Дилемма теории вероятностей

Существует солидное число предложений этой теории, и никто не думает подвергать сомнению их практическую приложимость. Если, например, 1300 раз из полной колоды карт наудачу вынимается одна, то мы были бы очень удивлены, если бы среди вынутых карт число тузов сильно отличалось от 100; мы верим и более тонким заключениям, таким, например, что имеются равные шансы для появления от 94 до 106 тузов, и для появления числа тузов, меньшего 94 или большего 106, или, например, что вероятность появления числа тузов, меньшего 50 или большего 150, меньше чем 10^-6. Чтобы избежать возможных недоразумений, я начну с проведения некоторого различия. "Вероятность того, что будет вынут туз, равна ¹/₁₃; вероятность, что будут вынуты подряд два туза, равна (¹/₁₃)²" - такие утверждения, как и большинство утверждений "теории вероятностей", с которыми мы встречаемся в учебниках алгебры, являются, по существу, чисто математическими; лежащие в их основе условные принципы о "равновозможности" придают рассуждениям автоматический характер, и вопрос сводится только "к перестановкам и сочетаниям". Эта сторона теории вероятностей нас не интересует.

Приведенные выше утверждения имеют совсем другой характер: они содержат высказывания относительно реального мира, состоящие в том, что то или иное событие произойдет с той или иной вероятностью; эти утверждения понимаются с точки зрения обычного здравого смысла; в них, например, не имеется в виду, что из 52¹³⁰⁰ возможных результатов 1300-кратного извлечения одной карты из колоды, содержащей 52 карты, некоторая часть результатов (близкая к ¹/₂) будет содержать от 94 до 106 тузов. Поставим теперь вопрос об основаниях предмета.

Математика (я имею в виду здесь "чистую" математику) не связана непосредственно с реальным миром; если вероятность должна иметь дело с реальным миром, в ней должны содержаться элементы, внешние по отношению к математике; смысл вероятности должен иметь отношение к реальному миру, и должно существовать одно или несколько "первичных" предложений о реальном мире, исходя из которых мы уже можем дальше действовать дедуктивно (т. е. математически). Мы предположим (соединяя несколько первичных предложений в одно, что мы всегда вправе сделать), что существует только одно первичное предложение, "аксиома вероятности", которую мы для краткости назовем А. Хотя она должна быть верна, она по своей природе не допускает никакого дедуктивного доказательства на том вполне достаточном основании, что она относится к реальному миру (другие типы "оправданий" я рассмотрю позже).

Имеются 2 школы. Одна из них, которую я назову математической, остается внутри математики, с результатами, которые я рассмотрю позже. Мы начнем с другой школы, которую я назову философской. Эта школа атакует непосредственно "реальную" проблему вероятности; что же составляет аксиому А и смысл вероятности, и как мы можем оправдать A?

Поучительно рассмотреть попытку, называемую "теорией частот". Естественно верить в то, что такой акт, как бросание кости (с некоторыми понятными оговорками), при повторении п раз приведет к результату, в котором частота появления 6 очков обязательно будет стремиться к пределу, скажем р, при n→∞. (Делаются попытки подменить понятие предела каким-то понятием "предела" в кавычках, в пиквикском смысле. Но либо Вы имеете в виду обычный предел, либо перед Вами встает задача объяснения того, как "предел" себя ведет, и Вы попадаете в тупик. Нельзя сделать незаконное понятие законным, обозначив его через законное, заключенное в кавычки.) Если мы это утверждение берем в качестве А, то мы во всяком случае можем сразу же решить проблему смысла вероятности; мы определяем ее для данного события как число р. Но в остальном это А нам ничего не дает. Допустим, что мы бросаем кость 1000 раз, и хотим знать, что мы должны ожидать. Является ли 1000 достаточно большим числом для того, чтобы сходимость начала проявляться, и до какой степени? А ничего по этому поводу не говорит. Мы должны поэтому что-то добавить к А относительно скорости сходимости. Однако никакое А не может с достоверностью утверждать что-либо ни о каком конкретном числе n бросаний, например, что "частота появления 6 очков будет обязательно лежать между р - ε и p + ε для достаточно больших n (величина n зависит от ε)". Оно может только утверждать, что "частота будет лежать между р - ε и р + ε с вероятностью (зависящей от ε и n₀) не меньшей, чем такая-то, как только n>n₀". Порочный круг очевиден. Нам не только не удалось оправдать какое-либо А как рабочую гипотезу, но мы даже не смогли сформулировать такое А, которым можно было бы дальше воспользоваться, считая его верным. Общее мнение таково, что теория частот не может быть положена в основу понятия вероятности. Однако какая бы другая теория ни была выдвинута, совершенно ясно, что порочный круг лежит очень глубоко: так как достоверность невозможна, то все, что А может утверждать, должно быть сформулировано только в терминах "вероятности".

Появляется желание прийти к опрометчивому выводу, что проблема вообще неразрешима (в рамках наших современных представлений). Делались попытки более утонченные, чем теория частот, но и они потерпели фиаско по той же причине.

Я сказал выше, что А по своей природе не может быть дедуктивно доказуема. Но она не может иметь и индуктивного доказательства. Если некоторые индуктивные соображения приводятся "в поддержку" A, то нам достаточно лишь спросить, почему они говорят в пользу А (т. е. делают А вероятным). Обоснование некоторой теоремы (в отличие от аксиомы) может быть дано только в терминах более ранних теорем или аксиом, первая теорема может, стало быть, опираться только на аксиомы. Но всякий ответ на вопрос "почему", поставленный выше, является "первой" теоремой; в то же время единственной аксиомой, на которую мы можем ссылаться, является сама А (или ее часть) - предложение, которое мы как раз пытаемся обосновать. По поводу философской школы этого достаточно.

Математическая школа развивает теорию вселенной, состоящей из идеальных "событий" Е и некоторой функции р(Е), имеющей эти события в качестве аргументов. Относительно событий Е и функций р формулируются некоторые постулаты^*; в отличие от такой аксиомы, как А, они не обязаны быть верными или неверными (и даже имеющими смысл), т. е. они вполне аналогичны "аксиомам" современной геометрии. Развитие логических следствий из этих постулатов является ветвью "чистой" математики, хотя постулаты имеют, конечно, своей целью составить "модель" общепризнанной теории вероятностей. Это во многих отношениях весьма полезно; постулаты выбираются так, чтобы они составляли минимальную систему, обеспечивающую построение модели теории, и любая философская дискуссия может ограничиться ими. Некоторые более удаленные части обычной теории (например, вероятности причин или гипотез) философски спорны, они могут быть отделены в модели соответствующим разделением постулатов. Чисто методическим влиянием этого приема на обычную теорию также нельзя пренебрегать: это - распространенный в математике результат "эксиоматизации" предмета. (Между прочим, наиболее естественным с методической стороны подходом является оперирование с совершенно общими "аддитивными классами множеств". В результате интересующийся читатель вскоре обнаруживает, что от него требуется знание теории интеграла Лебега; это часто огорчает его, но само требование вполне естественно.)

^* (Их обычно называют "аксиомами?, но я применяю термин "аксиома" в другом смысле.)

Мы подходим, наконец, к связи между идеальной теорией и реальным миром, или "реальной" вероятностью. Сторонник математической школы, если он последователен, в вопросах приложений умывает руки. Тому, кто ими интересуется, он говорит, что идеальная система существует параллельно обычной теории: "Если хотите, попробуйте: в мою задачу не входит обоснование приложений; это - вопрос философский, я же математик". Он часто также склонен сказать: "попробуйте, если что-нибудь выйдет, то это и будет оправданием". Но теперь он уже не только философствует, но и делает характерную ошибку. Опытная проверка того, что гипотеза "работает", не может как индуктивное суждение служить обоснованием этой гипотезы по существу.