§ 3. О различных подходах к понятию скалярной величины в математике

В этом параграфе приведем примеры других аксиоматик скалярных величин, которые получили наибольшее распространение.

1. Обозначим множество объектов {a, b, c...} буквой S и назовем его множеством однородных скалярных величин, если для его элементов {a, b, c...} имеют место следующие свойства (аксиомы):

1) Если а ∈ S и b ∈ S, то справедливо одно и только одно из соотношений a < b, a = b, a > b. 2) Если a < b и b < с, то a > c.

3) Для любых a ∈ S и b ∈ S определена с = a + b, которая тоже принадлежит S. 4) а + b = b + а. 5) а + (b + с) = (а + b) + с. 6) а + b > а. 7) Если а > b, то существует одна и только одна величина с, для которой b + с = а. 8) Каковы бы ни были а ∈ S и натуральное число n, существует b ∈ S, для которой nb = а. 9) Каковы бы ни были а ∈ S и b ∈ S* существует такое натуральное число n, что nb > а (свойство 9 называют аксиомой Архимеда). 10) Если последовательность величин а₁<а₂<... <... <b₂<b₁ обладает тем свойством, что b_n - а_n < с для любой величины с при достаточно большом номере n, то существует единственная величина х, которая больше всех а_n и меньше всех b_n (аксиома непрерывности).

Эти аксиомы определяют понятие положительной скалярной величины. Для определения величин, которые могут иметь и отрицательное значение, нужно лишь изменить аксиомы 6, 7, 9: 6) Если а <b, то а + с < b + с. 7) Для любых а и b существует одна и только одна величина с = а - b, для которой а = b + с.

Из свойств 3, 4, 5, 7 можно вывести, что для любых а 6 5 и b ∈ S a - a=b - b, т. е. в множестве однородных величин существует одна вполне определенная "нулевая" величина, обладающая свойством: всегда а + 0 = а.

9) Если b > 0, то для любой а 6 5 существует такое натуральное число я, что а < nb.

Рассмотренный подход к определению понятия скалярной величины в математике является самостоятельным и не связан с понятием действительного числа, но предполагает известным натуральное число.

2. Существует и другая аксиоматика скалярных величин, которая предполагает известным понятие действительного числа и операций над ними. Аксиоматика скалярных величин в этом случае выглядит иначе.

Множество S = {a, b, c .....} назовем множеством однородных скалярных величин, в котором определены операции сложения, умножения на действительное число и отношения неравенства (S, +, *, >), обладающие следующими свойствами:

1) Среди множества S однородных величин существует такая величина 0, что m×0=0.

Эта аксиома сходна с аксиомой 7 в первой приводимой здесь концепции понятия величины; она предполагает наличие некоторой "нулевой" величины.

2) При любой величине e > 0 отображение m → a = me осуществляет взаимно-однозначное отображение множества действительных чисел на множество S однородных величин.

Здесь предусматривается возможность измерения любой из величин данного множества S, если из этого множества выбрана некая величина "e" в качестве единицы измерения. Тогда каждому элементу множества 5 в результате измерений ставится в соответствие действительное число. Под измерением же можно понимать нахождение числового множителя m в равенстве a = me. Здесь те называется значением величины, m - числовым (или численным) значением. Таким образом, величина а получается в результате умножения числа m на единицу измерения e. Если вернуться к первой аксиоме, то ясно, что значение величины 0 равно нулю, т. е. 0 = 0 × e = 0.

3) Всегда m × e + n × e = (m + n) × e.

Эта аксиома указывает на одно очень важное свойство операции сложения величин: сумма величин при выбранной единице измерения e равна сумме числовых значений слагаемых величин. Допустим, площадь двух треугольников равна соответственно 5 и 8 см². Чтобы найти площадь фигуры, составленной из этих треугольников, воспользуемся данным свойством: 5 см²+ 8 см² = (5 +8) см² = 13 см².

4) Всегда m × (n × e) = (m × n) × e.

В этой аксиоме заключается свойство операции умножения величины на действительное число: чтобы умножить величину на действительное число, нужно перемножить это число с числовым значением величины, оставив единицу измерения прежней. Получится величина того же рода.

5) Если m × e > n × e, то m > n, т. е. большей величине соответствует и большее числовое значение при одной и той же единице измерения.

Можно ввести понятие отношения двух однородных величин как такого числа k, для которого m × e =k(n × e). Отсюда легко вывести, что (m×e)/(n×e) = m/n = k, т. е. отношение величин равно отношению их числовых значений при общей единице измерения e. Две величины называются соизмеримыми, если их отношение k рационально, в противном случае k иррационально.

Перечисленные аксиомы можно проиллюстрировать в процессе измерений длин отрезков, площадей, объемов и др. Таким образом, эти величины, обладая общими свойствами, относятся к одному виду величин - скалярным.

3. Подход к определению понятия скалярной величины, предлагаемый И. Я. Виленкиным, также является аксиоматическим. Коротко рассмотрим аксиоматику непрерывных положительных скалярных величин.

Множество (V, +) с заданной в нем алгебраической операцией сложения называется непрерывной положительной скалярной величиной, если выполнены следующие аксиомы:

1) Сложение в V коммутативно, ассоциативно и сократимо (последнее означает, что из вытекает x = y).

2) Для любых x и y из V имеем x + y ≠ x.

3) Для любого x ∈ V и любого n найдется такое y ∈ V, что ny = x (через ny обозначена сумма y + ... + y, содержащая а слагаемых).

4) Если x, y ∈ V, то либо x < y, либо y > x.

5) Если ∅≠ X∈ V, причем x не больше y, то существует элемент а ∈ V, разделяющий x и y (иначе для любых x ∈ X и y ∈ Y выполнено x ≤ y и x ≤ a ≤ y).

При измерениях величин каждому измеряемому объекту сопоставляется элемент из множества V (например, телу сопоставляется его масса), т. е. задается отображение f : Q → V, где Q - совокупность измеряемых объектов. Соответствия между объектами в Q и их образами можно аксиоматизировать, если ввести понятие области определения величины. Областью определения величины называют множество Q с заданными в нем отношениями эквивалентности α ∼ β и тернарным отношением α = β ⊕ γ (читается "α состоит из β и γ"), такими, что:

а) существует хотя-бы одно отображение f : Q → V, для которого из α ∼ β следует f(α) = f(β), а из α = β 0 у следует f(α) = f(β) + f(γ);

б) для любого отображения g : Q → V, имеющего те же свойства, что и f, найдется такое α ∈ R⁺, что для всех α ∈ Q выполняется равенство g(α) = αf(α) (здесь R⁺- множество положительных действительных чисел).

Не раскрывая дальше теорию измерения скалярных величин, заметим лишь следующее: чтобы выразить результат измерения числом, надо выбрать в Q какой-нибудь элемент e и назвать его единицей измерения данной величины. Тогда каждому α ∈ Q сопоставляется число, равное f(α)/f(e). Это число называют мерой а при единице измерения e. Из условия б) и определения Q вытекает, что оно не зависит от выбора отображения f, а зависит от α и е.

Использование одного из рассмотренных подходов к понятию скалярной величины в школьном преподавании для формирования общих представлений о величине вызывает определенные трудности, так как любая аксиоматика скалярных величин обладает высоким уровнем абстракции. Но принципиальная возможность применения того или иного подхода некоторыми авторами не отрицается. Так, в период перехода советской школы на новое содержание математического образования о возможностях использования второго подхода к понятию величины в средних классах А. Н. Колмогоров писал: "... Можно предложить приемлемый, например, для VI класса школьный вариант изложения подобного резюме ранее при-обретенных знаний о скалярных величинах"^*.

^* (Колмогоров А. Н. О системе основных понятий для школьного курса математики. - Математика в школе, 1971, № 2, с. 19.)

По поводу третьего подхода Н. Я. Виленкин указывал, что "излагаемый подход после соответствующей адаптации может быть использован в школьном преподавании"^*.

^* (Виленкин Н. Я. О понятии величины. - Математика в школе, 1973, № 4, с. 4. )

В существующих учебных пособиях аксиоматика скалярных величин полностью не раскрывается и понятием скалярной величины в школьном курсе математики пользуются без определения. Однако учащиеся должны получить некоторые сведения об общих свойствах скалярных величин, а в процессе изучения отдельных величин эти свойства применять.

Различные подходы к понятию скалярной величины позволяют дать некоторое обобщение основных сведений о скалярных величинах, которые могут быть использованы в практике школьного преподавания математики.

1. Скалярная величина - элемент множества однородных скалярных величин.

2. Скалярные величины могут быть разных родов.

3. Для скалярных величин одного рода вводится операция сложения и отношение порядка^*.

4. Скалярная величина имеет числовое значение при выбранной единице измерения. Числовое значение получают в результате измерений.

5. При измерениях осуществляется взаимно-однозначное отображение множества величин на множество действительных чисел при выбранной единице измерения.

6. В процессе измерений выявляются следующие свойства величин: а) равным величинам соответствуют равные числовые значения величин при одной и той же единице измерения; б) числовое значение суммы величин при одной и той же единице измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин.

7. Запись числового значения величины осуществляется с указанием единицы измерения.

8. Для разнородных величин операция сложения и отношение порядка не определены.

^* (Указанные операция и отношение обладают общими свойствами 1) - 5) (см. с. 11), которые используются в процессе изучения величин, но специально не выделяются.)