчас нашу жизнь - пароходы, железные дороги, телеграф, телефон, автомобиль, самолет, телевизор, спутник. У человечества еще не было времени, чтобы в деталях продумать многие наиважнейшие жизненные проблемы. В частности, не пришли к полной ясности по вопросу о том, чему учить... Но вне зависимости от того, как в будущем (и в наши дни) решится вопрос о содержании образования (а здесь можно дискутировать о многом - не следует ли с самых ранних пор обучать наряду с обычными предметами, общению с ЭВМ, с микрокомпьютерами^*, вождению автомобиля, стенографии и машинописи, искусству редактирования и т. п.), для меня нет сомнения в том, что математике учить нужно. И, по меньшей мере, по двум причинам - для тренировки ума и для того, чтобы можно было понимать, как устроен мир.

^* (Писалось весной 1985 года. )

Дискуссия о том, как учить математике, не утихает на протяжении всего нашего века. В начале его в ней принимали участие все крупнейшие ученые - Клейн, Борель, Адамар и др. Для того чтобы обозначить один из предметов этого неутихающего диспута, приведу большую цитату из Дьедонне - одного из самых видных французских математиков нашего времени:

"Я прошу всех беспристрастно посмотреть на следующие темы, занимающие большое место в школьной математике:

I. Задачи на построение "циркулем и линейкой".

II. Свойства "традиционных" фигур, таких, как треугольники, четырехугольники, окружности и системы окружностей... - все это со всеми изощрениями, накопленными поколениями "геометров" и преподавателей в поисках подходящих экзаменационных задач.

III. Весь псалтырь "тригонометрических формул" и их калейдоскопических преобразований, позволяющих находить великолепные "решения задач" на треугольники и - пожалуйста имейте это в виду - "в форме, пригодной для логарифмирования..."

Далее Дьедонне пишет, что ни с чем подобным человек никогда в жизни не столкнется. С тем же темпераментом и напором он низвергает "старую школьную математику": "Но спрашивается, важнее ли при этом для конструктора знать, что высоты пересекаются в одной точке, или же овладеть принципами теории сопротивления материалов?"

Дьедонне считает, что надо учить принципам и только им! (Прочтите введение к книге Ж. Дьедонне "Линейная алгебра и элементарная геометрия". - М.: Наука, 1972, там вы найдете еще много интересного.)

Я обучался "по-старому" и к перечню Дьедонне могу добавить еще многое, например "арифметические задачи" типа задач на бассейны, бесконечные арифметические примеры, где обычные дроби складываются с десятичными и т. п.

И снова может показаться, что нет предмета для дискуссий, что Дьедонне прав. Ведь это действительно так, и "тригонометрические формулы совершенно необходимы для представителей трех очень почтенных профессий: 1. для астрономов; 2. для геодезистов; 3. для составителей учебников тригонометрии", а больше никому. Так зачем же ими морочить голову бедному школьнику?

И все-таки что-то мешает мне признать правоту этих слов. Само понятие "образование" более сложно. Оно состоит не только в приобретении знаний и навыков, но и в тренировке мышления. На протяжении, по-видимому, двух столетий (а может быть, и больше) задачи на бассейны, задачи на пос!роение, задачи на треугольники и преобразования тригонометрических формул выполняли великую роль - они давали пищу для ума, приучали к точности и аккуратности, учили рассуждать, искать истину, преодолевать трудности, испытывать разные пути к цели, учили достигать ее. Они одаривали радостью успеха и ощущением красоты. В конечном счете, они моделировали творчество. Чем заменить все это? И стоит ли?

Все эти элементы творчества, необходимо, конечно, сохранить. Быть может, на другом материале, но сохранить. Тренировать мышление можно лишь на конкретных, "частных" задачах, а не на "общих принципах". Мне кажется, что надо дать возможность решить задачу Герона по Герону, на задачу Евклида посмотреть глазами Евклида, дать почувствовать сопротивление задачи Архимеда в тот момент, когда вы достигли уровня его технических средств, попробовать самостоятельно решить задачу Штейнера.

Мне представляется, словом, что среди тех тем, на которых можно тренировать мысль, приучать к изобретательности, научной изворотливости, преодолению интеллектуальных трудностей, задачи на экстремум представляют благодарный материал. Поэтому я и писал первую часть этой книги.

Но несомненно и то, что надо обучать пониманию сущности вещей, общим принципам и законам - и в естествознании, и в жизни. Для этого необходимо, как мне кажется, хотя бы в самых общих чертах познакомить любого человека с основами математического анализа. Ибо математический анализ - неотделимая часть естествознания. Но важно еще и другое. Важно, чтобы были как-то осознаны и поняты и единство мира, и его разнообразие. Электричество, свет, тепло, движение жидкости, движение планет - это все разное, но в этом разном имеются общие черты. Природа "управляется" общими законами, все связано и все тяготеет к единству. Мне кажется, это тоже важно - знать, что существуют "общие принципы". Такие принципы бывают и в математике. И Лагранж, и Даламбер, и многие другие великие ученые старались возвыситься до понимания той "самой сути", которая соединяет разрозненные явления в мире. Об одном таком общем принципе - принципе Лагранжа - было рассказано во второй части этой книги.

Вспомним: каждую задачу мы старались решить дважды. Один раз - в первой части, "исходя из ее индивидуальных особенностей", другой раз, - во второй, "полагаясь на общие методы", я напоминаю еще раз слова Куранта и Роббинса, У них получалось, что "элементарные методы являются более простыми и прямыми, чем методы анализа". А у нас?

Мне кажется, что общий метод Ферма - Лагранжа, по меньшей мере, не уступает первенства в этом споре. Конечно, он иногда терпит и поражения, скажем, в задаче о наименьшем периметре треугольника (возможно, впрочем, мое решение не оптимально). Не исключено, что кто-то из моих читателей присудит победу другим изящным элементарным решениям. Но разве можно отрицать, что этот метод сражался достойно, ни разу не отказавшись от единоборства, и всегда приводил нас к цели. А в скольких случаях он одерживал уверенную победу! Это может показаться удивительным,

ведь один в поле не воин! Но можно усмотреть в этом и определенную закономерность, сопутствующую многим человеческим исканиям. Проблеск истины рождается во мраке, человек долго блуждает, пробираясь сквозь дебри, а потом вдруг обнаруживается, что все эти долгие мучительные поиски были как бы напрасны, и к цели ведет короткая дорога. Но напрасны ли? Подумайте над этим сами. Мне хотелось своей книгой дать вам возможность проследить за тернистой дорогой поисков истины.

И еще один аспект высказывания Куранта и Роббинса хотелось бы обсудить. В те годы, когда писалась книга Куранта и Роббинса, слишком много значения придавалось противопоставлению элементарной и высшей математики. Самому этому противопоставлению триста лет. Границы элементарной математики определяются соседством с математическим анализом. Все, что было создано до рождения математического анализа, да и многое из того, что появилось позже, но не использует его методов и конструкций, принято относить к элементарной математике. Математический же анализ иногда называют "высшей математикой". Некогда считалось, что в высшей математике содержится нечто "сверх-естественное", недоступное пониманию простого человека, нечто воистину "высшее", о чем в школе и говорить невозможно. Но на самом деле это не так.

Математический анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или "высшая", чем, скажем, "элементарная" геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования - изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывать того, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики. Возможности, которые скрыты в самых простых средствах математического анализа, я старался продемонстрировать в тринадцатом рассказе, когда мы заново решали задачи из первой части и обсуждали некоторые вопросы, которым там (на элементарном уровне) не нашлось места.

При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам. В четырнадцатом рассказе я постарался осветить тот путь, который был пройден в теории экстремальных задач от Ньютона, Лейбница, Эйлера и Лагранжа до наших дней. Мне хотелось показать, как, в сущности, недалёко от Ньютона до нас.

Эпиграфом к первой части этой книги были избраны слова Бертрана Рассела, где математика сопоставляется с искусством. Перед началом четвертого рассказа были приведены слова Г. Харди, где он Ученого ставит выше Поэта. Не будем вступать в спор. И наука, и искусство соединяются в общем понятии - достояние человеческого разума. И мне хотелось, чтобы мой читатель воспринял историю небольшого фрагмента математической науки как часть этого нашего общего культурного достояния.