§ 1. Формирование понятия скалярной величины

Формирование и развитие понятия скалярной величины возможно, по нашему мнению, лишь на протяжении всего периода обучения математике и физике в процессе изучения конкретных скалярных величин. Процесс формирования понятий у учащихся длителен и сложен. Понятие создается не сразу, а возникает и развивается постепенно, становясь все более полным и глубоким. Тем более это относится к сложным понятиям, каким является понятие "скалярная величина". Лишь по мере накопления знаний об общих свойствах конкретных скалярных величин возможны некоторые обобщения и систематизация этих свойств на все более и более высоком уровне. По мнению психологов Д. Н. Богоявленского, Н. А. Менчинской, Л. В. Занкова, Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, повышение уровня обобщений изучаемого материала связано с повышением научного уровня знаний учащихся. В процессе обобщений свойств скалярных величин будут постепенно формироваться у учащихся общие представления о скалярных величинах.

Формальное же введение той или иной аксиоматики скалярных величин непосильно учащимся младших и средних классов. Согласно общим положениям теории познания "задача обучения сводится к тому, чтобы обеспечить не простую абстракцию, а содержательную, в процессе которой осуществляется мысленно выделение существенных особенностей предмета"^*. В методике признается тот факт, что чаще всего аксиоматический метод в обучении применяется тогда, когда учащиеся уже обладают известным объемом знаний с целью обобщения и организации их в систему. Таким образом, ни о каком полном аксиоматическом методе при формировании понятия скалярной величины говорить не приходится. Задача состоит в том, чтобы выработать интуитивно понятный учащимся способ изложения материала, свободный от формалистики и не противоречащий дальнейшим уточнениям понятия скалярной величины в более старших классах.

^* (Черкасов В. А. Дидактические основы построения системы упражнений. - Челябинск, 1978, с, 63.)

Рассмотрение различных подходов к понятию скалярной величины позволило выделить те основные сведения об этом понятии, которые могут быть изложены учащимся на том или ином уровне строгости в зависимости от возрастных особенностей учащихся. Неполное или нестрогое введение понятия скалярной величины должно помогать, а не мешать в дальнейшем более полному усвоению этого понятия на любом уровне строгости.

Практическая реализация второго пункта, а именно обучение учащихся практическому применению скалярных величин в связи с измерениями и вычислениями, неразрывно связана с первым, так как, во-первых, понятия величины и измерения тесно взаимосвязаны, и, во-вторых, "процесс формирования понятий понимается как и одновременный процесс формирования у учащихся соответствующей этим понятиям системы умений и навыков"^*. Обучение учащихся измерениям величин, математической обработке результатов этих измерений - процесс длительный и поэтому должен осуществляться постепенно и непрерывно.

^* (Там же, с. 4)

Таким образом, методика изучения понятия скалярной величины с учетом межпредметных связей может быть построена на следующих основных положениях:

1) формирование и развитие общих представлений учащихся о скалярной величине должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных величин с последующими обобщениями их свойств;

2) изучение конкретных величин должно осуществляться таким образом, чтобы в первую очередь выявлялись те их свойства, которые лежат в основе общего определения понятия скалярной величины;

3) при первоначальном формировании понятия о величинах должны учитываться жизненные представления учащихся;

4) в процессе формирования и развития понятия о скалярной величине должны учитываться возрастные особенности учащихся.

В связи с изложенными выше положениями изучение конкретных величин может предусматривать рассмотрение следующих моментов:

1. Обоснование введения той или иной величины.

Введению величин предшествует изучение свойств объектов, которые обнаруживаются в процессе сравнения. Необходимость такого сравнения и служит обоснованием введения величин, хотя может быть и недостаточным.

Реализация этого дает возможность выделить одно из общих свойств скалярных величин, заключающееся в том, что для однородных скалярных величин существует отношение равенства и неравенства, которое устанавливается каждый раз специально для разных по своей природе величин.

2. Введение отношений "быть суммой" и "быть умноженной (деленной) на число".

3. Установление для производных величин связи между величинами, введение формул для их расчетов.

4. Введение единицы измерения величины.

5. Обоснование способов измерения величины.

6. Раскрытие приближенного характера измерений (начиная с IV класса).

7. Установление свойств величин, вытекающих в процессе измерений.

Опыт нашей работы показал, что изучение величин наиболее успешно реализуется через систему самостоятельных заданий, в число которых входили следующие:

1. Прямое и косвенное сравнение величин.

Сравнение величин предполагает включение в упражнения следующих отношений в множестве однородных скалярных величин {a, b, c...}:

1) отношение "равно" и его свойства:

а) рефлексивности а = а;

б) симметричности а = b → b = a;

в) транзитивности а = b и b = с → а = с.

2) отношения "больше", "меньше" и их свойства:

а) ассиметричности а > b → b < а;

б) транзитивности а > b и b > с → а > c.

Здесь особенно важным является включение в упражнения вопросов и заданий, направленных на понимание этих отношений: "что больше?", "что меньше?", "на сколько больше?", "на сколько меньше?", "увеличить на ...", "уменьшить на ...".

2. Прямое и косвенное сложение величин, обладающее следующими свойствами:

а) переместительности а + b = b + а;

б) сочетательности (а + b) + с = а + (b + с);

в) монотонности а + b = c → c > a и c > b;

В связи с рассмотрением суммы величин учащимся важно показать, что существует величина "b", называемая разностью величин сна, обладающая свойством а + b = c.

3. Прямое и косвенное умножение и деление величины на число. Здесь особое внимание учителю следует обратить на следующее свойство: для любых однородных скалярных величин а и b найдется такое натуральное число n, что n × b > a.

Важным является включение в упражнение вопросов и заданий, направленных на понимание этих отношений: "во сколько раз больше", "во сколько раз меньше", "увеличить во столько-то раз", "уменьшить во столько-то раз" и др.

4. Усвоение формул для расчета величин, связей между ними.

5. Усвоение единиц измерения величин, на перевод единиц.

6. Формирование и развитие знаний, умений и навыков измерения величин.

В зависимости от особенностей той или иной величины, целей урока, возрастных возможностей учащихся, уровня имеющихся у них знаний, умений и навыков и т. д. последовательность рассмотрения этих пунктов может быть различной и менее подробной.

В нашей работе основные свойства величин, а также знания, умения и навыки измерений их формировались и усваивались учащимися в ходе предметной деятельности в процессе выполнения фронтальных практических заданий и заданий с дидактическими карточками, активизирующих познавательную деятельность учащихся.

Большинство заданий были непродолжительны по времени выполнения. Мы их делили на следующие виды:

1. Задания, подготавливающие .учащихся к введению той или иной величины. Эти задания включают в себя наблюдение и изучение свойств тел, явлений, сравнение (качественное) этих свойств и т. д.

2. Задания, раскрывающие основные свойства величин. Обычно такие задания выполняются в процессе введения величины или после ее введения.

3. Задания, служащие для закрепления основных свойств величины.

4. Задания, служащие для повторения или обобщения знаний о величине.

5. Задания, способствующие формированию и развитию умений и навыков измерений величин.

6. Задания, служащие для контроля знаний, умений и навыков, связанных с величинами.

7. Задания-задачи, развивающие понятие величины в процессе его применения.

8. Задания на установление, закрепление или повторение зависимостей между величинами.

Процесс изучения понятия о скалярной величине начинается с 1 класса и продолжается в течение всего обучения в школе.

Опыт работы в школе показал, что на первом этапе (I-V классы) в основном осуществляется пропедевтическая работа, закладываются измерительные умения и навыки. Цель этой работы заключается в создании определенного содержательного фонда понятия "скалярная величина".

На втором этапе (VI-VIII классы) происходит развитие представлений учащихся о понятии "скалярная величина" путем обобщений предшествующих сведений о конкретных скалярных величинах. Здесь же вводятся новые величины, расширяющие круг известных учащимся величин, и совершенствуются измерительные умения и навыки.