Векторные величины и векторы

Такие понятия, как скорость, сила, ускорение и др., образуют иную разновидность величин - векторные величины. Особенностью векторных величин является их направленность в пространстве. Это обусловливает наличие у векторных величин свойств, отличных от свойств скалярных величин.

Остановимся прежде всего на понятии вектора, которое обобщает многие свойства векторных величин и является математическим аппаратом при их изучении.

Существует несколько интерпретаций понятия вектора. Приведем наиболее характерные примеры, раскрывающие это понятие.

1. Один из подходов использует понятие направленного отрезка, под которым понимается отрезок с фиксированными начальной и конечной точками. Пусть каждая точка плоскости (или пространства) представляет собой начало некоторого направленного отрезка из множества всех направленных отрезков плоскости (пространства). Это множество направленных отрезков разобьем на подмножества, каждое из которых состоит из сонаправленных отрезков равной длины. Такие отрезки АВ и CD называют эквиполентными. Можно убедиться, что отношение эквиполентности обладает тремя свойствами:

1) рефлексивности: если А = С и В = D, то направленные отрезки АВ и CD совпадут и поэтому имеют равные длины. Эти отрезки и сонаправлены, так как их направление определяется одним и тем же лучом;

2) симметричности: если |АВ| = |CD| и [AВ] ↑↑ [CD], то| CD| = |АВ| и [CD] ↑↑ [AB]. Для случая, когда отрезки АВ и CD лежат на одном луче, это свойство очевидно. Теперь пусть направленные отрезки АВ и CD лежат на разных лучах. Из условия |АВ| = |CD| и [AB] ↑↑ [CD] следует, что АВ и CD являются противоположными сторонами параллелограмма. Значит, |CD| = [АВ] и CD ↑↑ АВ;

3) транзитивности: доказательство третьего свойства можно найти в курсах аналитической геометрии.

Таким образом, отношение эквиполентности направленных отрезков является отношением эквивалентности. Множество направленных отрезков разбивается на классы эквивалентности К₁ и K₂, ... Направленный отрезок АВ ∈ К вполне определяет весь класс эквиполентных ему направленных отрезков К. Этот направленный отрезок часто называют представителем.

Введем операцию сложения. Пусть нужно сложить два класса эквиполентных отрезков K₁ и К₂. Выберем в одном классе эквиполентных отрезков произвольный направленный отрезок АВ ∈ К₁ затем в другом классе берем отрезок ВС ∈ K₂ с началом в точке В. Если точка С - конец второго отрезка, то направленный отрезок АС принадлежит некоторому классу эквиполентных отрезков К, который называется суммой данных классов К₁ и К₂; K₁ + К₂ = К В курсах геометрии доказывается, что К определяется с помощью К₁ и К₂ однозначно, независимо от выбора точки A, от которой откладывается направленный отрезок АВ ∈ K₁.

Введем теперь операцию умножения класса эквиполентных отрезков на число. Направленные отрезки, эквиполентные отрезку АВ, образуют класс эквиполентных направленных отрезков K₁. Умножая каждый из них на одно и то же число m, получим другой класс эквиполентных отрезков К₂, который является произведением K₁ на число m: К₂ = m × К₁ Если m > 0, то направленные отрезки в классах K₁ и K₂ сонаправлены; если m < 0, то противоположно направлены.

Операции сложения и умножения на число во множестве классов эквиполентных направленных отрезков обладают рядом свойств. В частности, построением легко показать свойство ассоциативности относительно операции сложения. Заметим, что при выполнении геометрических построений мы обращаемся с представителями классов эквиполентных направленных отрезков. Отложим от произвольной точки А направленный отрезок АВ ∈ К₁ от его конца В - направленный отрезок ВС ∈ K₂, а от конца С направленного отрезка ВС - отрезок CD ∈ K₃. Согласно определению направленный отрезок АС определяет сумму классов K₁ и K₂ эквиполентных отрезков, т. е. [АС] ∈ K₁K₂, направленный отрезок BD определяет сумму K₂ + K₃, т. е. [BD] K₂ + K₃. Направленный отрезок AD определяет, с одной стороны, класс (K₁ + K₂) + K₃, а с другой стороны - класс K₁ + (K₂ + K₃). Следовательно, (K₁ + K₂) + K₃ = K₁ + (K₂ + K₃).

Во множестве классов эквиполентных направленных отрезков можно обнаружить и другие свойства:

1) K₁ + K₂ = K₂ + K₁ 2) К + 0 = К, 3) К + (-K) = 0,

4) 1 × К = K, 5) (х + у)К = хК + yК, 6) х(K₁ + K₂) = xK₁ + хК₂, 7) ху(К) = х (уК), где х и y - числа. Элементы рассмотренного множества называются векторами.

2. Рассмотрим множество параллельных переносов плоскости (или пространства). Параллельный перенос Т определяется как отображение плоскости на себя, при котором каждая точка X отображается на такую точку Х₁, что: 1) луч XX₁ имеет заданное направление; 2) отрезок XX₁ имеет заданную длину. Известно, что параллельный перенос задается парой точек, одна из которых является образом другой.

Введем операцию сложения переносов. Последовательно выполним два переноса T₁ и T₁: отображение (параллельный перенос) произвольную точку A переводит на точку В = T₁(A), а отображение T₂ - точку В на точку С = T₂(В). Результат последовательного выполнения переносов T₁ и T₂ есть новый перенос, при котором точка A отображается на точку С. Это отображение A → C=T₂[T₁(A)] называется суммой (композицией) параллельных переносов.

Наряду с этой операцией вводится понятие произведения параллельного переноса на число. В множестве параллельных переносов имеют место те же свойства, что и в рассмотренном выше множестве классов эквиполентных направленных отрезков. В таком случае сам параллельный перенос можно назвать вектором.

3. Векторами можно назвать не только параллельные переносы, но и множества пар точек, которые задают эти переносы.

Выделим подмножества тех пар точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Такие подмножества иначе называют графиками параллельных переносов.

Чтобы получить график параллельного переноса, вводят отношение эквивалентности для любых пар точек (A; В) и (C; D) так, что [АВ) ↑↑ [CD) и |А; B| = |C; D|. Далее с помощью этого отношения производят разбиение множества всех пар точек на не пересекающиеся классы, элементами которых являются эквивалентные пары. Можно показать, что классы эквивалентных пар обладают уже рассмотренными выше свойствами (сравните с первым и вторым примерами векторов). Принято отождествлять график параллельного переноса с самим переносом, как перемещением пространства. Сам график параллельного переноса является вектором.

Существуют величины, для которых справедливы свойства векторов: скорость, сила и др. Их называют векторными величинами. В этом случае свойства выполняются в множестве однородных векторных величин. Подтверждением того, что для однородных векторных величин справедливы свойства векторов, является опыт, эксперимент. Например, опыт показывает, что в множестве сил справедливы те же действия и их свойства, что и для векторов. Значит, сила - векторная величина (или вектор).

Множество однородных векторных величин назовем системой векторных величин. Система векторных величин образует коммутативную полугруппу относительно операции сложения, но отношение порядка в ней не определено. Поэтому в отличие от системы скалярных величин эта полугруппа не являетоя упорядоченной. Иначе говоря, для векторных величин не имеют смысла отношения "больше", "меньше". Более того, сопоставляя аксиоматику системы скалярных величин и свойств векторов, можно заметить, что многие их свойства аналогичны.