Три рецензии

(Перепечатано из Cambridge Review.- 1928, May 4.)

Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, № 23. Operational Methods in Mathematical Physics, by Harold Jeffreys, № 24. Invariants of Quadratical Differential Forms, by Oswald Veblen (Cambridge University Press).

The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series, by E. W. Hobson, vol. I, 3-d Edition (Cambridge University Press).

1. Каждый специалист в области математической физики должен знать операционный метод Хевисайда, так что появление книги д-ра Джеффрейса следует приветствовать. Первые три главы этой книги посвящены дифференциальным уравнениям для функций одной независимой переменной. Операционный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений может быть совершенно строго обоснован; самый придирчивый ригорист не сможет предъявить никаких претензий к изложению этого вопроса автором, если не считать отсутствия ссылки на теорему о совместности на стр. 25, строка 4. В конкретных задачах операционный метод имеет определенные преимущества перед обычными методами; его применение позволяет избежать решения системы уравнений для отыскания произвольных постоянных, он одинаково легко справляется как с простыми, так и с кратными корнями, и полностью использует любое случайное упрощение, которое может встретиться в задаче.

Если бы область применения метода была ограничена одной переменной, то вряд ли стоило бы издавать о нем специальную книгу в этой кембриджской серии. Однако в гл. IV начинается изложение операционного метода для двух независимых переменных, и читатель попадает в новый мир чудес (несколько пейзажей которого он уже мельком видел на с. 18 и 22). Через дюжину страниц его математическая совесть несколько успокаивается, так как он встречается с более привычными рассуждениями, но в конечном счете метод Хевисайда для двух переменных так и не получает строгого обоснования; в лучшем случае его можно рассматривать как эвристическую процедуру, которая приводит к решениям, требующим окончательной проверки. Однако этот метод, без сомнения, обладает большой силой и позволяет находить сложные решения весьма приятным и легким способом.

В некоторых приложениях приходится использовать так называемый метод наискорейшего спуска. Это название отражает правило подъема на перевал: "держись направления ручья". Но все пути на перевал теоретически эквивалентны, и ручей не всегда является наиболее удобным из них; поэтому надо отдать предпочтение менее обязывающему названию метод перевала. В изложении этого метода мы сталкиваемся с знакомыми трудностями: в простейшем случае все очень легко, но каждое обобщение метода имеет свой собственный индивидуальный набор осложнений. Благодаря искусному употреблению некоторой расплывчатости в выражениях автору удается, как и в других его произведениях, добиться удовлетворительного компромисса. Однако его изложение все же несколько небрежно в деталях, например, никогда еще квадратный корень из безобидного комплексного числа не был так изувечен, как на с. 78 и 79.

Если читатель попытается ознакомиться с приведенной в библиографии обширной литературой, то он оценит мастерство, с которым д-р Джеффрейс прокладывал дорогу между громоздящимися друг на друга трудностями, сохраняя доступность своего изложения. Некоторых теория этого метода интересует больше всего в ее самых диких частях; она дает верные результаты в областях, значительно более широких, чем те, где она зиждется на строго обоснованных положениях; не означает ли это, что должна существовать более широкая точка зрения, с которой все приложения теории оказываются ясными и строго доказуемыми? Судя по заключительным фразам книги, автор верит в существование такой точки зрения. Рецензент настроен более скептически, хотя и признает привлекательность такой перспективы.

2. Для новой книги этой кембриджской серии редакторы сумели в качестве автора привлечь одного из наиболее выдающихся современных математиков, внесшего значительный вклад в теорию, которой посвящена книга. Профессор Веблен является, кроме того, мастером математического изложения. В первых 4 главах (составляющих половину книги) автор. развивает аналитическую теорию дифференциальных инвариантов без каких бы то ни было примеров и аналогий из физики или геометрии. Этим и объясняется то, что тогда как части I и II Абсолютного дифференциального исчисления Леви-Чивита - столь же "чистая" математика-читаются без труда, первая половина книги Веблена определенно трудна. В этом, впрочем, нет вины автора. Дело просто в том, что аффинная связность, рассматриваемая абстрактно,- далеко не шутка. Как первое чтение по теории относительности эти главы, вероятно, непреодолимы. Читатель, немного знакомый с математическим аппаратом теории относительности, сможет их понять при повторном чтении; если он - математик, то удовлетворенность содержательным определением инвариантности, ощущаемая им при первом ознакомлении с книгой, при дальнейшем продвижении постепенно перейдет в смутное желание видеть перед собой более беззаботное изложение физиков. Читатель поступит правильно, если он не задастся целью читать определенное число страниц в час, так как стиль автора таков, что нигде не говорится ни одного лишнего слова, и рассуждения подаются в чрезвычайно концентрированном виде.

В главе IV общая теория иллюстрируется на простейшем примере евклидовой геометрии. В главе V рассматривается проблема эквивалентности (простейший случай которой относится к наложимости поверхностей); эта глава содержит также ряд очень общих теорем. Книга заканчивается главой о нормальных координатах.

Книга должна быть прочитана каждым специалистом по теории относительности; первую часть следует прочесть потому, что предмет надо изучать всесторонне, а вторую - хотя бы из-за раздела о нормальных координатах - очень важного, но малоизвестного вопроса.

3. После продолжительных трудов над вторым томом монографии подготовка третьего издания первого тома должна была показаться профессору Гобсону детской игрой. В этом издании мы находим значительное число небольших изменений; достаточно упомянуть о переработке и расширении раздела, посвященного интегралу Римана - Стилтьеса - понятию, область применения которого постоянно расширяется.

Должен ли еще аналитик оправдываться перед злопыхателями, упрекающими его в пристрастии к функциям с "патологическим поведением", даже в той малой степени, в какой это делает автор? Если когда-то и считалось модным опровергать скороспелые гипотезы построением примеров функций, ведущих себя соответствующим образом "плохо", то эта мода кончилась уже лет 20 назад. Подавляющее большинство доказанных с тех пор теорем содержит позитивные и изящные утверждения о функциях с хорошим поведением; необходимые иногда "патологические" теоремы только оттеняют позитивные утверждения и являются сугубо второстепенными и редкими исключениями.