§ 2. Формирование понятия векторной величины

Формирование и развитие общего представления у учащихся о векторной величине возможно в процессе изучения конкретных векторных величин, выявляющем в первую очередь свойства, характерные именно для этого вида величин; в дальнейшем эти свойства обобщаются и систематизируются.

Изучение свойств векторных величин определяется выделением следующих моментов:

1. Однородные векторные величины можно складывать, а разнородные нет. Выполнение этой операции специфично для различных величин, но производится по единым правилам (треугольника и параллелограмма). Опыт показывает, что в результате сложения получают векторную величину того же рода, которая заменяет слагаемые величины.

2. Векторные величины можно умножать (и делить) на число и на скалярную величину. В первом случае получают векторную величину того же рода, размер которой больше или меньше в данное число раз. Во втором случае получают новую векторную величину.

3. Для однородных векторных величин не существует отношения неравенства (также как и для векторов).

4. Отношение равенства имеет свор конкретный смысл для различных однородных векторных величин.

По мере накопления знаний об общих свойствах отдельных векторных величин возможны некоторые обобщения. В результате обобщения и систематизации знаний у учащихся постепенно формируются общие представления о векторной величине, при этом: 1) Операции с векторными величинами аналогичны соответствующим операциям с векторами, но имеют свои особенности и границы применимости. 2) Понятия вектора и векторной величины взаимосвязаны, но не тождественны.

Методические основы изучения понятия о векторной величине могут строиться на следующих основных положениях:

1. Формирование и развитие общих представлений о векторной величине должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных векторных величин с последующими обобщениями.

2. Изучение конкретных векторных величин в первую очередь должно выявлять те их свойства, которые отличают эти величины от скалярных величин.

3. Изучение векторных величин должно проводиться в сопоставлении их свойств со свойствами скалярных величин и векторов.

4. В процессе формирования и развития понятия о векторной величине должны учитываться возрастные особенности и жизненный опыт учащихся.

С понятием векторной величины учащиеся впервые знакомятся в VI классе на уроках физики, т. е. до изучения понятия вектора в VII классе на уроках математики. В определении векторной величины в курсе физики Vl класса указывается основной признак таких величин - направленность. Учащиеся имеют дело с двумя векторными величинами: скоростью и силой. Скорость не называют векторной величиной, так как ее векторный характер не раскрывается, хотя указывается, что ее можно изобразить на рисунке в виде стрелки. Более полное знакомство с понятием векторной величины осуществляется на примере силы. Силу называют векторной величиной; она имеет числовое значение, направление и точку приложения; изображают ее отрезком прямой со стрелкой на конце. В этом же классе учащиеся знакомятся со сложением сил, направленных по одной прямой.

В VIII классе вводятся новые векторные величины: перемещение, ускорение, импульс. Уточняется содержание таких величин, как скорость, сила. Вводятся понятия координаты вектора (в курсе геометрии) и проекции вектора (в курсе физики). Исходя из особенностей понятия "векторная величина" и возрастных возможностей учащихся процесс изучения этого понятия можно разбить на три этапа.

Первый этап (V-VI классы). Здесь проводится пропедевтическая работа как на уроках математики, так и физики.

Второй этап (VII класс). На уроках математики вводится понятие вектора и его свойства, при этом широко используются знания учащихся, полученные на I этапе. Излагается вопрос об использовании понятия вектора при изучении векторных величин.

Третий этап (VIII класс). Здесь учащиеся изучают новые векторные величины. Причем изучение строится с опорой на понятие вектора, введенного на II этапе. Обобщаются и систематизируются общие свойства векторных величин, подчеркивается их связь и различия со свойствами вектора. Более широко излагается вопрос о связи понятий вектора, векторной величины и направленного отрезка.

На всех трех этапах совершенствуются измерительные умения и навыки.

Подробнее остановимся на каждом из этих этапов.