Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Беседа третья. Условная вероятность

В предыдущей беседе мы узнали, что для вычисления вероятности суммы двух событий А и В, вообще говоря, недостаточно знать только вероятности каждого из этих событий в отдельности. Если эти события совместны, то нам нужно дополнительно знать также вероятность события АВ, т. е. вероятность совместного осуществления событий А я В: Ближайшая паша задача как раз и будет заключаться в том, чтобы установить способ вычисления вероятности произведения событий. Ее решение потребует от нас введения одного важного понятия, которое играет большую роль как в самой теории вероятностей, так и в ее разнообразных применениях, научных и практических. Прежде чем дать формальное определение этого понятия, мы рассмотрим простые примеры.

Пример 1. Бросаются две игральные кости. Событие А состоит в том, что на обеих костях выпадут простые числа очков (2, 3 или 5). Стало известно, что наступило событие В - сумма выпавших очков оказалась четной. Как изменилась вероятность события А от этого дополнительного знания?

Событию А благоприятствуют только следующие 9 исходов: (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5). Таким образом, вероятность события А равна


Пусть теперь событие В произошло. Это означает, что должен был наступить какой-то из 18 исходов: (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6). Из них пять исходов благоприятствуют и событию А.

Таким образом, вероятность события А при условии, что наступило событие В, равна


Вероятность Р {А/В} называют условной вероятностью события А при условии, что событие В наступило.

Пример 2. Из урны, содержащей 5 белых и 4 черных шара, наудачу вынимают один вслед за другим два шара. Чему равна вероятность того, что второй шар окажется белым (событие А), если первый шар оказался черным (событие В)? Извлеченный шар в урну не возвращается.

Согласно условию задачи после первого извлечения в урне остались 5 белых и три черных шара. Таким образом, после того как нам стало известно, что событие В наступило, вероятность события А оказывается равной


Рассмотренный пример относится к группе задач с из возвращаемыми в урну шарами. Эта схема находит широкие применения на практике, в частности в вопросах, связанных с контролем качества промышленной продукции.

Небольшое изменение условий задачи - вынутый шар немедленно возвращается в урну - приводит к другой важной схеме теории вероятностей - схеме возвращенного шара. В схеме возвращенного шара тот же пример приводит к другому результату. Действительно, узнав, что первый извлеченный шар оказался черным, мы немедленно его возвращаем в урну. Таким образом, перед вторым извлечением в урне снова оказывается 5 белых и 4 черных шара. Таким образом, в этой измененной постановке задачи


В данном случае условная вероятность оказалась равна вероятности события А без дополнительного условия, т. е. безусловной.

Про событие А говорят, что оно независимо от события В, если наступление события В не изменяет вероятности А, т. е.

(1)

Теперь мы можем перейти к выводу так называемой теоремы умножения вероятностей. Содержание этой теоремы дается следующим равенством

(2)

Перейдем к доказательству. Пусть событию А благоприятствуют m равновероятных и несовместимых событий из n всех возможных, событию В - k и событию АВ - l. Предположим для начала, что числа кит отличны от 0. Тогда очевидно, что


Пояснения, собственно, требует только вычисление одной вероятности, а именно Р {В/А}. Если событие А наступило, то это означает, что произошел какой-то из m исходов, благоприятствующих А. Среди них имеются l исходов, благоприятствующих и событию В. Таким образом, событие В может наступить, если событие А уже наступило, тогда и только тогда, когда произойдет один из этих l исходов, благоприятствующих как А, так и В.

Повторив буквально те же самые рассуждения, можно доказать, что

(3)

Мы получили теорему умножения в несколько ином виде, в котором события А и В поменялись местами.

Если одно из чисел k или m равно нулю, то проведенное рассуждение уже неверно (на 0 делить нельзя!). Но

этом случае теорема умножения проверяется элементарно.

Действительно, пусть k = 0. Тогда и l = 0; это означает, что Р {В} = Р {А*В} = Р {В/А} = 0. Из этой цепочки равенств вытекают оба равенства (2) и (3).

Теорема доказана полностью.

Предположим теперь, что событие В независимо от А (и, значит, выполнено равенство (1)). Тогда в силу (2) и (3) можно написать равенство Р {А} Р {В} = Р {В}*Р {А/В}. Отсюда, очевидно, находим Р {А/В} = Р {А}. Таким образом, если В независимо от А, то и А независимо от В. Свойство независимости двух событий взаимно, а потому принято говорить, что события А и В независимы, если выполняется хотя бы одно из равенств Р {А/В} = Р {А} или Р {В/А} = Р {В}.

Обратим внимание на то, что для независимых событий А и В теорема умножения записывается особенно просто:


Мы подготовили почву для вывода двух важных формул - формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Предположим, что некоторое событие В может произойти только вместе с одним из несовместимых событий А1, А2, ..., Аl. Иными словами, событие В можно представить в виде суммы


в которой слагаемые являются несовместимыми событиями. В силу теоремы сложения вероятностей


Применив к каждому из слагаемых правой части равенства теорему умножения, получим формулу полной вероятности

(4)

Проиллюстрируем полученную формулу на двух примерах.

Пример 3. Имеются 6 одинаковых урн. В одной из них содержится 2 белых и один черный шар, в двух других - по 3 белых и по 2 черных шара, а в остальных трех - по 2 черных и по одному белому шару. Наудачу вынимается урна, и из нее наудачу вынимается один шар. Чему равна вероятность того, что этот шар окажется белым (событие В)?

Мы находимся в условиях, в которых можно использовать формулу полной вероятности. С этой целью введем три дополнительных события: А1 - выбранная урна имеет 2 белых и 1 черный шар; А2 - выбранная урна имеет 3 белых и 2 черных шара; A3 - выбранная урна содержит 1 белый и 2 черных шара.

Теперь ясно, что


и


Согласно формуле


Пример 4. Некоторое изделие вырабатывается на трех заводах. Первый завод изготовляет 100 α % всей продукции, второй - 100 β % и третий - 100 γ % (α + β + γ = 1). Вероятность того, что изделие окажется некачественным, для первого завода равна а, для второго - b и для третьего - с. Потребитель приобрел это изделие в магазине, в который заводы поставляют свою продукцию в тех же пропорциях, в которых они ее изготовляют. Чему равна вероятность, что приобретенное изделие окажется некачественным?

Вновь мы находимся в условиях применимости формулы полной вероятности. Для этого достаточно через В обозначить событие, состоящее в приобретении некачественного изделия, через А1 - изготовление этого изделия первым заводом, через А2 - изготовление его вторым и через А3 - третьим заводом. Согласно условию


Таким образом,


Представим себе теперь, что событие В по-прежнему может произойти только с одним из l несовместимых событий А1, А2, ..., Аl. Событие В наступило. Спрашивается, чему равны вероятности того, что оно произошло вместе с событием Ai (i может принять одно из возможных значений - 1, 2, ..., l)?

Согласно теореме умножения


следовательно,


Но


Таким образом,

(5)

Полученное равенство носит название формулы (формул) Байеса или формулы вероятностей гипотез.

Пример 5. Сохраняются условия примера 3. Вопрос ставится так: из урны был наудачу вынут шар, он оказался белым. Чему равны вероятности того, что шар был вынут из урны первого, второго или третьего состава?

Согласно данным задачи 3 и формуле 5 находим


Решенную нами задачу можно истолковать так: у нас имеются три гипотезы - шар вынут из урны первого состава (гипотеза А1, второго состава (гипотеза А2), третьего состава (гипотеза А3), имеющие до опыта вероятности, соответственно равные 1/6, 1/3, 1/2 (доопытные, или априорные вероятности). Произведен опыт (извлечен шар белый), как после опыта изменились вероятности гипотез? Мы видим, что послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез несколько отличаются от априорных. С ситуацией, рассмотренной выше, как в научных, так и в практических исследованиях, приходится встречаться постоянно.

Мы рассмотрим еще один пример, заимствованный из многочисленных работ, посвященных автоматическому установлению диагноза заболевания.

Пример 6. Относительно поступившего на излечение больного имеются подозрения на заболевания А1 (первая гипотеза), А2 (вторая гипотеза) и А3 (третья гипотеза). Согласно проведенным ранее наблюдениям установлено, что С целью уточнения диагноза назначено лабораторное обследование, дающее положительный результат (событие В) для каждого из перечисленных заболеваний с такими вероятностями: Обследование дало положительный результат. Как следует после этого переоценить вероятности заболеваний?

Согласно формуле полной вероятности


Формулы Байеса теперь дают



Мы знаем, что врачи у постели больного не считают каждый раз по формулам Байеса, но для уточнения диагноза проводят не по одному, а по нескольку лабораторных исследований. После каждого из таких исследований вероятности заболеваний (гипотез) изменяются, и постепенно вероятность истинного заболевания резко повышается. У нас в примере это произошло с заболеванием А,.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru