Беседа десятая. Современная математика и стиль научного мышления

Мы остановимся теперь на том, как математика влияет на изменение самого стиля научного мышления, на изменение традиционных способов умозаключений. Рассмотрение этого вопроса представляет несомненный интерес хотя бы потому, что оно позволяет глубже проникнуть в перемены, происшедшие в современном научном мышлении, понять их причины, а также неизбежность этого явления.

Познание предмета не осуществляется вдруг, а проходит ряд последовательных ступеней. Сначала человек наблюдает за явлением и подмечает некоторые его особенности. Затем, с целью уточнения полученных сведений, наступает пора проведения эксперимента, т. е. наблюдений за интересующим нас явлением в достаточно строго соблюдаемых условиях. Одновременно происходят попытки объяснения подмеченных фактов на базе имеющихся общих представлений. Создаются основы теории этого явления. Из этой теории выводятся следствия. По совпадению полученных следствий с ходом явления судят о соответствии теории истинному положению дел.

Если теория позволяет получить сведения о фактах, которые ранее не наблюдались, а затем по указаниям теории они обнаружатся в действительности, то теория получает веское подтверждение.

Но теория может носить чисто качественный характер, в котором даже не предусмотрена сама возможность производства количественных выводов. До последнего времени к этого типа теориям относилась медицина. В значительной мере и экономика находилась на этом уровне. Педагогика также принадлежит к теориям качественного типа. Это свойственно теориям явлений очень сложных, в которых до количественных закономерностей добраться исключительно трудно и сами такие закономерности носят весьма сложный характер. Может при этом случиться, что привычный математический аппарат для их изучения еще даже не создан. Но это не значит, что не нужно делать попытки использовать количественный подход к этим сложным явлениям или хотя бы к отдельным, частным их вопросам. Количественно оформленные теории дают несравненно большие возможности для получения выводов, и притом выводов, которые можно проверить точными приемами. В качественной теории удовлетворяются выводами такого типа: "При нагревании проводов износ их изоляции увеличивается". Для практики такого типа вывод имеет лишь ограниченный интерес, поскольку для нее важно знать, как быстро растет этот износ с увеличением температуры проводов. Только знание таких количественных связей может позволить выбирать оптимальный в том или ином смысле режим.

Человечество очень давно подметило действие рычага и пользовалось им с незапамятных времен. Однако лишь количественная его теория позволила делать предварительные расчеты и предвычислять те силы, которые необходимо приложить, чтобы получить необходимый эффект. Но этот шаг в развитии наших знаний был сделан на весьма высокой стадии прогресса научной мысли.

Однако привлечение математических методов в науку неизбежно влечет за собой и необходимость привлечения самого стиля математического мышления: четкую формулировку исходных положений, полноту проводимой классификации, строгость логических заключений. Об этих моментах и пойдет теперь речь.

В математике всегда перечисляется та совокупность исходных положений, в которых решается задача. Поэтому и полученный результат, вообще говоря, верен только тогда, когда эти исходные положения выполнены. Возьмем для иллюстрации этого утверждения хорошо известную каждому из нас еще с детства теорему Пифагора о соотношении между длиной гипотенузы и длинами катетов. Эта теорема верна для всех прямоугольных треугольников евклидовой плоскости. Если же рассматривать прямоугольные треугольники на какой-либо другой поверхности, например на сфере, то теорема Пифагора, вообще говоря, будет неверна. Именно поэтому в математике требуется перечисление всех условий, в которых верен результат, и не допускается присоединение понадобившихся в процессе рассуждений дополнительных предположений. Такая скрупулезная точность в перечислении условий теорем и во всем изложении, берущая свое начало в математике еще со времен эллинизма, долгое время была присуща только ей. В других научных дисциплинах, а также в практической деятельности к этой отточенной строгости относились в лучшем случае безразлично.

Аксиоматический метод изложения, принятый в геометрии со времени древних греков, в XIX веке получил более широкое развитие. В работах итальянских геометров, а позднее в знаменитом произведении Д. Гильберта (1862-1943) "Основания геометрии" были тщательно изучены сами аксиомы Евклида. При этом оказалось, что классических аксиом далеко не достаточно для строго логического построения евклидовой геометрии, что в процессе логических рассуждений в классической геометрии при доказательстве теорем прибегают к дополнительным соображениям интуитивного характера, которые не содержатся в сформулированных аксиомах. Гильберт тщательно проанализировал исходные положения геометрии Евклида и сумел довести до конца процесс выделения исходных положений, начатый в Древней Греции.

Позднее на этот же путь четкого перечисления исходных положений теории встали алгебра, механика, теория вероятностей и ряд других областей математической мысли. При таком способе изложения всегда известно, о чем идет речь, и нет опасности привнесения соображений интуиции при правильных рассуждениях в окончательный результат, нет возможности множественности суждений об одном и том же предмете.

Эта простая мысль - рассматривать хороню определенные понятия и относительно них делать заключения, базирующиеся па определенных исходных положениях, аксиомах - в наши дни широко входит в обиход пауки и практической деятельности. Такой подход, примененный к правилам грамматики, показал, что они не обладают полнотой определения. Положение спасает привычка повседневного разговорного языка, в результате чего некоторый дефект определений не играет серьезной роли при употреблении родного языка. Однако любая попытка передать автомату конструирование фраз по определённым правилам грамматики или же перевод с одного языка на другой неизбежно приводит к ошибкам, к многочисленным возможностям неправильных оборотов речи. А такого рода общений человека с машиной в наши дни много, и у нас должна быть уверенность в том, что машины правильно воспримут указания и сделают именно то, что им задано.

В связи с первыми шагами человечества в завоевании космоса становится актуальной проблема общения человечества с другими цивилизациями, с которыми возможно придется встретиться во время космических полетов. При этом неизбежно возникнет задача общения. Ясно, что французского, английского или русского языка для этого недостаточно. Пока проблемами этого рода занимаются в первую очередь писатели-фантасты. Они предлагают решение, которое может и не осуществиться в действительности: представители других цивилизаций находятся на столь высокой ступени интеллектуального развития, что уже обладают совершенными автоматами-переводчиками, которые автоматически настраиваются на язык прибывшего к ним космонавта и ведут с ним беседу на его родном языке. Однако об этой проблеме размышляют и ученые. Они исходят из другого предположения. Если нам придется встретиться с представителями внеземных цивилизаций, то они будут владеть элементами формальной логики и обладать основами геометрических представлений. Поскольку законы мира едины, то и законы логики и первичные геометрические понятия землян и представителей внеземной цивилизации будут одинаковы.

Однако необходимость математического подхода к строгости и точности определений и логических рассуждений нужна не только для подобных, пока весьма отдаленных перспектив, но и для дел, независимо от того, касаются ли они лингвистики, юриспруденции, инженерного дела или экономики. В течение ряда лет я был довольно тесно связан с врачами, занимаясь совместными исследованиями по объективизации диагностики сердечных заболеваний. Меня поразило наличие почти что математического стиля мышления в основном коллективе врачей - сотрудников института сердечных заболеваний. Анализ состояния каждого больного проводился с поразительной логической скрупулезностью, свойственной до последнего времени лишь математическим исследованиям.

Вторая сторона математизации мышления состоит в том стремлении, которое теперь наблюдается,- выводить из строго сформулированных начальных положений логические следствия и затем эти следствия подвергать непосредственному наблюдению. При этом особую ценность приобретают те теоретические построения, которые позволяют привлечь к получению логических заключений разнообразный аппарат дедуктивной математики. При этом удается воспользоваться огромным объемом уже полученных математикой выводов. Этим пользуются в математике уже давно.

Почти два столетия назад возникла математическая физика, которая на базе основных положений, выведенных из наблюдения и опыта, получает обширные следствия математическим путем. Так развивались геометрическая и волновая оптика, так шло развитие акустики и электродинамики. В еще большей мере этот путь оправдал себя в современной физике", имеющей дело с атомными и субатомными явлениями. Математическая теория приводила к выводам, согласно которым должны существовать ранее ненаблюдавшиеся элементы материи. Эти выводы сравнивались с результатами наблюдений, и эти сравнения приводили к интересным и важным следствиям: подсчету величин массы и заряда частицы; ее взаимосвязей с ранее наблюдавшимися частицами и т. д. Иногда проходили годы, прежде чем удавалось подтвердить выводы математической теории экспериментально. Современная физика полна такими математическими предвычислениями реальных явлений, о которых не было известно ничего и которые позднее были обнаружены путем сложных экспериментов, специально продуманных на основе математической теории.

Нетрудно привести многочисленные примеры того, как математический стиль мышления приносил пользу в других областях знания - биологии, экономике, организации производства. Вспомним, для примера, что электротехника и радиотехника излагаются как математические дисциплины и используют разнообразный и весьма сложный математический аппарат. Это полностью себя оправдывает, поскольку позволяет производить своевременно расчеты, прогнозировать течение процессов, получать возможность управления процессами.

Мы говорили о том, что качество любой теории реальных явлений проверяется практикой и постановкой соответствующим образом организованных экспериментов. Однако математика вмешалась и в вопросы организация самого эксперимента: как следует организовать наблюдения, чтобы извлечь при том же количестве испытаний максимум информации? Эта проблема исключительно важна, поскольку на испытания в промышленности, на эксперимент в научных лабораториях и конструкторских бюро затрачиваются теперь огромные материальные средства и человеческие усилия.

Сейчас уже созданы основы математической теории эксперимента, которая позволяет значительно сокращать число необходимых наблюдений, их стоимость и длительность для получения обоснованных выводов. Порой этот выигрыш весьма велик - в десятки раз (по стоимости и затраченным усилиям). Основная идея, которая при этом используется, состоит в том, чтобы учитывать результат предшествующих испытаний и производить каждое последующее испытание так, чтобы оно уточняло уже полученные сведения.

Появление ЭВМ изменило отношение людей к возможностям математики при решении жизненных вопросов. Оказалось, что на машины можно переложить не только производство громоздких вычислительных работ, но и осуществление логических выводов. Но для того, чтобы это стало возможным, требуется предварительно составить логико-математическую модель явления или процесса, выявить связи и имеющиеся количественные соотношения. Иными словами, нужно подвергнуть процесс предварительному математическому и логическому анализу. Перед человечеством открылся новый, очень мощный метод исследования, нашедший почти немедленно широчайшее применение в самых разнообразных областях знания как в науке, так и в непосредственной практике. В результате множество лиц, ранее скептически относившихся к возможностям математики, стали приверженцами ее использования и с увлечением стали применять математический стиль мышления, математические методы к интересующим их проблемам.

Наличие математических машин к тому же позволяет в фантастически короткие сроки осуществлять грандиозные вычисления, еще совсем недавно недоступные прежним средствам вычислительной техники. Трудности вычислений переместились в вопросы создания соответствующих языков программирования, в составление программ вычислений, в создание приемов автоматического выбора нужной программы самой машиной, разработки теории ошибок массовых вычислений и т. д. Математика же и математики освободились от необходимости производства многочисленных элементарных чисто технических операций.

Но одновременно на специалистов легла более сложная и интересная совокупность работ: составление моделей, разработка приемов общения человека с машиной, изучение возможности автоматического сбора экспериментальных данных и их обработки и т. д. Весьма существенно обогатилась проблематика математических исследований. Так изменение стиля научного мышления в сторону его математизации заставило прогрессировать саму математику, значительно расширять арсенал ее орудий и методов исследования разнообразных явлений окружающего пас мира.

Нет сомнений, что математика и математический стиль мышления совершают сейчас триумфальный марш как в науке, так и в ее применениях. Учащиеся, студенты должны в какой-то мере почувствовать это и относиться к математике с большим интересом, увлечением и пониманием необходимости математических знаний как для будущей их деятельности, так и для жизни человеческого общества.