Открытие Нептуна

Нептун был открыт в 1846 р. в результате математических вычислений, проведенных независимо друг от друга и практически одновременно Адамсом и Леверрье. История этого открытия изобилует неожиданными подробностями и осложнена неприязнью, существовавшей между некоторыми из главных действующих лиц. Чрезвычайно интересный отчет обо всем этом содержится в работе профессора Смарта (Smаr W. M.John Coach Adams and the Discovery of Neptune.- Royal Astron. Society, 1947). Хочу рассмотреть только один аспект этой истории.

Чтобы освежить в памяти читателя то, что время от времени говорилось по поводу этого открытия, я начну с нескольких типичных высказываний. В своей книге The Story of the Heavens (1886) P. Болл (Sir Robert Ball) писал: "...имя Леверрье поднялось на высоту, нигде и никогда не превзойденную...", "...глубочайшие размышления на протяжении многих месяцев...", "...долгий сложнейший труд, направляемый совершенным искусством математика...". Автор не отказывает себе также в применении небольшой дозы романтической популяризации: "...если эллипс и не обладает законченной простотой окружности, то он, по крайней мере, привлекает богатством форм..., являясь линией абсолютного изящества, вызывающей в нас самые возвышенные представления..." и т. д., но о Нептуне он говорит как профессионал. Одна замечательная современная книга по истории астрономии (1938 г.) содержит фразу: "...вероятно, самый смелый математический замысел столетия... поразительная попытка, равной которой не знает история...".

Открытие вызвало вполне естественную реакцию. Небесная механика вообще и, в частности, теория возмущений, развились в прекрасно разработанные сложные дисциплины. Задача объяснения неправильностей в поведении Урана наличием неизвестной планеты принадлежит к числу "обратных" задач теории; такие задачи считались чрезвычайно трудными - настолько трудными, что никто не сомневался в их неразрешимости. Можно размышлять над тем, почему такое мнение возникло (одной из причин являлось смешение разных смыслов термина "неразрешимость"^*Но и после того, как Адаме и Леверрье доказали ошибочность этого мнения (кстати, всякое математическое доказательство является в какой-то мере опровержением неправильного мнения), все же кое-что остается сказать в пользу оценки трудностей не после, а до их преодоления. Никто не может, конечно, считать славу Адамса и Леверрье недостаточно заслуженной (или, скажем, умалять ее ссылками на "везение", считая, что их открытие стало сенсацией в большей мере, чем это оправдывалось существом дела; между прочим, такое "счастье" никогда не выпадает на долю заурядных людей). Правда, следует сказать, что сенсация, связанная с этим открытием, продержалась дольше, чем можно было ожидать, но надо иметь в виду возникающую всегда инерцию: люди не могут часто пересматривать свои мнения, и даже самые интеллигентные из нас, однажды высказав что-либо, много раз повторяют это. Известная фраза: "только 3 человека понимают теорию относительности" повторялась и в те дни, когда Эддингтон уже жаловался своим коллегам на легкость теории относительности как отдельного экзаменационного предмета по сравнению с другими университетскими курсами.

^* (Связь этой задачи с "задачей трех тел" вводит многих в заблуждение и по сей день.)

В том, о чем я собираюсь говорить дальше, не следует усматривать поучения людям, заведомо более умным, чем я. Мои незначительные jeux d'prit никого не должны обидеть, и я не откажусь от них из опасения, что меня упрекнут в недостатке уважения к знаменитым ученым. Я не одинок в предположении, что возможен более простой подход к решению задачи. Во-первых, будем стремиться к тому, чтобы выкладки, необходимые для открытия новой планеты, были минимальными, в частности, будем стремиться к определению момента t₀ противостояния^*. Во-вторых, забудем высокие материи и трудоемкие вычисления теории возмущений и попробуем обойтись только "школьной математикой". (Признаюсь, что я движим чисто человеческой слабостью предвкушения пикантности успеха на таком простом пути.) Для начала скажу, что я обнаружил одно весьма странное обстоятельство, состоящее в кажущейся невозможности приступить к решению (и в связи с этим вначале допустил грубые ошибки). В конце концов, однако, выявился абсурдно простой подход; я могу легко представить себе, что мое решение будет названо мошенничеством, и ни в коей мере не отрицаю, что в этом есть некоторая доля истины. Единственным способом, которым я могу доказать свою правоту, является полное объяснение того, как я "предсказываю" t₀, исходя из наблюденных данных (так что каждый может проверить, что - сознательно или бессознательно - не делается никаких ошибочных заключений). Я буду, кроме того, вести изложение так, чтобы оно было доступно максимальному числу любителей, желающих вместе со мной принять участие в этом небольшом приключении.

^* (То есть момента, когда NUS становится прямой линией (я применяю сокращения: S, U, N).)

Планетной орбитой является эллипс, в одном из фокусов S которого расположено Солнце, причем радиус-вектор SP заметает в одинаковые отрезки времени одинаковые площади (2-й закон Кеплера). Если плоскость орбиты известна, то орбита определяется четырьмя элементами: а, е, α и ε. Первые три определяют геометрический эллипс: а является его большой полуосью, е- эксцентриситетом и а - долготой перигелия, т. е. при естественном выборе полярных координат r, θ (θ - долгота), θ = α, когда Р находится ближе всего к S (в конце большой оси). Если мы знаем а, то мы знаем и среднюю угловую скорость n с соответствующим периодом p = ^2π/_n, так как n пропорциональна а^-3/₂ (3-й закон Кеплера^*); далее, постоянная скорость заметания площадей отрезком SP равна abn/2^**, а удвоенная скорость совпадает с угловым моментом^*** (у. м.) также, конечно, постоянным, который выражается дифференциальной формулой r²θ. 4-й элемент, эпоха ε, необходим для установления начала отсчета t; его точное определение состоит в том, что равенство θ = α (перигелий) достигается в момент t, для которого nt + ε = α.

^* (n не зависит от ε.)

^** (Площадь всего эллипса равна πab, и она заметается за время р.)

^*** (Строго говоря, у. м. имеет в качестве множителя массу планеты, но масса U не играет роли, и я ее всюду опускаю.)

Орбита U имеет период 84 года и эксцентриситет ε, примерно равный 1/20. После того как влияние всех тел, кроме 5 и возможного N, будет учтено, мы можем считать, что U, S и N являются единственными телами системы; мы можем также предположить (это общеизвестно), что все движения происходят в одной плоскости. Значения θ (для U) в разные моменты t (мы будем иногда писать θ(t), чтобы подчеркнуть, что θ берется "в момент t") могут рассматриваться как материал, доставляемый наблюдениями (хотя фактически наблюдения производятся, конечно, с Земли). Значения r для разных t не могут быть непосредственно измерены, и поэтому точность их определения значительно меньше.

Таблица I

Ситуация в 1845 г. была такова, что никакая точно эллиптическая орбита не подходила к наблюденным 0 за период с 1780 по 1840 г.^*. Расхождения были очень малыми, они составляли большей частью менее 1' дуги (не считая внезапного отклонения в 90" - см. табл. I); m - отношение массы N к массе S (принимаемой за 1) - примерно равно 1/19000 (что дает правильный порядок, так как m радиан приблизительно равно 11").

^* (Наблюдения после 1840 г. были недоступны и не использовались. Уран был открыт в 1781 г. Чтобы предупредить недоумение читателя по поводу небольшого несоответствия в датах, замечу, что экстраполяция на 1780 г. вполне надежна.)

При отсутствии N у. м. А постоянен (как отмечено выше, это не что иное, как 2-й закон Кеплера); фактически N увеличивает А в моменты, предшествующие t₀, и уменьшает его в последующие моменты. График А как функции t поэтому поднимается до максимума при t = t₀, и моей первой идеей было использовать это обстоятельство для нахождения t₀. Так и можно было бы поступить, если бы все наблюдения были абсолютно точными (и метод вследствие этого имел бы то теоретическое преимущество, что он не требовал бы знания эксцентриситетов). Но значение А в момент t зависит от значения r в этот момент, в результате чего определение А оказывается слишком неточным. Таким образом, этот метод отпадает, но он возрождается из пепла в другом виде. Нам понадобятся еще некоторые предварительные замечания.

Численные данные, с которыми работали Адаме и Леверрье, содержали не сами наблюденные значения θ, а разности между наблюденными значениями θ(t) и значениями θ_B(t) для эллиптической орбиты, вычисленными Буваром; расхождение δ(t) (δ для краткости) определяется равенством δ(t) = θ(t) - θ_B(t). [θ_B(t) зависит от элементов E_B, а эти последние содержат ошибки. Эти ошибки входят в число неизвестных, определение которых составляет задачу теории возмущений; но наш метод, как мы увидим, не интересуется ими.] Табл. I содержит неисправленные значения δ (данные из работы Адамса^*) вместе с значениями, полученными из расчета гладкой интерполирующей кривой. Что делать с внезапным спуском после большого интервала сравнительно малых изменений - не совсем ясно; я провел свою кривую, и больше от нее не отступал (но даже ее исправление в конечном счете не оказало бы никакого влияния). Расхождения показывают порядок ошибок наблюдений (последние, естественно, улучшаются от года к году, не считая каких-то крупных неполадок в 1789 г.); эти расхождения абсолютные, а не относительные (так что вероятная абсолютная ошибка разности δ₁-δ₂ одна и та же, как при δ₁-δ₂ = 0,5", так и при δ₁-δ₂ = 90"). Целесообразно работать с точностью до 0,1" или до удерживаемых нами десятичных знаков, хотя последний знак сомнителен.

^* (Collected Works, v. I, с. 11. Для нас важны именно эти данные (а не исправленные, приведенные у Смарта), Значения фактически являются средними за 3 года.)

Значение для 1843 г, является экстраполяцией; оно и выведенные из него результаты снабжены значком (е).

Эффект, вызываемый N, имеет "порядок m", а в математических обозначениях он равен O(t), если АХ для данной величины X означает (вычисленное X) - (наблюденное X), то ΔХ есть О(m). Квадрат О(m) (бесконечно малая 2-го порядка) ничтожен, и каждый инстинктивно им пренебрегает (если часы отстают на 10 секунд в сутки, то никто не будет пытаться исправить отсчет времени сверх потерянных 10 секунд - это вполне аналогичный случай). Далее, эффект, вызываемый N, состоит из того, чем он был бы, если бы U, а также N, двигались по окружности, плюс поправки на эксцентриситеты орбит. Эксцентриситет U, равный е(= 1/20), необычно велик; разумно предположить, что эксцентриситет N не больше (фактически он менее 1/100). Эксцентриситеты искажают "круговое" значение эффекта на 5% (или, скажем, максимум на 10%). Так как сам эффект есть О(m), то "искажение" эффекта будет O(em)^*: это - первый шаг моего рассуждения. В частности, если мы имеем величину, являющуюся каким-то Δ, или самим m, умноженным на некоторый множитель, то мы можем подставить первые приближения (т. е. приближения с е = 0) или произвести изменения порядка O(e) в самом множителе.

^* ()

Я хотел бы подчеркнуть, что не собираюсь пренебрегать даже высшими степенями е, если они не сопровождаются множителем ь (е⁴ радиан примерно равен 1"). Искажение значения, найденного для t₀, является, однако, исключением. Но эффект эксцентриситетов е в искажении t₀ вряд ли больше, чем то расхождение, которое они дают между временем противостояния и временем максимального сближения. Простой подсчет показывает, что это расхождение в худшем случае не превышает 0,8 года.

Предположим теперь, что Е₁, Е₂ - две (точные) эллиптические орбиты, дающие θ(t), отличающиеся на величины того типа, который мы рассматриваем, т. е. на O(m)^*. Тогда разность θ₁ - θ₂представляется в виде

где а, b, с, d - константы, зависящие от двух систем элементов орбит E₁ и Е₂, а n (следуя нашей договоренности относительно множителей при m) мы можем считать любым общим приближением к средним угловым скоростям. Простое "школьное" доказательство равенства (1) я пока отложу.

^* (Орбиты могут иметь "солнца" масс, отличающихся на О (m).)

Далее, пусть, во-первых, E^* - мгновенная орбита момент t₀, т. е. орбита, которую стал бы описывать U, если бы N исчез в момент t₀; заметим, что Е^*, как и U, пока "неизвестны". Во-вторых, пусть υ - возмущение величины θ для U, производимое N, начиная с момента t₀^*. Тогда, если θ (как всегда) является долготой U в некоторый момент t, θ_B - долготой на орбите E^*, то мы имеем υ = θ - θ^* и, следовательно,

^* (Мы допускаем, конечно, отрицательные значения t - t₀ как для E^*, так и для b.)

Но каждое из последних слагаемых имеет множитель m, и мы можем опустить встречающиеся О (em). В частности, мы можем при вычислении υ отбросить все е-члены. Это означает, что мы можем вычислять υ, как если бы орбиты U и N были круговыми, а в этом случае υ имеет равные по абсолютной величине и обратные по знаку значения в точках t, симметричных относительно t₀. Иначе говоря, если мы положим t = t₀ + τ, то

(3)

является нечетной^* функцией τ, т. е.

^* (Ω используется вместо буквы О (первая буква слова odd - нечетная), имеющей у нас специальное назначение. Заметим, что набранное в тексте курсивом утверждение справедливо "по симметрии": обратим движение с момента t₀. (Это рассуждение учитывает также возмущение Солнцем, которое не столь мало, как может показаться))

Утверждения (1), (2) и (3) представляют собой основные (и притом очень, простые) звенья нашего рассуждения. Разность θ^* - θ_B является частным случаем θ₁ - θ₂ и может быть вычислена по формуле (1). Положим в ней t = t₀ + τ и используем (2) и (3); опуская члены O(еm), находим

Применяя формулы для косинуса и синуса суммы и приводя подобные члены, получим (с новыми константами, зависящими от t₀, которые, однако, нас не интересуют)

Выражение, стоящее в фигурной скобке, является нечетной функцией τ. Поэтому, если мы будем комбинировать противоположные по знаку и равные по абсолютной величине значения τ и построим δ^* (τ) и ρ (τ) так, чтобы удовлетворялись соотношения

то будем иметь δ^* (t) = B(1 - cos nτ) и ρ(τ) = B для всех τ. Таким образом, если мы используем правильное значение t₀, то отношение ρ (τ) должно оказаться постоянным: в этом и состоит наш метод определения t₀. Фактическое значение t₀ с точностью до года оказывается равным 1822.

Таблица II

Таблица II, в которой шаг равен 1 году (а n в cos nτ равно 2π/84), показывает результаты проб различных t₀ (число столетий в датах опущено). Последний знак в ρ(τ) ненадежен, но его надежность повышается с увеличением 2δ^* (τ): я привожу в этой таблице результаты моих вычислений, и они говорят сами за себя. Значение τ = 6 включено, хотя относительная ошибка значения δ^* для этого τ довольно велика^*. Для t₀ = 13 значение ρ возрастает до 34,8 при τ = 27; для t₀ = 16 оно возрастает до 38,2 при τ = 24. Как только данные были собраны (имеются в виду значения для гладкой кривой), все вычисления заняли около часа работы с логарифмической линейкой. Дата 1822,4 представляется примерно "наилучшей" для t₀.

^* (И полученные значения для τ = 6 при t₀ = 22 и t₀ = 22,4 менее надежны, чем другие, вследствие резкого изменения в поведении В гладкой кривой.)

Нам требуются достаточно большие значения τ для того, чтобы значения δ^* (τ) имели достаточное число значащих цифр, а также для того, чтобы располагать достаточно большим интервалом, в котором мы могли бы установить, что ρ(τ) постоянно. Нам также требуется место для маневрирования вокруг окончательного значения t₀. Таким образом, метод оказывается успешным благодаря тому "счастливому" обстоятельству, что 1822 г. достаточно удален от концов интервала наблюдений (1780-1840 гг.). Но ведь какое-то "везение" всегда необходимо.

Важно отметить, что метод совершенно нечувствителен к тому, насколько хорошо подсчитано Е_B,и нам не нужно знать элементов Е_B (которые мне и неизвестны), достаточно знать "расхождение" с некоторой (конечно, не слишком плохой) "неизвестной" орбитой. С другой стороны, метод заведомо ничего не говорит о массе или расстоянии N. Я хотел бы еще кое-что добавить к этому. Опустив е-члены, мы можем точно вычислить υ(τ)/m для любого данного значения λ = ^a/_a1 (отношение больших полуосей орбит U и N)^*. Идея, заключающаяся в том, чтобы испробовать различные λ, определяя по каждому К наиболее подходящее m и беря наилучшие пары λ, m, не проходит, так как существенным членом в выражении υ является b' (nτ - sin nτ), а значение b' в сильной степени зависит от коэффициентов а, b, с, d в θ^* - θ_В, которые в свою очередь зависят от неизвестных элементов Е_B (т. е. υ непригодно вследствие того, что θ^* - θ_В "неизвестно"). Если бы мы знали эти элементы (или, что эквивалентно, исходные значения 9), то мы могли бы сдвинуться с места. Эти данные можно, конечно, получить из архивов Парижской обсерватории, но я отказался от этой возможности, поскольку настоящая статья добавлялась к книге в самый последний момент, и я не чувствовал себя обязанным подходить к моей теме с сугубо профессиональных позиций. Кроме того, я не хотел, чтобы наш экскурс утратил свой характер легкой прогулки.

^* (Для этого используются два дифференциальных уравнения второго порядка. Формула содержит "квадратуры", но при выполнении фактических вычислений интегрирование требует не больше времени, чем простое умножение. Сравнительно легко составить таблицу с двумя входами для υ(τ, λ)/m.)

После того как t₀ определено, следовало бы угадать расстояние а₁ до N; период N тогда вычислялся бы по формуле 84 (^a₁/_a)^3/₂ лет, и мы смогли бы предсказать положение N в 1846 г. В то время очевидной догадкой было (по эмпирическому закону Боде) ^a₁/_a = 2; но, к несчастью, N является первым исключением из этого закона, так как истинное значение ^a₁/_a = 1,58. Адаме и Леверрье действительно начали со значения 2 (Адаме во втором туре вычислений спустился до 1,942). С нашей точки зрения^* слишком большое a₁ ведет к непропорционально более плохим результатам, чем слишком малое а₁, и поэтому разумно в качестве первой попытки взять 1,8. Это дает для 1846 г. результат с ошибкой в 10°, а при поисках обычно практикуются такие отклонения телескопа.

^* (Вычисления, основанные на теории возмущений, должны исходить из предположительного значения a₁; мы же а₁ выбираем Ё в конце.)

Леверрье ошибся меньше, чем на 1° (Адаме - на 2-3°); "телескоп был направлен, и планету увидели". Столь точное двойное предсказание действительно является весьма курьезным фактом. Все наблюдения с 1780 по 1840 г. были использованы в равной мере, и теория претендовала на полное описание поведения N в течение всего этого периода. С неверным аг они могли быть правы в 1840 г. только за счет ошибочности данных за 1780 г. Для принятого Адамсом значения а₁ = 1,94а период N (зависящий от аг) оказался бы равным 227 годам; в предположении круговой орбиты и, следовательно, постоянной угловой скорости Адаме ошибся бы на 30° для 1780 г. Но неверное a₁, принятое Адамсом, автоматически нейтрализовалось большим эксцентриситетом ¹/₈ и отнесением перигелия к точке противостояния. Такая комбинация посылок привела к тому, что фактическое расстояние от S в критическом интервале оказалось близким к 1,7а, и результирующая ошибка для 1780 г. (самая большая из всех) составила всего 18° ; (более очевидной компенсацией была бы в 2,8 раз большая масса).

В более близкое к нам время небольшие ненормальности в поведении N и U были исследованы с точки зрения возможности существования транснептуновой планеты (ненормальности, относящиеся к U, оказались более податливыми), и в 1930 г. вблизи предсказанного места была открыта планета Плутон. Но это было чистейшей случайностью: Плутон имеет массу, вероятно, не большую, чем ¹/₁₀ массы Земли, так что его влияние на N и U безнадежно покрывается ошибками наблюдений.

Мне остается лишь дать (школьное) доказательство соотношения (1). Положим е₁-е₂ = Δе и т. д. Выше было отмечено, что все Δ суть O(m): это не совсем так, но я умышленно ввел читателя в заблуждение в его же собственных интересах^*. Верно, что Δе, Δα, Δn и Δε суть O(m). Но "эффект" данного Δα исчезает при е = 0 и пропорционален е. В действительности не Δα, a eΔα сравнимо с остальными Δ и является O(m)^**.

^* ("Wen Gott betrugt, ist wohl betrogen".)

^** (Этот подвох делает "очевидный" подход, использующий хорошо известное разложение

несколько опасным; нам пришлось бы сохранить член с е². В тексте мы эту трудность обходим.)

Начнем с двух хорошо известных формул. Первую мы заимствуем из аналитической геометрии: полярное уравнение эллиптической орбиты имеет вид

Вторую мы заимствуем из динамики: 2-й закон Кеплера записывается в виде

Применяя точки для обозначения дифференцирования по t, будем иметь

Первым приближением (с е = 0) является θ = nt + ε. Применяя (6) с индексами 1 и 2, будем оперировать с Δ, помня, что мы можем брать первое приближение для любого множителя при m.

При оценке Δθ можно, пренебрегая ошибкой O(еm), опустить множитель (1-е²)^-3/₂, в (6), так как: этот множитель сам равен 1 + O(е²), а его Δ равно O(еΔе) = O(еm). Поэтому, с точностью до O(еm),

Первое слагаемое равно Δn + O(еm). Второе равно

и благодаря наличию множителя O(e) мы можем отбросить в θ в Δ(θ - α). Окончательно мы получим

где mА = Δn, mВ = -2nΔе, mС = -2n(еΔα). Подставляя первое приближение θ = nt + ε в правую часть, мы находим

а интегрируя, получаем

что и дает (1) после того, как мы применим формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и приведем подобные члены^*.

^* (Мы рассматривали Δn и Δα как независимые величины (последняя вообще не входит в окончательную формулу для Δθ; это означает, что мы допускаем разные массы для двух "солнц". Это обстоятельство играет роль в некоторых более тонких рассмотрениях, на которых я здесь не останавливаюсь.)