Скалярные величины

В математике существует несколько подходов к понятию скалярной величины. В одних случаях величины просто отождествляются с числами, в других величина определяется как функция с заданными свойствами, в третьих - как множество с некоторой совокупностью свойств.

При аксиоматическом подходе, который получил широкое распространение, скалярная величина определяется косвенно через ту или иную систему аксиом. Выбор системы может быть различным (работы А. Н. Колмогорова, Н. Я. Виленкина и др.). В одних случаях аксиоматика скалярных величин предполагает известными действительные числа, в других скалярная величина имеет самостоятельное определение.

Приведем пример аксиоматики понятия скалярной величины, которая предполагает известным понятие упорядоченной коммутативной полугруппы. Другие примеры даны в § 3 этой части. Для определенности рассмотрим сначала положительные скалярные величины. Системой положительных скалярных величин называется упорядоченная коммутативная полугруппа G = {a, b, c, ,..} с определенными на ней операцией сложения и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) a + b > a (монотонность сложения).

2) Если а > b, то существует единственный элемент с ∈ G, такой, что a = b + c. Пишут: c = a - b (возможность вычитания).

3) При любом a ∈ G и n ( N существует элемент b ∈ G, такой, что nb = а. Пишут: b = a/n.

4) При любом а ∈ G и b ∈ G существует натуральное число n ∈ N, такое, что a < nb (аксиома Архимеда).

5) Если бесконечная последовательность a₁<a₂<...<b₂<b₁ обладает тем свойством, что при любом c ∈ G существует натуральное число n ∈ N, таксе, что b_n - a_n < c, то имеется единственный элемент х₀ ∈ G, такой, что a_k < х₀ < b_k (при любом k ∈ N) (аксиома Кантора).

Каждый элемент системы G называется положительной скалярной величиной, причем если величины a, b ∈ G, то они называются однородными величинами. В противном случае величины называются разнородными. Для них операция сложения и отношение порядка не определены.

В математике и физике имеют дело с довольно большим количеством скалярных величин. Здесь мы рассмотрим такие, которые чаще всего встречаются в курсах математики. Подробнее остановимся на доказательстве того факта, что длины отрезков являются множеством однородных скалярных величин.

Можно доказать, например, что длины отрезков подчиняются рассмотренной системе аксиом. Для этого рассмотрим множество всех длин отрезков евклидовой плоскости. Если на множестве L задано отношение эквивалентности, то можно разбить это множество на не пересекающиеся классы: L = К_[АB]∪K_[CD]∪ .... объединяя в один класс все эквивалентные между собой элементы (отрезки). Отношение конгруэнтности есть отношение эквивалентности, так как оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Значит, класс эквивалентности К_[АВ] есть множество всех отрезков, конгруэнтных отрезку А В, класс эквивалентности K_[CD] есть множество всех отрезков, конгруэнтных отрезку CD, и т. д. На множестве L введем операцию сложения: для этого на произвольном луче [ОХ) отложим любой отрезок [ОМ] ≡ [АВ] ∈K_[aB] и от точки М отложим отрезок [MN] ≡ [CD] ∈ K_[CD], которые являются представителями в классах эквивалентности К_[aB] и K_[CD] Точка М не зависит от выбора отрезка АВ в классе эквивалентности К_[АВ] а точка N не зависит от выбора отрезка CD в классе K_[CD]^*. Отрезок ON однозначно определяет элемент K[_0N] ∈ L, который не зависит от выбора луча ОХ.

^* (См. об этом, например: Базылев В. Т. и др. Геометрия. -М., 1974, ч. II.

Таким образом, для каждых двух элементов К_[АВ], K_[CD] множества L существует единственный элемент K_[0N], который и называется суммой данных элементов: К[АВ] +K_[CD] = K_[0N] (отрезки ON, АВ, CD - представители своих классов). Отрезок ON представляется отрезками АВ и CD не однозначно, а с точностью до перемещения. Тем не менее говорят, что отрезок ON является суммой отрезков А В и CD.

Из определения сложения отрезков следует, что К_[aВ] + K_[CD] > К_[АВ]. Далее можно убедиться, что сложение отрезков коммутативно и ассоциативно (на основании коммутативности и ассоциативности сложения векторов ОМ^→, MN^→, ON^→), т. е. множество L является коммутативной (абелевой) полугруппой относительно операции сложения.

Далее, определим отношение порядка на L. На произвольном луче ОХ отложим [ОМ] ≡ [aB] ∈ K_[aB] и [ОМ'] ≡ [CD] ∉ K_[CD]. Возможен только один из трех случаев:

1) Точка М совпадает с точкой М'. Тогда [aB] ≡ [CD] и K_[aB] = K_[CD]

2) Точка М лежит между точками О и М'. Тогда K_[aB] < K_[CD] .

3) Точка М' лежит между точками О и М. Тогда K_[aB] > K_[CD] .

Отношение между К_[АВ] и K_[CD] не зависит от выбора луча ОХ и представителей [aВ] и [CD] в классах эквивалентности К_[АВ] и K_[СD] (здесь не доказываем). Очевидно, K_[aB] ≤ K_[CD] → K_[aB] + К_[XY] ≤ K_[CD] = K_[XY] при любом K_[ХУ] ∈ L

Следовательно, коммутативная полугруппа является упорядоченной. Проверим для нее выполнение аксиом 1)-5). Справедливость аксиомы 1) вытекает непосредственно из неравенства (1), аксиомы 2) - из определения операции сложения К_[АВ] + K_[CD] = K_[0N]. Далее при любом [ОМ] ≡ [aB] ∈ К_[АВ] и любом N € N в процессе откладывания на луче ОХ отрезка ОМ n раз найдем отрезок [ОМ'] ≡ [CD] K_[CD] причем К_[СD] + K_[CD] + K_[CD] (n слагаемых) = К_[АВ] Значит, справедлива аксиома 3).

Отложим на луче ОХ произвольный отрезок [ОМ] ≡ [aB] ∈ К_[АB] и от той же точки О - отрезок [ОМ'] ≡ [CD] ∈ K_[CD] . Пусть точка М' лежит правее точки М на луче ОХ, тогда справедливость аксиомы 4) очевидна. Если же точка М' лежит левее точки М, тогда К_[АВ] > K_[CD] Откладывая отрезок ОМ' достаточное число раз, можно добиться, что К_[АВ] < K_[CD] + K_[CD] + ... + К_[CD] (n слагаемых). Пятая аксиома является теоремой анализа.

Итак, множество L является системой положительных скалярных величин. Его элементы называются длинами. Например, длина отрезка АВ представляет собой определенный класс эквивалентности К_[aB], как элемент системы положительных скалярных величин. Другими примерами положительных скалярных величин являются площадь, объем. В этом случае также можно доказать, что площади, объемы представляют собой системы положительных скалярных величин, которые являются упорядоченной коммутативной полугруппой с аксиомами 1)-5).

Значит, во множестве длин отрезков, площадей, объемов справедливы одни и те же аксиомы. Таким образом, разные по своей природе величины, отражающие различные свойства объектов, обладают рядом общих свойств, их и называют положительными скалярными величинами.

Иногда приходится рассматривать такую систему скалярных величин, когда полугруппа (G) содержит элемент "нуль", обладающий свойством: a + 0 = a. В этом случае получается система неотрицательных скалярных величин (например, неотрицательные действительные числа). Примеры таких величин можно найти в физике: масса, плотность и др.

Наконец, еще более расширенным понятием рассмотренных ранее систем величин является система скалярных величин. Здесь необходимы лишь уточнения первой, четвертой и пятой аксиом:

1) а + b > а при любом b > 0, где 0 - нулевой элемент; 4) для любых a > 0 и b > 0 ∈ G существует n (: N, такой, что а < nb; 5) та же, только c > 0.

Например, множество R действительных чисел является системой скалярных величин относительно операции сложения и естественного порядка в R. Другими примерами могут быть величина угла, температура и др. Вообще говоря, чтобы установить, является ли какая-либо величина скалярной, необходимо показать, что множество таких величин есть упорядоченная коммутативная полугруппа, удовлетворяющая аксиомам 1)-5).

Измерением величин из системы С скалярных величин называется изоморфное отображение f : С → R упорядоченной полугруппы G на упорядоченную полугруппу R, в которой существует элемент e ∈ G, такой, что f(e) = 1. Элемент e называется единицей измерения. Число f (a) = a называется мерой или числовым значением величины a ∈ G при единице измерения e. Записывают так: a = ae (ae иногда называют именованным числом).

В частности, пусть L - множество отрезков, a R^*₊ - множество положительных чисел. Измерение отрезка установлено, если определено отображение l: L → R^*₊, удовлетворяющее следующим аксиомам, которые называются аксиомами измерения отрезков: 1) конгруэнтные отрезки имеют равные длины (инвариантность функции при перемещении); 2) длина отрезка, состоящего из нескольких отрезков без внутренних точек, равна сумме длин этих отрезков (аддитивность функции l); 3) существует отрезок, длина которого равна 1 (этот отрезок называется единичным). Следует заметить, что сказанное справедливо в метрической геометрии. В евклидовой геометрии подобия нет единичного отрезка. Чтобы перейти от геометрии подобия к метрической геометрии, нужно какой-либо отрезок зафиксировать в качестве единичного, тогда число, выражающее длину всякого другого отрезка, будет его отношением к выбранному "единичному". Любому отрезку в геометрии подобия соответствует отображение l, удовлетворяющее аксиомам 1)-3). Результат измерения длины отрезка АВ записывают так: |АВ| = αe, где а - числовое значение, е - единица измерения. Например, |АВ| = 5 см.

Можно доказать, как следствие, что длина части отрезка не превышает длины всего отрезка. Действительно, пусть [АС] - отрезок и [АВ] - его часть. [АВ] и [ВС] вместе составляют [АС], т. е. |АС| = |АВ| + |ВС| (на основании аддитивности). Очевидно, |ВC| ≥ 0, значит, |АС| ≥ |АВ|.

В математической литературе показывается, что для длин отрезков, при произвольно выбранной единице измерения, существует, 14 и притом единственное, отображение (измерение) f величин из этой системы^*.

^* (См., например: Энциклопедия элементарной математики /Под ред. П. С. Александрова и др.-М., Физматгиз, 1963, кн. 4)