Первый этап

Дошкольники шести и семи лет уже имеют некоторые общие представления о величине, правда весьма слабые, умеют сравнивать длины, объемы, массы в простейших случаях. Понимают смысл отношений "больше", "равно" интуитивно.

С I класса учащиеся знакомятся с такой величиной, как длина отрезка, учатся измерять ее, сравнивают длины двух отрезков, строят отрезки заданной длины. В начальных классах учащиеся получают некоторые сведения об измерении величины угла, площади прямоугольника, периметре, учатся переводить единицы измерений, наконец, знакомятся с единицами измерения некоторых не геометрических величин: массы, времени, пройденного пути, скорости, со шкалами некоторых измерительных приборов (линейкой, весами, транспортиром, палеткой, термометром). Эти величины наиболее часто встречаются в практической деятельности людей. Единицами измерения этих величин постоянно пользуются в жизни, в быту, С другой стороны, изучению этих величин сопутствует вооружение учащихся разнообразными знаниями, умениями и навыками, связанными с применением величин. Сведения о величинах носят предварительный характер и в результате непосредственного измерения длины, площади и др. рассматриваются как числа. В IV-V классах учащиеся пользуются формулами для вычисления площадей и объемов некоторых фигур, имеют первые представления о приближенном измерении величин. Однако в целом работа по формированию понятия о скалярной величине в этих классах несколько ослабевает.

Таким образом, в I-V классах формируются некоторые интуитивные представления о скалярных величинах и их практическом измерении. Тем не менее представляется возможным уже на этом этапе более целенаправленное знакомство учащихся с общими свойствами скалярных величин в тесной связи с их измерениями.

Заметим, что изучение указанных величин идет, вообще говоря, на протяжении длительного промежутка времени, некоторые величины изучаются на всем протяжении обучения в школе. Здесь же речь идет о формировании и развитии первоначальных сведений о конкретных величинах с последующими обобщениями их свойств с целью формирования общих представлений о скалярных величинах.

Рассмотрим в качестве примера применяемую нами пропедевтику изучения длины отрезка и длины кривой. С этими величинами учащиеся встречаются во время всего периода обучения в школе и в жизни. Они имеют большое значение, например, при измерениях различных величин с помощью приборов. Достаточно лишь сказать, что снятие показаний со шкал измерительных приборов представляет собой по существу операцию измерения длин отрезков и кривых. Поэтому свойства длины должны быть изучены в школе достаточно подробно.

На примере длины отрезка предоставляется возможность познакомить учащихся уже начальных классов со многими свойствами, общими для большинства скалярных величин. Представляется важным проиллюстрировать эти же свойства на примере длины кривой в средних классах. Мы останавливаемся так подробно на изучении свойств длины отрезка потому, что свойства других скалярных величин аналогичны со свойствами длины. Сопоставление этих свойств представляется очень полезным в целях формирования у учащихся общих представлений о скалярных величинах.

На примере длины отрезка при выполнении соответствующих упражнений осуществляется более целенаправленное, чем это имеет место в настоящее время, знакомство учащихся с общими свойствами положительных скалярных величин.

Знакомство учащихся с сантиметром, измерительной линейкой и проведение с ее помощью измерений осуществляется несколько позднее, чем принято. Измерениям обычной линейкой предшествуют специально разработанные упражнения на понимание процесса измерения.

Изучение свойств длины отрезка осуществляется на основе предметной деятельности учащихся с опорой на конкретно-чувственное восприятие учащихся младших классов с последующими обобщениями все более и более высокого уровня. С этой целью используются задания практического характера, которые выполняются всеми учащимися класса лабораторным методом, различный раздаточный материал (полоски бумаги, нитки, кусочки проволоки, палочки, карандаши и т. д.). Задания с предметами чередовались с заданиями с отрезками (использование нелинованной бумаги, бумаги в одну линейку, в клетку и кальки).

Какова же последовательность изучения свойств длины отрезка? Распределение учебного материала между классами в основном соответствует действующей программе по математике I-IV классов (это отражено в последовательности пунктов).

1. Прямое сравнение длин реальных объектов (предметов) и отрезков сначала на глаз, затем способом наложения.

2. Прямое сложение длин, выяснение смысла этой операции способом последовательного откладывания и присоединения.

3. Введение единицы измерения (см) и способа измерения длин. Представление результата измерения (численного значения длины) как числа т, показывающего, сколько сантиметров укладывается на измеряемом объекте, т. е. 1 см + 1 см + 1 см... . (m слагаемых )

4. Знакомство с измерительной линейкой и правилами обращения с ней.

5. Установление свойств длины отрезка, вытекающих в процессе измерений,

6. Сравнение и сложение длин отрезков через измерения (косвенный способ).

7. Знакомство со следующими свойствами операции сравнения длин (используется прямой, затем косвенный способ):

а) если длина первого отрезка равна длине второго, то длина второго равна длине первого;

б) если длины двух отрезков равны и длина третьего равна длине одного из них, то она равна длине и другого отрезка;

в) если один отрезок длиннее второго, то второй короче первого;

г) длина отрезка больше его части;

д) если длина одного отрезка больше длины второго, а длина второго больше длины третьего, то длина первого больше длины третьего.

8. Знакомство со следующими свойствами сложения длин (используется как прямой, так и косвенный способы):

а) сложение длин отрезков можно выполнять в любом порядке;

б) сумма длин двух отрезков больше любой из них.

9. Прямое и косвенное вычитание длин.

10. Введение других единиц измерения длины: дециметр, метр - и соотношений между ними.

11. Сравнение и сложение длин отрезков с помощью циркуля.

12. Прямое и косвенное умножение и деление длины отрезка на натуральное число.

13. Введение единицы измерения - миллиметр, километр. Измерение линейкой с миллиметровыми делениями.,

14. Повторение и закрепление свойств длины отрезка при выполнении действий и преобразований над длинами, не производя измерений, а также отработка измерительных умений и навыков.

15. Обобщение свойств длины отрезка.

16. Трактовка процесса измерения длины отрезка как нахождение числа, показывающего, во сколько раз измеряемая длина больше или меньше единицы измерения.

17. Связь понятий длины отрезка и расстояния.

18. Знакомство с приближенным характером измерений длины. Границы приближения. Округление.

Условное распределение указанных пунктов по классам может быть таким: 1-9-й пункты - I класс, 10-14-й пункты - II класс, 15-17-й пункты - III класс, 18-й пункт - IV класс и частично V класс. Пункты 7-9 в I классе рассматриваются пропедевтически, а в IV и VI классах - более тщательно.

Прокомментируем каждый из этих пунктов и покажем реализацию большинства из них на уроках на конкретных примерах.

Предлагаем,- например, выполнить задания перед введением понятия отрезка.

1) Сравни длину счетной палочки, карандаша и полоски бумаги. Ответь на вопросы: а) какой предмет длиннее: карандаш или счетная палочка? б) Какой предмет короче: полоска бумаги или карандаш? в) Какой предмет длиннее: счетная палочка или полоска бумаги? г) Какой из предметов самый длинный? д) Какой из предметов самый короткий?

После выполнения заданий предлагаем привести примеры на сравнение длин предметов в классе.

Далее поясняем, что сравнение на глаз не всегда возможно. Предлагаем сравнить две бумажные полоски, мало отличающиеся по длине. Объясняем, как пользоваться способом наложения. Учащиеся выполняют ряд заданий с кусочками проволоки, нитками и др. Обращаем внимание на тот факт, что длины двух предметов равны, если эти предметы при наложении совпадают.

Приведем примеры таких заданий.

1) Сравни длины двух кусочков проволоки и сделай вывод (два кусочка мягкой проволоки, которые отличаются подлине на 1-2 см и изогнуты произвольно, например так ∩∼ ). Учащиеся должны распрямить кусочки проволоки и наложить.

2) Сравни длину нитки с длиной и высотой парты и сделай вывод (длина нитки больше длины парты, но меньше ее высоты).

3) Проверь утверждение, что длина и ширина листа бумаги равны (небольшой лист бумаги, длина которого равна ширине).

Ценность такого типа заданий заключается в том, что их выполнение требует размышлений учащихся о применении того или иного удобного в каждом конкретном случае приема наложения. После обсуждения результатов выполнения заданий и приведенных примеров делаем первые обобщения:

а) каждый из рассматриваемых предметов имеет длину (ширину, высоту); б) предметы отличаются по длине (ширине, высоте); в) сравнивать длины можно на глаз и наложением.

После введения понятия отрезка учащиеся выполняют задания как с различными отрезками, так и с предметами. Построение отрезков выполняют с помощью самодельной линейки без шкалы.

Длины отрезков сначала сравнивают на глаз, затем наложением. При наложении используются листы кальки и нелинованной бумаги. Учащиеся получают лист бумаги, на котором изображены красный, черный, зеленый и синий отрезки различной длины, и кальки. Приведем примеры некоторых заданий: 1) начерти на кальке отрезок такой же длины, как синий; 2) сравни длины красного и синего отрезков с помощью отрезка, начерченного на кальке; 3) сравни длины зеленого и синего отрезков таким же способом; 4) начерти на кальке отрезок короче зеленого; 5) начерти на кальке отрезок длиннее красного.

Задания такого типа постепенно подготавливают учащихся к пониманию процесса измерения длин.

Сложение длин учащиеся выполняют в основном с полосками бумаги и с отрезками. Смысл этой операции объясняем на доске.

Знакомство учащихся с измерениями длины включает в себя следующее: 1) введение сантиметра как единицы измерения длины; 2) усвоение сущности процесса измерения; 3) знакомство с измерительной линейкой; 4) усвоение правил измерения линейкой; 5) введение других единиц измерения.

Сантиметр вводим как длину определенного отрезка. Раздаем ученикам небольшие листочки бумаги и кальки.На листочке бумаги, изображен отрезок длиной 1 см. Предлагается учащимся; 1) начертить на кальке отрезок длиной 1 см; 2) с помощью отрезка на кальке узнать, чему равна длина двух клеточек в тетради; 3) начертить в тетради по линии клеток три отрезка один за другим, каждый длиной 1 см. Далее показываем, как записать сумму длин трех отрезков: 1 см + 1 см + 1 см. Учащиеся видят, что длина всего отрезка, равная сумме длин данных отрезков, есть 3 см.

В последующих заданиях используем самодельную линейку с сантиметровыми делениями. Для того чтобы при первоначальном формировании измерительных умений и навыков вести последовательный отсчет сантиметров, цифры на линейке не пишем. В этом случае процесс измерения сводится к подсчету числа сантиметров, укладывающихся в измеряемом объекте. Такая методика позволяет избежать ошибки учащихся при пользовании обычной миллиметровой линейкой. Эти ошибки заключаются в том, что ученики часто измеряют от начала линейки или от цифры 1, а длина единичного и произвольного отрезка воспринимается учениками как штрих, стоящий в конце измеряемого отрезка.

После первоначального знакомства с измерением длины следуют задания по отработке умений и навыков правильного измерения. При этом измерение содержит две задачи: первая - измерить длину данного объекта и вторая - отмерить объект по заданной длине. Сначала эти задачи решаем в упражнениях с отрезками. Решение первой задачи требует от учащихся соблюдения правил измерения:

1) приложи линейку к отрезку так, чтобы начало первого сантиметра (первый штрих) совпало с началом отрезка (левым концом отрезка). Направление взгляда должно быть перпендикулярным к полоске листа, учащимся говорим: глаза должны быть напротив этого штриха; 2) посмотри, где кончается отрезок. Взгляд также должен быть направлен перпендикулярно; 3) сосчитай число сантиметров (а не штрихов) на линейке от начала до конца измеряемого отрезка; 4)запиши это число (например, 6 см).

Эти правила учитель объясняет на доске, ученики повторяют действия на листочках, на которых изображены отрезки различной длины (лучше разного цвета). Естественно, длины отрезков должны выражаться целым натуральным числом. По нашему мнению, эта предметная деятельность учащихся по образцу необходима при выполнении первых измерений.

Решение второй задачи также требует от учащихся соблюдения ряда основных правил, которые для отрезков сводятся к следующему: 1) приложить линейку к отмеряемому объекту; 2) поставить точку там, где начинается первый сантиметр (у первого штриха); 3) отсчитать нужное число сантиметров и поставить вторую точку; 4) провести отрезок, соединяющий обе точки.

Задачи первого типа следует чередовать с задачами второго типа.

Рассказываем учащимся о том, что для удобства на линейке каждый сантиметр отмечается числом. Тогда при измерениях число сантиметров пересчитывать не обязательно. Первый штрих (качало отсчета) обозначают цифрой 0. Показываем, как разметить линейку (на демонстрационной линейке), а учащиеся выполняют эту работу на своих линейках. Цифры записывают карандашом, чтобы можно было использовать те же линейки в последующие годы. При изучении десятка цифры ставятся от 0 до 10, по мере дальнейшего изучения чисел заполняется вся линейка. Первый и одиннадцатый штрих (конец десятого сантиметра) отмечают красным карандашом.

Далее учащихся знакомим со свойствами длины, которые проявляются в процессе измерений:

1) равным длинам при одной и той же единице измерения соответствует равное число сантиметров;

2) большей длине соответствует большее число, а меньшей длине - меньшее;

3) сумме длин соответствует сумма числовых значений длцн.

Эти свойства позволяют при сравнении, сложении длин пользоваться не прямым способом (наложением, присоединением), а косвенным - через измерения. Учащиеся в процессе выполнения заданий убеждаются в том, что измерения позволяют ответить не только на вопросы "что больше", "что меньше", но и "на сколько больше", "на сколько меньше". Приведем примеры заданий такого типа. 1) Измерить длины двух полосок бумаги и записать результат. Сравнить длины полосок. Проверить наложением. 2) Найти сумму длин полосок бумаги двумя способами: а) расположить обе полоски рядом одну за другой. Измерить длину обеих полосок. Записать результат; б) измерить длину каждой полоски и сложить полученные результаты. Записать вычисления в тетрадь. Сравнить оба способа измерения.

В процессе накопления знаний о длине, об измерении длин возможны некоторые обобщения: 1) длины можно сравнивать; 2) длины можно складывать, в результате сложения получается длина; 3) длины можно измерять, выбрав единицу измерения; 4) в результате измерения находят число сантиметров в измеряемом объекте; 5) сравнивать и складывать можно двумя способами: не производя измерения и через измерения; 6) для измерения длин применяют измерительную линейку; 7) при выполнении измерений необходимо соблюдать определенные правила.

При выполнении различных заданий с отрезками предоставляется возможность познакомить учащихся с некоторыми свойствами отношений порядка, сложения, правда не выделяя их специально. Вот некоторые задания и вопросы такого типа.

1) Имеется три полоски: белая, синяя и красная. Известно, что Длина белой полоски равна длине синей, а длина синей равна длине красной. Сравнить длины белой и краской полосок. Проверить наложением или измерением (транзитивность отношения "равно").

2) Красный отрезок длиннее синего, а синий длиннее желтого. Сравнить длину красного и желтого отрезков. Начертить эти отрезки и проверить ответ измерением (транзитивность отношения неравенства).

Возможность вычитания показываем при выполнении различных заданий. Например: Отрезать от бумажной полоски длиной 10 см полоску длиной 3 см. Какой длины полоска осталась? Записать решение и проверить его измерениями (возможность вычитания длин).

Вводим другие единицы измерения длины - дециметр, а затем - метр, как это обычно делается в школе.

Во II классе учащиеся сравнивают и складывают длины отрезков с помощью циркуля, повторяя и закрепляя те свойства длины, которые должны быть изучены в I классе. Кроме того, вводим новые свойства длины: умножение и деление длины на число и обозначение отрезков буквами.

Для закрепления нового свойства длины предлагаем выполнить ряд заданий, например: в тетради начертить небольшой отрезок произвольной длины. Умножить длину этого отрезка на 3 с помощью циркуля. Начертить новый отрезок. Какой длины он оказался? Записать вычисление в тетрадь.

Знакомству учащихся с миллиметром предшествует задание, которое обосновывает введение этой единицы измерения. Учащимся раздают листочки, на которых изображены отрезки разного цвета и длины. Длина каждого отрезка не равна целому числу сантиметров. Коротко говорим о возможности приближенного измерения отрезков.

После этого вводим обычную измерительную линейку с миллиметровыми делениями. Далее следуют задания на построение отрезков заданной длины в миллиметрах и упражнения на перевод сантиметров в миллиметры и обратно.

В дальнейшем при изучении раздела "Тысяча" учащиеся знакомятся с километром, а также приборами для измерения длины (складной метр, измерительная лента, рулетка).

Наконец, к концу обучения математике во II классе возможны обобщения свойств длины. С этой целью проводим беседу для учащихся, тема которой "Что мы знаем о длине отрезка", обращая внимание на следующие основные вопросы: 1) Какие действия можно производить с длинами отрезков? 2) Какими способами и приемами эти действия выполняются? 3) Как измеряют длины отрезков? 4) Что показывает число, получающееся в результате измерения? 5) Какие существуют единицы измерения? 6) Какое соотношение между этими единицами измерения? 7) Какими приборами измеряют длины отрезков?

В III классе изученные свойства длины применяются в процессе различных вычислений, решения задач, измерений в классе и на местности и т. д.

При выполнении упражнений с отрезками учащиеся закрепляют те свойства длины, которые были изучены ранее. Например, при А нахождении длины ломаной или периметра используют сложение длин отрезков и свойства этой операции, при изучении понятий прямоугольника, квадрата сравнивают длины сторон этих фигур и т. д.

В этом же классе применяется понятие расстояния. Расстояние между двумя точками А и В равно длине отрезка АВ. Другого смысла мы в это понятие не вкладывали.

Учащимся коротко поясняется по рисунку (рис. 2) на доске, что расстояние А В меньше длины ломаной и кривой, рассказывается об одном из способов измерения длины кривой (об измерении длины ломаной они знают) с помощью мягкой проволоки.

Рис. 2

Полезно выполнить ряд заданий на выяснение свойств длины кривой, которые оказываются аналогичными свойствам длины отрезка: длины кривых можно сравнивать, складывать, умножать на числа, измерять. Например, такое задание: даем ученикам листочки с изображением двух кривых, концы которых совпадают. Условие такое. Из города Л в город В пешеход шел одной дорогой, а из города В в город А другой. Какой путь проделал пешеход туда и обратно вместе? (Считай 1 см за 1 км.)

В IV классе учащиеся знакомятся с приближенными значениями величин. Изучение этого вопроса мы совместили с изучением правил округления. Объяснение материала этой темы основывалось на использовании практических заданий. Кроме того, при изучении пункта "Шкалы" ввели задания на понятие "цена деления". Определение цены деления шкалы осуществлялось в следующей последовательности: 1) сколько промежутков между штрихами (делений) содержится между "О" и первым числом; 2) первое на шкале число разделить на число делений; 3) частное записать с указанием единицы измерения.

Закрепление понятия "цена деления" происходит при демонстрации различных шкал приборов и во время самостоятельной работы с карточками, на которых изображены различные шкалы.

Изучение свойств таких скалярных величин, как площадь, объем, масса, путь, скорость, стоимость, величина угла, время, в I-V классах осуществляем примерно таким же образом, как и "Длина отрезка", но уже не так подробно и полно. Эти свойства в процессе их введения постоянно сопоставляем со свойствами длины отрезка, так как они аналогичны. При таком подходе внимание Учащихся будет обращено на усвоение основных признаков понятия "скалярная величина".

Во II классе сравниваем продолжительность различных промежутков времени до введения единиц измерений этой величины: Так, продолжительность урока больше продолжительности перемены, летом день длиннее ночи, а зимой, наоборот, продолжительность двух уроков в два раза больше продолжительности одного, продолжительность двух уроков равна и т. д. Здесь сравнение и сложение временных промежутков осуществляется на основе известных учащимся фактов.

Прямое сравнение и сложение времени осуществляем на примере песочных часов. Для этой цели возьмем двое часов по 1 мин и одни часы по 2 мин. Продолжительности промежутков времени, в течение которых сыплется песок у одинаковых часов, равны. Показываем прямое сложение промежутков времени. Для этого пускаем одновременно большие и малые часы. В тот момент, когда действие одних малых часов закончится, пускаем вторые. Действие больших и вторых малых часов заканчивается одновременно. После этого разъясняем смысл сложения.

Далее вводим единицу измерения этой величины как промежуток времени фиксированной продолжительности (на примере песочных часов вводим 1 мин). Предлагаем учащимся измерить время высыпания песка в больших часах. Затем знакомим учащихся с циферблатом обычных часов. Полезно также показать равенство промежутков времени, в течение которых действуют малые песочные часы и совершает полный оборот секундная стрелка часов. Вводим другие единицы измерения. Чтобы учащимся представить продолжительность суток, приводим примеры: сутки -это время от начала уроков сегодня до начала уроков завтра и т. д. Продолжительность секунды показываем с помощью метронома. Сравниваем 1 мин (опять показываем песочные часы) и число ударов метронома. Число таких ударов оказывается равным 60. После введения различных единиц измерения учащиеся выполняют обычные упражнения на соотношение между единицами, на снятие показаний часов (на модели) и т. д. Обращение с циферблатом часов опять возвращает учащихся по существу к измерению длин, но уже не отрезков, а дуг окружностей.

В III классе у учащихся формируются интуитивные представления о площади фигуры. В дальнейшем это понятие развивается. Здесь важно показать, что для площадей фигур справедливы те же свойства, что и для ранее изученных величин. С этой целью учащиеся фронтально выполняют задания на прямое сравнение и сложение площадей, умножение площади на число, на измерения.

При введении понятия площади даем учащимся по листу бумаги (нелинованной) и кальки, на которых начерчены произвольные фигуры, обозначенные буквами А, В... так, чтобы при наложении одна фигура помещалась внутри другой. Просим учащихся наложить фигуры. Обращаем внимание, что одна фигура оказалась полностью внутри другой. Говорим, что фигуры отличаются по площади: та фигура, внутри которой находится другая, имеет большую площадь. При сравнении площадей других фигур учащиеся привыкают к терминологии.

Сложение площадей поясняем аналогично тому, как это сделано с длинами отрезков: учащиеся вычерчивают два прямоугольника одинаковой ширины, но различной длины (одна сторона у них общая). Говорим, что большой прямоугольник составлен из двух меньших, значит, его площадь складывается из площадей этих малых прямоугольников.

Учащиеся выполняют ряд практических заданий на сравнение и сложение площадей.

Разъясняем смысл процесса измерения площади с помощью палетки. Сопоставляем с измерением длины отрезка (процесс измерения сводится к подсчету числа единичных квадратов).

В III классе учащиеся впервые знакомятся со скоростью движения (числом километров, проходимых телом за 1 ч). Мы несколько иначе вводим понятие скорости, а именно опираемся на те ее свойства, которые характерны для скалярных величин. Сначала учащимся демонстрируем одновременное движение в одну сторону двух заводных игрушечных автомобилей. Учащиеся видят, что один автомобиль движется быстрее, чем другой. Затем показываем движение двух автомобилей, скорость которых одинакова. Даем учащимся вырезанные из бумаги автомобили разного цвета (красный, синий). Предлагаем одновременно двигать автомобили так, чтобы скорости их были равны; скорость красного была больше; скорость красного была меньше. Выполняя задания, учащиеся привыкают к терминологии: вместо того чтобы говорить "быстрее", "медленнее", говорят "скорость больше", "скорость меньше".

Показывая учащимся встречное движение двух автомобилей, убеждаем учащихся, в том, что в этом случае скорости сравнивать трудно. Далее одновременно запускаем два автомобиля навстречу друг другу и спустя некоторое время одновременно останавливаем их. Замечаем самодельными флажками место их остановки. Спрашиваем учащихся: 1) одинаковое ли время двигались автомобили; 2) сравните расстояния, пройденные автомобилями; 3) какой из автомобилей проехал больший путь? Проводя беседу по этим вопросам, подводим учащихся к выводу: скорость того автомобиля больше, который за одинаковое время прошел больший путь, и наоборот. Значит, по пройденному пути можно судить о скорости (при постоянном времени). Говорим, что на практике о скорости движения судят по пройденному пути, например за 1 ч. Затем решают задачи на движение из учебника.

В IV классе перед изучением свойств величины угла повторяем общие свойства величин (можно на примере длины отрезка). Заметим, что в IV классе величина угла рассматривается как положительная скалярная величина. Сопоставляя эти свойства, учащиеся убеждаются в том, что величины двух углов могут быть равны между собой, либо величина одного из них больше величины другого. Их можно складывать (вычитать). При выполнении конкретных заданий, выполняемых фронтально, учащиеся усваивают способы сравнения, сложения. Далее ставится вопрос об измерении величины угла.

К концу обучения в IV классе проводим обобщающую беседу. Примерное содержание ее таково.

Длина отрезка (расстояние), масса, стоимость, время, путь, площадь, объем, скорость, величина угла есть величины. Общей особенностью их является то, что для каждой из них существует свойство сравнимости. Оно устанавливается практическим путем различными способами. В результате получаем ответы на вопросы: "что больше?", "что меньше?", "равны ли?", "какая из величин самая большая?" и т. д.

Длины отрезков (расстояния) можно складывать (вычитать) только между собой, то же самое относится и к другим величинам. Нельзя сравнивать и складывать длины и массы или площадь со скоростью и т. д. Для каждой из величин способы сложения различны. Вспоминаем способы непосредственного сравнения и сложения величин. Величину можно умножить на число и делить на доли.

Величины можно измерять. Для каждой из них есть свой способ измерения, свои единицы измерения. В результате получают число, которое показывает, во сколько раз измеряемая величина больше единицы измерения, что позволяет ответить на вопросы "на сколько больше", "на сколько меньше", "во сколько раз больше", "во сколько раз меньше".

Сложение, сравнение величин, умножение на число, деление на доли можно осуществить через измерения, затем сравнить или сложить числа.

В V классе в связи с рассмотрением измерений величин, положительных и отрицательных чисел уместно познакомить учащихся с некоторыми скалярными свойствами температуры. Тем самым готовим учащихся к восприятию некоторых вопросов курса физики VI класса, где используется понятие температуры (например, вопрос о зависимости скорости движения молекул от температуры).

В отличие от положительных скалярных величин температура по шкале Цельсия может принимать отрицательные значения. Основываясь на жизненных представлениях учащихся о теплом, холодном, горячем и др., приводим примеры на сравнение температур, большинство примеров учащимся известно, и они сами их приводят. Поясняем, что более нагретые предметы (на ощупь) имеют более высокую температуру. Учащимся предлагаем расположить по порядку слова: "теплый", "холодный", "горячий", "очень холодный", "очень теплый", "очень горячий". На картонной модели термометра показываем сложение и вычитание числовых значений температур.

Изучение скалярных величин в последовательности, раскрывающей основные общие их свойства с применением практических заданий с разнообразным раздаточным материалом, вызывает живой интерес к изучаемому материалу, способствует активизации обучения, формированию у учащихся системы основных знаний о скалярных величинах, умений и навыков измерения величин, развитию самостоятельности. Обобщенные знания учащихся о скалярных величинах становятся более глубокими и прочными. В результате выполнения практических работ приобретаются некоторые трудовые навыки, тесно связанные с жизнью.

Изучение общих свойств скалярных величин на уроках математики в I-V классах готовит учащихся к дальнейшему развитию представлений о скалярных величинах, их измерениях в VI-VIII классах на уроках математики и физики.