I. Величины в математике и физике

§ 1. О роли и месте величин, их измерений в естествознании, обучении и воспитании

Величины являются составной частью содержания многих наук: математики, физики, химии, астрономии, биологии и др. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Известно, например, что при нагревании тела расширяются. Это явление было известно с древних времен. Введение таких величин, как температура и объем, установление зависимости между ними позволило значительно обогатить знания об этом явлении. Условия для введения той или иной величины созревают в процессе развития данной области знания, "...создаются постепенной работой по уточнению и дифференциации понятий опытной науки"^*.

^* ( Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. - М., 1975, с. 88 )

Каждый объект имеет много различных свойств, которые отражены в соответствующих величинах. Например, свойству инертности соответствует величина, называемая массой, свойству пространственной протяженности - длина, свойству проводника препятствовать прохождению электрического тока - сопротивление и т. д.

Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины - это не сама реальность, а лишь ее отображение. Тем не менее практика показывает, что величины верно отражают свойства окружающей действительности. В самой природе нет сил, скоростей, импульсов и т. д.; величины вводят в ходе познания для описания явлений природы.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Результат измерения выражается числовым значением величины. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека. Роль и значение измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин.

Известно, что не каждое свойство объектов, явлений мы умеем измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.). Иногда такие понятия также называют величинами, но в отличие от привычных - величинами латентными^*. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Если говорят, что этот человек более волевой, чем другой, то о степени качества "воля" судят только через систему поступков, поведение человека. В этих случаях говорят об условных значениях величин или об условных мерах. Оценивать такие величины числами представляется очень искусственным.

^* (См., например: Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. - М., 1975)

Сложение, вычитание и другие арифметические действия с латентными величинами производить нельзя, так как не может быть установлено взаимно-однозначное соответствие между их множеством и множеством действительных чисел. "Надо помнить, - писал академик А. Н. Крылов, - что есть множество "величин", т. е. того, к чему приложены понятия "больше" и "меньше", но величин точно не измеримых, например, ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т. д. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами ..."^*.

^* (Крылов А. н, Прикладная математика и ее значение для техники. - М. - Л., 1931, с. 3

Таким образом, величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т. е. математизировать знания о природе.

Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. А для этого, как указывает Ф. Энгельс, "... необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное: таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины ..."^*. Еще в глубокой древности в процессе измерений было найдено множество эмпирических фактов об общих свойствах величин, которые являются отражением свойств в реальном мире.

^* (Энгельс Ф. Диалектика природы. - Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 37

Говоря о важности понятия величины для математики, нельзя не вспомнить слова Ф. Энгельса: "Математика - это наука о величинах; она исходит из понятия величины"^*

^* (Там же, с. 572

Иногда считают, что понятие величины не является специальным математическим понятием, так как в конечном итоге, как правило, обращаются с числовыми значениями величин или просто числами. Однако, как указывает академик А. Н. Колмогоров, "...более радикальным и правильным решением представляется вполне традиционный путь, восходящий к Евклиду: общие свойства скалярных величин предпосылаются систематическому курсу геометрии ... "^*.

^* (Колмогоров А. Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики. - Математика в школе, 1971, № 2, с. 19

Понятие величины не потеряло своего значения в математике и в настоящее время. Раскрываемое в математике, оно имеет ясно выраженную прикладную направленность. Так, Н. Я. Виленкин замечает: "Понятие величины является основным, когда речь идет о приложениях математики"^*. Современная математика, давая общее представление о величине, отличает это понятие от понятия числа.

^* (Виленкин Н. Я. Математика (4-5 классы): Теоретические основы. - М., 1974, с. 180

Понятие величины играет фундаментальную роль в физике. Предметом физического исследования являются физические объекты, явления, обладающие множеством различных свойств. Для количественного описания этих свойств используются различные величины. "Язык физики - это язык физических величин, на основе использования которых формулируются и законы, и принципы, и теории"^*.

^* (Мощанский В. Н. Формирование мировоззрения при изучении физики. - М., 1976, с. 104

Различные величины между собой тесно взаимосвязаны. Диалектический материализм исходит из того, что ни один объект, ни одно явление не существуют сами по себе. Общность свойств и взаимоотношений объектов, явлений выражается в философской категории общего.

Между различными свойствами объектов и явлений окружающей действительности существуют определенные связи, часть из которых отражается в зависимостях между соответствующими величинами. Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике. Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.

В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами. Например, когда говорят о массе тела, то важно иметь в виду не только число килограммов, но и те свойства тел, которые отражает эта величина. Часто масса непосредственно не ассоциируется у учащихся со свойством инертности или гравитации, а существует как некое самостоятельное понятие. Масса, как физическая величина, отдельно от материи не существует.

Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т. е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно. На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение в деле формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Наряду с изучением конкретных величин в школе важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление о том, что такое величина вообще; каковы ее свойства, виды; каковы роль и место величин в познании природы; что значит величина и как измерить ее; в чем заключается математическая обработка результатов измерений и т. д. Понимание этих вопросов способствует формированию у учащихся научного мировоззрения.

Изучая величины, учащиеся знакомятся также с основными метрологическими понятиями: размер, значение, размерность величины, эталоны единиц измерения и т. д.

О возрастании роли величин в познании природы говорит и тот факт, что они проникают уже в такие традиционно "не математизированные" науки, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным. Поэтому подробнее рассмотрим подходы к трактовке этого понятия в этих дисциплинах.