16. Мистика теории катастроф

Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф: наряду с конкретными исследованиями типа работ Зимана имеются скорее философские труды математика Р. Тома, который первым осознал всеобъемлющий характер работ Уитни по теории особенностей (и предшествовавших им работ Пуанкаре и Андронова по теории бифуркаций), ввел термин "теория катастроф" и занялся широкой пропагандой этой теории.

Качественной особенностью работ Тома по теории катастроф является их своеобразный стиль: предчувствуя направление будущих исследований, Том не располагает не только доказательствами, но и точными формулировками своих результатов. Зиман, горячий поклонник этого стиля, замечает, что смысл слов Тома становится понятным лишь после того, как вставишь 99 своих строк между каждыми двумя строками Тома.

Чтобы читатель мог составить об этом стиле собственное представление, приведу здесь образчик из обзора перспектив теории катастроф, сделанного Томом в 1974 г.:

"В философском, метафизическом плане теория катастроф не может принести ответа на великие проблемы, волнующие человека. Но она поощряет диалектическое, гераклитовское видение Вселенной, видение мира как театра непрерывной борьбы между "логосами", между архетипами. Теория катастроф приводит нас к глубоко политеистическому взгляду: во всем следует различать руку Богов. И здесь, быть может, теория катастроф найдет неизбежные пределы своей практической применимости. Она разделит, быть может, участь психоанализа. Нет сомнения, что основные психологические открытия Фрейда верны. И все же знание этих фактов принесло мало практической пользы (при лечении психических заболеваний). Как герой Илиады не мог противостоять воле бога, скажем Посейдона, не опираясь на мощь другого божества, скажем Афины, так и мы не сможем ограничить действие архетипа, не противопоставляя ему архетипа- антагониста в борьбе с неопределенным исходом. Те самые причины, которые нам позволяют располагать нашими возможностями действовать в одних случаях, осуждают нас на бессилие в других. Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце".

Прекрасные результаты теории особенностей, к счастью, не зависят от мрачной мистики теории катастроф. Но и в теории особенностей, как и во всей математике, есть нечто таинственное: это удивительные совпадения и связи между далекими на первый взгляд предметами и теориями.

Одним из примеров такого совпадения, остающегося загадочным (хотя кое-что и понято), является так называемая A, D, Е-классификация. Она встречается в таких разных отделах математики, как, например, теории критических точек функций, алгебр Ли, категорий линейных пространств, каустик, волновых фронтов, правильных многогранников в трехмерном пространстве и кристаллографических групп, порожденных отражениями.

Общим во всех этих случаях является требование простоты, или отсутствия модулей. Простота означает следующее. Каждая классификация есть разбиение некоторого пространства объектов на классы. Объект называется простым, если все близкие к нему объекты принадлежат конечному набору классов.

Пример 1. Назовем два набора проходящих через точку 0 на плоскости прямых эквивалентными, если один из них переходит в другой при линейном преобразовании (х, у) → (ах + by, сх + dy). Любой набор трех прямых прост (любой набор трех различных прямых эквивалентен набору х = 0, у = 0, х + у = 0). Любой набор четырех проходящих через 0 прямых не прост (докажите!).

Пример 2. Будем классифицировать критические точки (комплексных) гладких функций, относя функции в один класс, если они сводятся одна к другой гладкой (комплексной) локальной заменой переменных. Список простых особенностей (скажем, для функций трех переменных) состоит из двух бесконечных серий и трех исключительных особенностей:

Пример 3. Колчаном называется набор точек и соединяющих их стрелок. Если каждой точке сопоставлено линейное пространство (точка, прямая, плоскость,...), а каждой стрелке - линейное отображение (соответствующего началу стрелки пространства в соответствующее концу), то говорят, что задано представление колчана. Два представления называются эквивалентными, если одно переходит в другое при подходящих линейных преобразованиях пространств.

Колчан на рис. 82 слева прост, справа непрост (см. пример 1).

Рис. 82. Простой и непростой колчаны

Оказывается, все связные простые колчаны получаются произвольной расстановкой стрелок на изображенных на рис. 83 диаграммах Дынкина, образующих две бесконечные серии и три исключительные диаграммы.

Простые особенности каустик и волновых фронтов также образуют две бесконечные серии А_k и D_k и три исключительные особенности Е_k (начальные члены серий изображены на рис. 34 - 45).

Рис. 83. Диаграммы Дынкина, определяющие простые колчаны

Группы симметрий правильных многогранников в трехмерном пространстве также образуют две бесконечные серии и три исключения (исключения - группы симметрий тетраэдра (Е₆), октаэдра (Е₇) и икосаэдра (Е₈), серии - группы правильного многоугольника и правильного диэдра, т. е. двустороннего многоугольника с окрашенными в разные или одинаковые цвета гранями).

На первый взгляд, функции, колчаны, каустики, фронты и правильные многогранники не связаны между собой. На самом деле соответственные объекты не случайно обозначены одинаково: например, из икосаэдра можно построить функцию х² + у³ + z⁵, а из нее - диаграмму Е₈, а также каустику и волновой фронт того же имени.

Легко проверяемым свойствам одного из соответствующих друг другу объектов соответствуют не обязательно очевидные свойства других. Таким образом, связи между всеми А, D, Е-классификациями используются для одновременного изучения всех простых объектов, несмотря на то, что происхождение многих из них (например, связей между функциями и колчанами) остается необъясненным проявлением загадочного единства всего сущего.

По словам поэта:

 Мир создан купно. Целостность его 
 Не устает показывать планета - 
 И вот в глаза бросается родство 
 То тут, то там сияющего света. 
 Наверно, есть какое-то ядро, 
 Откуда свет расходится повсюду: 
 И в зрелый свет сентябрьских щедрот, 
 И в нашей жизни трепетное чудо.

Описание в терминах теории особенностей было найдено в 1983 г. для всех групп Кокстера, порожденных отражениями в евклидовых пространствах, включая некристаллографические, вроде Н₃ и Н₄.

Группы В_k, С_k и F₄ связаны с краевыми особенностями функций (1978). Катастрофисты, кажется, все ещkkе не заметили связей теории краевых особенностей с простейшими (и важнейшими) случаями так называемой теории несовершенных бифуркаций. Более сложные случаи последней связаны с теорией Горюнова проектирований полных пересечений, которая является далеким обобщением теории краевых особенностей. В теории Горюнова, в частности, исключительная группа F₄ оказывается родоначальником целого семейства особенностей F_k, k ≥ 4.

Геометрическая интерпретация каустики F4 найдена И. Г. Щербак. Рассмотрим поверхность с краем в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Каустика поверхности с краем состоит из трех поверхностей: фокального множества исходной поверхности (образованного ее центрами кривизны), фокального множества граничной кривой (являющегося огибающей семейства нормальных плоскостей) и поверхности, составленной из нормалей к исходной поверхности в граничных точках. Для поверхностей с краем общего положения в отдельных точках край касается направления главной кривизны. В окрестности фокальной точки на нормали к поверхности, проведенной в такой точке края, каустика поверхности локально диффеоморфна каустике группы F₄ (рис. 84).

Н₃, группа симметрий икосаэдра, связана с перестройками эвольвент плоской кривой вблизи ее точки перегиба. В соответствующей плоской задаче об обходе препятствий график многозначной функции времени диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы Н₃; он диффеоморфен также объединению касательных к кривой х = t, у = t³, z = (О. В. Ляшко, О. П. Щербак). В задаче об обходе препятствия в трехмерном пространстве то же многообразие описывает особенность фронта в некоторых точках на поверхности препятствия.

Н₄ - это группа симметрий правильного 600-гранника в четырехмерном евклидовом пространстве. Чтобы описать этот многогранник, начнем с группы вращений икосаэдра. При двулистном накрытии SU(2) → SO(3) эта группа из 60 вращений накрывается "бинарной группой икосаэдра" из 120 элементов. Группа SU(2) естественно изометрична трехмерной сфере, и 120 элементов бинарной группы образуют набор вершин искомого правильного многогранника в четырехмерном пространстве.

Рис. 84. Каустика группы F4 - типичная особенность фокального множества поверхности с краем

Рассмотрим теперь задачу об обходе препятствия в трехмерном пространстве. График (многозначной) функции времени является гиперповерхностью в четырехмерном пространстве-времени. Для задачи об обходе препятствия общего положения эта гиперповерхность локально диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит группы Н₄ в некоторой точке. А именно, нужная точка лежит на касательной к геодезической на поверхности препятствия, имеющей в параболической точке касания асимптотическое для поверхности направление (О. П. Щербак, 1984).