Второй этап

В VII классе на уроках геометрии вводится понятие вектора и его свойства.

В VIII классе это понятие и свойства используются на уроках физики при изучении векторных величин.

Та пропедевтическая работа по изучению понятий векторной природы (параллельный перенос, перемещение как векторная величина, скорость, сила), которая проводилась в V и VI классах на уроках математики и физики, подготавливает и вплотную подводит учащихся к пониманию вектора и его свойств в VII классе. Более того, введение понятия вектора должно стать логическим продолжением всей предшествующей работы и в какой-то мере обобщением уже имеющихся знаний об объектах векторной природы.

В курсе геометрии VII класса вектор определяется как параллельный перенос. Без специальных разъяснений такое понимание вектора непосредственно не ассоциируется с векторными величинами в физике (силой, скоростью и т. д.), хотя исторически понятие вектора и его свойства появились прежде всего как математический аппарат для изучения векторных величин.

В настоящее время сложилась ситуация, когда курсы физики и математики в этих вопросах во многом излагаются изолированно друг от друга. Отсюда у школьников возникает оторванность в представлениях о векторе в математике и векторных величинах в физике. Необходимы дополнительно специальные разъяснения. Трактовка вектора как параллельного переноса признается в большой части литературы как удачная и логически непротиворечивая с точки зрения математики. Тем не менее с точки зрения приложений этого понятия для изучения векторных величин понимание вектора как параллельного переноса вызывает трудности.

Представляется разумным отказаться от попыток введения строгого определения понятия вектора в VII классе, которое удовлетворяло бы всем условиям, а ограничиться его наглядным представлением - направленным отрезком. Понятие вектора является достаточно сложным, чтобы сформулировать его определение в окончательном виде в VII классе.

С направленными отрезками работают тогда, когда выполняют действия с векторами на рисунке, независимо от того или иного толкования вектора. В курсах физики и во многих традиционных курсах математики. Вектор определяется именно таким образом. Однако заметим, что направленный отрезок мы используем и во многих других ситуациях, никак не связанных с векторами и векторными величинами. Например, изменение температуры от 2 °С до -4 °С можно представить в виде направленного отрезка (так и делают, например, в курсе математики V класса). Другим примером использования направленных отрезков не как. векторов может служить изображение так называемой "розы ветров" в метрологии. Поэтому полное отождествление понятий направленного отрезка и вектора является не совсем удобным для понимания последнего. Не каждый направленный отрезок можно назвать вектором, а лишь тот, который задает (изображает) объект векторной природы (параллельный перенос, множество эквивалентных направленных отрезков, силы, скорости и другие векторные величины и т. д.).

Первыми такими объектами, с которыми знакомятся учащиеся восьмилетней школы на уроках математики и физики, являются параллельный перенос (с V класса), скорость и сила (VI класс). Поэтому вполне естественно первоначальное определение вектора связать с одним из этих объектов. Ввиду того что корректнее определение понятия векторной величины в школе до изучения векторов дать пока не представляется возможным, а понятие параллельного переноса, вообще говоря, можно вводить независимо от векторов, мы определили вектор в VII классе как направленный отрезок. Таким образом, наш опыт работы в школе показал, что понятие вектора можно вводить в связи с изучением параллельного переноса, но не отождествлять с последним. В дальнейшем такое понимание вектора можно развивать и уточнять. В частности, в курсе физики учащиеся подробно знакомятся с другими объектами векторной природы - векторными величинами (силой, ускорением и др.), которые могут быть, заданы направленными отрезками.

Очевидно, что общность свойств параллельного переноса и векторных величин должна быть проиллюстрирована. Рассмотренная трактовка вектора подразумевает, что понятие направленного отрезка считается известным учащимся хотя бы интуитивно.

Опыт показал, что принятая нами трактовка вектора в значительной степени устраняет те трудности, которые испытывают учащиеся и учителя в связи с существующей в настоящее время трактовкой вектора как параллельного переноса; она является удобной с точки зрения приложений понятия вектора при решении геометрических задач, изучения векторных величин в физике.

В VII классе при изучении темы "Векторы" напоминаем учащимся, что параллельный перенос задается как парой точек, так и направленным отрезком. Говорится, что такой отрезок называется вектором. Далее вводится операция откладывания вектора от некоторой точки (учащиеся по существу знакомы с этой операцией, здесь она формулируется) и понятие длины вектора. Выполняя операции с параллельными переносами (как это сделано в действующем учебнике геометрии), учащиеся имеют дело с направленными отрезками (векторами).

Далее обращается внимание учащихся на понимание операций сложения векторов, умножения вектора на число и их свойства. Операции с векторами и их свойства попутно иллюстрируются на примерах отдельных векторных величин, которые известны учащимся (перемещения, скорости, силы).

Вводится представление о равенстве векторов: два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины. Разность таких векторов равна нулю. Приводим пример с векторными величинами: например, две силы равны, если они сонаправлены и имеют равные числовые значения.

Наконец, вводятся понятия свободного, скользящего и связанного векторов как векторов, отложенных соответственно от любой точки плоскости, прямой и фиксированной точки. Чтобы дать наглядное представление об этих векторах, обращаемся к некоторым частным случаям параллельных переносов: плоской фигуры, прямой вдоль самой прямой и точки. Это позволит в дальнейшем при изучении физики использовать эти понятия для изучения векторных величин. В заключение сообщаем учащимся, что в курсе физики VIII класса будет показано соответствие свойств таких величин, как сила, скорость и др., свойствам векторов.

При изучении свойств векторов на уроках геометрии в VII классе, кроме упражнений, содержащихся в учебном пособии, предлагали учащимся задачи и вопросы (часто практического характера) с физическим содержанием. При закреплении сложения векторов рассмотрели с учащимися практическое задание, аналогичное тому, которое они выполняли уже в VI классе на уроках физики.

Задание. Из точки А проведите вверх отрезок длиной 4 см и отметьте конец отрезка точкой В. Затем из точки В проведите отрезок вправо длиной 3 см и отметьте точку С. Найдите построением результирующее перемещение кончика карандаша. Изобразите все перемещения направленными отрезками. Равна ли сумма числовых значений двух последовательных перемещений числовому значению результирующего перемещения? Проверьте измерением.

При обсуждении результатов выполнения задания подчеркиваем, что результирующее перемещение есть сумма двух перемещений, которая находится так же, как сумма произвольных векторов.

На этом же примере убеждаем учащихся в справедливости свойства переместительности (коммутативности) векторных величин. Предлагаем учащимся из той же точки А провести отрезок длиной 3 см сначала вправо, затем длиной 4 см вверх. Изменилось ли результирующее перемещение кончика карандаша?

Для закрепления предлагаем учащимся задание со скоростью движения как векторной величиной.

Задание. Известно, что из точки А до точки В (см. предыдущее задание) и из точки В до точки С кончик карандаша двигался равномерно. Расстояние |АВ| карандаш прошел за 2 с, расстояние |ВС| за 2 с. Полное время движения равно 2 с. С какой скоростью нужно проводить отрезок АС, чтобы кончик карандаша прошел расстояние |АС| за те же 2 с? Отложите скорости от заданных точек и решите задачу построением.

Приведем примеры других заданий при изучении и закреплении других свойств векторов.

1. На тело действуют две силы: одна из них равна 3 Н и направлена вертикально вниз. Каково численное значение и направление второй силы, если известно, что сумма сил равна 0? Как проверить ответ на опыте?

2. Из одного города одновременно выехали два велосипедиста, которые двигались равномерно и прямолинейно в направлении, перпендикулярном друг другу, с различными скоростями. Найдите построением расстояние между велосипедистами в тот момент, когда первый из них оказался от города на расстоянии 6 км, а другой - 10 км.