Часть II. Беседы о теории вероятностей

Беседа первая. Представления о случайных событиях

Человечество за многовековую историю непрерывной борьбы за существование далеко продвинулось по пути познания окружающего нас мира, выяснив многие действующие в нем законы и научившись предсказывать ряд явлений с поразительной точностью. При этом оказалось, что для процесса познания интересующих нас явлений метод, разработанный при исследовании одной группы явлений, нередко оказывается применимым и ко многим другим, зачастую очень далеким по своему физическому характеру.

В последние десятилетия стремительно возрастает значение математических теорий случайных явлений.

Сейчас все более широкие круги специалистов - физиков, биологов, врачей, экономистов, инженеров, военных, организаторов производства - приходят к мысли о том, что в качестве действенных орудий в работе им требуются теория вероятностей и математическая статистика - две основные математические науки о случайных явлениях.

Попытаемся на примерах выяснить довольно типичные ситуации, с какими приходится сталкиваться на практике.

Представим себе, что нам поручено организовать службу скорой медицинской помощи. Спрашивается, сколько для этой цели потребуется пригласить врачей, приобрести автомобилей для перевозки больных, как организовать дежурства?

В чем сложность стоящих перед нами задач? В первую очередь в том, что нам неизвестны те моменты, в которые последуют вызовы от больных. Нам неизвестно также, как долго придется пробыть врачу у каждого из больных, которых он посетит. Как правило, ему встретятся и сложные случаи, когда осмотр и облегчение состояния больного потребуют значительного времени, так и простые случаи, в которых опытному врачу достаточно будет беглого взгляда, чтобы прописать необходимый режим. Положение осложняется еще тем, что ситуация, с которой мы встретимся сегодня, не повторится завтра или послезавтра. Как моменты и число вызовов в течение суток, так и длительность обслуживания каждый день меняются случайно. И вот в этих условиях нам нужно принять решение, чтобы, с одной стороны, система помощи работала достаточно удовлетворительно и в то же время не требовала чрезмерных затрат.

Рассмотрим другой пример, с которым приходится встречаться в научной и производственной практике. Я имею в виду постановку эксперимента, сбор и обработку экспериментальных данных. При измерении происходят неизбежные неточности отсчета, вызванные легким смещением глаза наблюдателя, колебанием температуры окружающего пространства или воздушного потока. В результате, что хорошо известно еще со времен Галилео Галилея, измерения одной и той же величины (объема, длины стержня, силы тока и т. д.) дают разные значения. Ошибки измерений носят случайный характер, и постоянно возникает задача учета их влияния.

В последние годы в связи с развитием массового производства возникли многочисленные новые задачи оценки точности оборудования, качества изготовленной продукции, в том числе ее надежности. Под надежностью технического изделия понимается способность его: а) проработать безотказно в течение заданного промежутка времени; б) быть пригодным к эксплуатации в течение длительного срока, быть может, при проведении профилактических осмотров и ремонтных работ; в) быть хорошо приспособленным к проведению ремонтных работ. И вновь возникает необходимость оценки случайного отклонения свойств изделий от заданных и оценки качества изготовления не только отдельного изделия, но всей массы изготовленных изделий. В результате приходится обращаться к методам, которые разработаны современными науками о случайном - теорией вероятностей и математической статистикой.

С близкой ситуацией приходится сталкиваться в медицине. Действительно, от человека к человеку меняются, и притом очень сильно, различные физиологические особенности. Так, для примера, нормальная температура тела считается равной 36,6 °С. В действительности же температура тела различных людей, при которой они чувствуют себя лучше всего, принимает различные значения вблизи от 36,6 °С. Изменение температуры даже на небольшую величину от оптимальной для некоторых лиц связано со значительным ухудшением состояния, для других же даже значительные отклонения вызывают лишь небольшое недомогание. Мы видим, таким образом, что даже такие обычные наблюдения за состоянием больного, как измерение температуры, должны учитывать случайный разброс "нормальной температуры" для различных лиц. В современные медицину и биологию теперь с каждым днем все сильнее проникает мысль о необходимости самого всестороннего учета случайных событий и случайных процессов как при изучении и формулировке биологических закономерностей, так и при выработке диагностических правил, рекомендуемых не только для данного больного, но для всех больных.

Каждому из нас приходилось и приходится использовать телефон-автомат для деловых и дружеских бесед. Мы хорошо знаем, как различно время ожидания, которое мы затрачиваем, чтобы дождаться права позвонить. Но при этом не всегда удается застать нужный нам телефон свободным, прежде чем мы дозвонимся, а потому приходится произвести несколько наборов номера. Длительность разговора также меняется от одного раза к другому очень сильно - то разговор предельно лаконичен и длится буквально секунды, то растягивается на многие минуты. Нам сейчас важно подчеркнуть то обстоятельство, что при проектировании телефонной станции, при оценке ее загрузки и предстоящего качества ее работы специалистам приходится не только считаться с тем, что как число вызовов за секунду времени, так и длительность разговоров меняются случайным образом. И нам мало сказать, что необходимо учесть случайность этих важнейших характеристик, мы должны все расчеты телефонных сетей и коммутационного оборудования основывать именно на их случайности.

Для науки такого рода заключение не является неожиданностью, поскольку молекулярное представление о строении материи неизбежно приводит к тому, что случайные явления играют фундаментальную роль в физиологических процессах, в биологии, физике, химии и технике. Действительно, непрерывно двигающиеся атомы и молекулы постоянно создают новые и новые ситуации, особенности строения и взаимного их расположения. Они сталкиваются, взаимодействуют друг с другом, изменяют скорости и направления движений. Как в этих условиях узнать давление газа? Оно определяется числом и силой ударов молекул за данный промежуток времени. Но ведь это число случайно, так же как и сила ударов. Нам же хорошо известно из курса физики, что давление подчиняется закону Паскаля. Возникает естественный вопрос: как увязать молекулярные концепции и закон Паскаля? Ведь, казалось бы, давление газа должно изменяться случайным образом в зависимости от неучитываемых изменений скорости попадающих на стенку молекул, направления их движения, а также их числа. Мы увидим позднее, что это не так и основой для наших заключений явится одно из важнейших положений теории вероятностей - так называемый закон больших чисел. При этом оказывается, что если изучить давление сильно разреженного газа, то закон больших чисел уже перестает действовать с такой поразительной точностью и будут наблюдаться те случайные отклонения, о которых только что шла речь.

Молекулярное строение вещества приводит к локальным колебаниям твердости и вязкости веществ, а это в свою очередь вызывает неоднородный износ трущихся частей механизмов, случайный выход из строя деталей и узлов машин и приборов.

То, что случайные явления широко распространены в окружающем нас мире и далеко не все, с чем мы имеем дело, подчиняется строгим детерминистическим законам, было замечено еще в глубокой древности. Это неоднократно отмечалось как древнегреческими, так и древнеримскими философами. Прекрасную лирическую картину случайности движения молекул дал римский философ Тир Лукреций Кар в произведении "О природе вещей". В частности, именно он дал первое качественное объяснение причин броуновского движения частиц, взвешенных в жидкости. Вот строки 113-124 второй части этого произведения (перевод Ф. А. Петровского, Изд-во АН СССР, 1946):

Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает 
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами, 
Множество маленьких тел в пустоте ты увидишь, мелькая 
Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света; 
Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и
битвах, 
В схватке бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя, 
Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь. 
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно 
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.
Так о великих вещах помогают составить понятье 
Малые вещи, пути намечая для их достиженья. 
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье 
На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете, 
Что из нее познаешь ты материи также движенье.

В этом небольшом отрывке содержится и важный вывод, касающийся молекулярного строения материи. Однако, ясно что для изучения физики явления одного поэтического описания недостаточно. Для того чтобы открыть законы явлений, необходимо их количественное исследование. Только при этом условии наука способна предсказывать и предвычислять. Но понадобилось еще почти полторы тысячи лет, чтобы от словесного описания молекулярных явлений удалось перейти к их количественной теории. Это потребовало создания новой математической теории, которая специально занялась изучением закономерностей случайных явлений.

К построению такой теории приводили не только задачи физики и естествознания, но и очень важные для общества вопросы страхования, определения размеров пенсий и многие другие. В эпоху Возрождения возникало большое число задач, связанных с азартными играми. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода относятся к XVII столетию и связаны с именами известных ученых - алгебраиста Джероламо Кардано (1501-1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако честь открытия той числовой характеристики, которая не только дает возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимся ученым - Блезу Паскалю (1623-1662) и Пьеру Ферма. Этой характеристикой является вероятность случайного события.

Еще в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают одной особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений все яснее проявляется определенная закономерность. Так, в отдельной семье все дети могут быть мальчиками или девочками. Если же взять большой город или же целую страну, то оказывается, что соотношение между числом родившихся девочек и общим числом родившихся детей от года к году сохраняет почти постоянное значение. В моих руках сейчас данные о числе рождений в Швеции за 1935 год по месяцам. Приведем эти данные в виде таблицы.

^* (Частота - отношение числа появлений события к общему числу наблюдений.)

Из приведенных данных мы замечаем, что частота рождения девочек от месяца к месяцу меняется незначительно и колеблется вблизи от числа 0,4825 (частота рождения за год). Оказывается, что это наблюдение относится не только к Швеции, но и к другим странам. Мальчики в среднем рождаются несколько чаще, чем девочки, и на каждую тысячу рождений приходится примерно 482 девочки и 518 мальчиков. Эта закономерность была известна для европейских народов уже во второй половине XVIII века, и тогда ученые предприняли попытки проверить эту закономерность и для других континентов. Такие исследования проведены для всех стран и в разные годы. Примерная близость частот рождения девочек оказывается неизменной. Такое практическое постоянство частот называется устойчивостью частот. Огромное число наблюдений показывает, что во всех областях знания и деятельности приходится иметь дело со случайными явлениями, обладающими устойчивыми частотами.

Нужно научиться исследовать такие явления с устойчивой частотой и на базе полученных общих знаний выработать правила поведения в тех ситуациях, которые представляют особый интерес для практики, для жизни, для познания. Не можем ли мы, хотя бы в некоторых случаях, заранее предсказывать наличие устойчивых частот для случайных событий? Оказывается, что в весьма ограниченном классе случаев можем. Но этот случай интересен именно тем, что на его основе создавалось понятие случайного события, а затем постепенно распространялось на более широкие классы случайных событий. Мы также пойдем по этому пути. Он нас приведет к интересным результатам, возможности рассмотрения интересных примеров и к необходимости изложить отдел современной математики - комбинаторику. В последние годы роль комбинаторики резко выросла, и не только в связи с теорией вероятностей. Следовательно, это знакомство может оказаться полезным читателям и в других областях деятельности, далеких от теории вероятностей.

Представим себе, что мы подбрасываем идеально симметричную монету и наблюдаем результат ее падения. Либо монета упадет гербом вверх, либо монета упадет гербом вниз. При одном единственном бросании мы можем высказать не слишком содержательное утверждение: может выпасть герб, но также возможно, что выпадет решка. Однако, если бросаний много, то, не видя результатов опыта, мы можем заявить, что, хотя гербы и решки в ряде последовательных испытаний встречаются в совершенно случайном порядке, общее число выпавших гербов примерно равно общему числу выпавших решек, иными словами, частота появления герба должна быть близка к половине. Если же окажется, что частота оказалась резко отличной от половины, то станем искать причины этого явления: действительно ли правильна монета или же она имеет какой-то дефект - неоднородное расположение массы, изгиб и т. д., который и приводит к такому неожиданному результату? А, возможно, способ бросания таков, что он дает преимущество выпадения одной определенной стороне?

Рассмотрим одну историческую задачу. Рассказывают, что к Г. Галилею (иногда называют имя X. Гюйгенса) однажды явился солдат и попросил помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал ему покоя.

Выяснилось, что солдат и его товарищи в свободное время усердно играют в кости. Обычно при этом игра состоит в следующем: сразу бросаются три игральные кости, т. е. три правильные кубика, на гранях которых нанесены знаки от 1 до 6. Подбрасывание продолжается до появления в сумме 11 или 12 "очков". Какое из этих двух событий происходит чаще: сумма 11 или сумма 12?

Солдат заявил, что его немалый практический опыт показывает, что 11 появлялось несколько чаще, хотя логические рассуждения и приводят его к заключению, что эти события должны происходить одинаково часто.

Г. Галилей попросил солдата сообщить его рассуждения. Вот в чем они заключаются.

Легко убедиться в том, что как число И, так и число 12 одинаковым числом различных способов могут быть разложены на сумму трех положительных чисел, каждое из которых не больше шести. Действительно,

Галилей заявил, что в отношении разложений на слагаемые его собеседник абсолютно прав и что действительно в обоих случаях существуют лишь по шесть разложений на суммы трех положительных слагаемых. Но все дело в том, что не все встречающиеся случаи равноправны: так выпадение на всех трех костях граней со знаком "4" может произойти лишь единственным путем, тогда как выпадение двух "3" и одной "6" может случиться уже тремя различными путями. А именно, если мы пронумеруем сами кости - первая, вторая и третья, то последний случай может произойти тремя различными путями: "шестерка" выпадает на первой, второй или третьей кости. Точно так же для разложения 3 + 4 + 5 может быть уже шесть различных возможностей:

Нет нужды пояснять словесно различие написанных шести случаев.

Таким образом, если на всех костях выпали разные числа, то они могли выпасть шестью различными способами. Если же среди выпавших очков два одинаковых, а третье отлично от них, то различных, способов такого разложения может быть только три. С этих позиций разложение 11 на сумму трех целочисленных слагаемых может осуществиться не шестью, а 6 + 3 + 6 + 3 + 6 + + 3 = 27 различными способами. В то же время сумма 12 может выпасть лишь 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 различными способами.