Беседа восьмая. Причины познавательной мощи математики

Теперь естественно спросить себя, в чем же познавательная сила математики? Как наука, непосредственно не связанная с определенными явлениями природы или же техническими процессами, с большим успехом используется ими и даже превращается в один из основных методов исследования? Чем, наконец, объясняется то, что в различные исторические эпохи для совершенно различных задач практики математические методы оказывались полезными, внося определенность и точность в весьма запутанные ситуации и помогая процессу познания?

Частично на эти вопросы дает ответ содержание предыдущих бесед. Однако вопросы настолько важны, что они заслуживают более подробного и систематического обсуждения.

Прежде всего заметим, что развитие математики всегда было тесно связано с запросами практики, которые волновали общество в разные эпохи его существования. Нередко новые задачи практики не укладывались в уже разработанные схемы и методы решения. Более того, нередко в математике даже отсутствовали понятия, на языке которых можно было бы достаточно удовлетворительно описать изучаемые явления. При этом математика интересовали лишь немногочисленные моменты: количественные изменения, связанные с протеканием данного явления; пространственные формы; логические связи между явлениями и их характеристиками.

Решая какую-нибудь задачу естествознания или практики, математик вынужден отвлекаться от массы деталей, свойственных данному явлению, и сосредоточивать свое внимание лишь на некоторых определяющих его особенностях. Так, при изучении движения планет Солнечной системы его в первую очередь интересует указание их положения на небесном своде для того или иного момента времени, влияние Солнца и других планет на характер движения данной планеты, оценка сил взаимодействия между небесными телами и т. п. Мы строим модель Солнечной системы и в рамках этой модели изучаем интересующие нас вопросы. Но каждая модель несет в себе неизбежное абстрагирование от истинной картины явления и подмену его изучения изучением модели. Соответственно и математические понятия создаются под определенные модели реальных явлений. Для примера, понятие целого положительного числа не появилось само по себе, а вначале моделировало количественную сторону определенного набора предметов, раковин, бус, коров, хижин и т. д. Недаром на первой стадии развития искусства счета еще не существовало наименования самих чисел, а числа употреблялись обязательно в связи с самими перечисляемыми предметами. Филологи утверждают, что в ряде африканских языков для обозначения двух хижин и двух коров используются различные слова.

Постепенно выясняется, что введенное понятие полезно не только в данной частной задаче, но также и в ряде других, быть может, отличных по своему физическому характеру от первоначальной. Оно приобретает большее значение и ему начинают уделять повышенное внимание. С простейшими алгебраическими уравнениями встретились очень давно. Во всяком случае, в Древнем Вавилоне умели решать задачи на составление двух и трех уравнений первой степени с двумя и тремя неизвестными. Потребовалось все же много сотен лет, прежде чем была создана теория их решения, позволившая избавиться от необходимости много раз повторять одни и те же рассуждения. Потребность в одном и том же математическом аппарате при решении различных по физическому существу задач объясняется очень просто тем, что часто при резком качественном различии явлений количественные соотношения между их характеристиками оказываются одинаковыми или почти одинаковыми.

Здесь уместно сделать одно замечание. Человечество в познании окружающего его мира идет постепенно, прибавляя к уже накопленным знаниям порцию за порцией новые сведения. Каждое явление не познается сразу во всей его сложности; познание идет отдельными ступенями, отдельными этапами и каждому последующему этапу познания есть что добавить к известному, уточнить ранее приобретенные знания. Это приводит к тому, что математические приемы и представления, вполне достаточные на определенном этапе познания явления, могут оказаться и, как правило, действительно оказываются недостаточными на новых этапах его изучения.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. В конце прошлого века был изобретен самолет и возникла естественная задача изучения его движения в полете. Какие силы при этом действуют на самолет, откуда берется подъемная сила и как ее вычислить, как зависит скорость полета от формы крыльев и фюзеляжа? Эти и сотни других вопросов возникли уже на заре самолетостроения. Они были вызваны самой жизнью и появились не только в результате стремления к познанию неведомого, но также из повседневной необходимости, связанной с заботами о сохранении жизни летчика, с возможностью заранее предвычислять несущую способность самолета и его поведение в воздухе в зависимости от действия разнообразных сил, с которыми приходится считаться в полете. Возникла потребность построения теории полета аппаратов тяжелее воздуха, которая позволяла бы предвычислять их поведение в полете, до полета и в процессе конструирования.

Привычные пути решения задач механики, разработанные великими учеными прошлого - Ньютоном, Лагранжем (1736-1813), Эйлером, Лапласом и др.,- были недостаточны; нужно было искать новые пути, новые подходы. Эта проблема увлекла многих ученых, в том числе Н. Е. Жуковского (1847-1921), от работ которого ведет свое начало современная аэродинамика. Вскоре появился ряд результатов, исходивших из предположения, что воздух является несжимаемой жидкостью. Опыт показывал, что это предположение при достигнутых скоростях вполне удовлетворительно. Само собой разумеется, что исследователи отдавали себе ясный отчет в том, что воздух является далеко не идеальной жидкостью и что, в частности, он сжимаем. Однако специально организованные эксперименты и наблюдения показали, что при скоростях самолета в пределах 200-300 километров в час сжимаемость воздуха несущественна и ею можно пренебречь. По мере того, как скорость полета возрастала, гипотеза идеальной жидкости уже переставала удовлетворять практику и старая теория приходила в противоречие с истинным положением дел. Возникла необходимость отказаться от старых предпосылок и строить новую аэродинамику, которая исходила бы из изучения реальной сжимаемой жидкости. Естественно, что при этом пришлось существенно обновить используемый математический аппарат. Но на этом прогресс аэродинамики не остановился, и переход скоростей через так называемый звуковой барьер потребовал нового совершенствования теории и новых математических средств исследования. При этом выиграли все - практика самолетостроения, аэродинамика, математика, многомиллионная армия пассажиров. Разработанные теперь методы аэродинамики и математики позволяют заранее просчитывать многие варианты конструкций и до всякого эксперимента, до постройки самолета и даже его модели заранее отбросить ряд предложений. Так выиграла практика самолетостроения. Аэродинамика, возмужавшая на ответственных задачах самолетостроения, обзавелась такими сильными методами, которые позволяют решать многочисленные задачи, не только связанные с авиацией, но и далеко выходящие за пределы этой области знаний. В частности, появилась возможность производить расчеты космических ракет и управления их полетом. Математика была подведена к постановке ряда новых для нее вопросов, которые не скоро появились бы перед учеными, если бы не воздействие вопросов аэродинамики.

Теперь мы в состоянии подвести некоторые итоги и ответить на стоящий перед нами вопрос: в чем же состоит причина познавательной силы математики? Чем вызывается то, что математика по мере своего развития, по мере того как она становится все более абстрактной и общей, приобретает новые возможности познания окружающего нас мира?

Причин этого много. На первом месте следует указать, что математическое абстрагирование производится не произвольно, а на базе уже приобретенных знаний и ранее созданных понятий, на базе тех требований, которые предъявляла практика в прошлом. Новые, более общие понятия строятся так, чтобы старые, уже оправдавшие себя, вошли в них в качестве естественных простых частных случаев и чтобы вдобавок охватить то, что старые понятия не могли включить в себя, но в чем уже возникала настоятельная необходимость. Таким образом, математические теории, становясь более общими, не теряют и тех объектов исследования, которые изучались ими ранее. Вспомним, как на протяжении истории изменялось содержание понятия числа: целые числа в пределах нескольких единиц, в пределах десятков и сотен, весь натуральный ряд, рациональные дроби, простейшие иррациональности, все множество действительных чисел, комплексные числа. При таком положении дел понятия математики становятся более гибкими, способными охватить более широкий круг объектов. Математические же теории приобретают значительно большие возможности для приложений, поскольку значительно больший круг объектов попадает под действие обобщенных правил, разработанных математической теорией. От чисел математика позднее перешла к рассмотрению групп, от трехмерного пространства - к рассмотрению произвольных метрических и топологических пространств.

Во-вторых, следует отметить, что каждый раз, когда математические средства оказываются недостаточными для изучения явлений, интересующих практику, наука ищет, и рано или поздно находит новые средства, которые способны лучше, полнее и точнее описать свойства и особенности изучаемых явлений. В результате математика и ее технический аппарат не остаются на месте, а непрерывно подвергаются процессу совершенствования, обогащения и обновления. И в этом процессе практика играет значительную, если не сказать решающую, роль. Вспомним на минуту замечательный период создания основ математической физики, начавшийся в первой половине XVIII века. Тогда Д. Бернулли (1700-1782) заложил основы математической гидродинамики, Л. Эйлер построил теорию движения твердого тела. Позднее в руках Ж. Фурье (1768-1830) начала жить математическая теория теплоты, а О. Коши создал основы теории упругости. Привычных средств математического исследования оказалось недостаточно и сами эти попытки построения математической физики создали базу для крайне быстрого развития теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Недаром их называют теперь не иначе как уравнениями математической физики. Наше время, с его стремительным прогрессом физики, показало, что первоначальных математических средств исследования для описания и изучения физических процессов уже недостаточно. Возникла срочная необходимость разработать новые приемы, которые отражали бы возросшие потребности, позволили бы анализировать явления глубже и полнее. Математике пришлось развить новые свои ветви, которые были вызваны к жизни в первую очередь требованиями физики и зародились в ее недрах.

В-третьих, отметим, что и те ветви математики, которые возникли не в результате требований практики, а в силу внутренних потребностей самой математики, не остаются изолированными от задач практики. Прежде, всего та математическая база, на которой основан чисто теоретический прогресс математики, ее обобщения, уже содержит в себе требования практики прежних времен. А те ученые, которые сосредоточивают свои усилия на чисто теоретических исследованиях, отражают в научных построениях и исследуемых задачах идеалы века, нужды новейших требований общественной практики. Более того, те области математики, те направления математической мысли, которые совсем не находят теоретических или практических применений, как правило, теряют к себе интерес исследователей и постепенно отмирают.

Математика постоянно оттачивает свои методы исследования и увеличивает разнообразие предлагаемых ей подходов. В математике далеко не всегда имеется готовый арсенал средств для изучения новых явлений или же для углубленного исследования ранее рассматривавшихся. Зачастую математические средства исследования приходится создавать заново, специально приспосабливая их к возникшим ситуациям. Но раз созданные орудия математического исследования дальнейшим прогрессом науки не отвергаются, а включаются во вновь создаваемые в качестве составных элементов. Вместе с ростом математики вширь происходит и другой процесс - углубленного анализа уже накопленных в ней ценностей. Это процесс ее внутренней перестройки. Нередко оказывается, что новые области математики, возникшие в результате ее внутреннего развития, получают значительные применения.

В этом нет ничего удивительного,, поскольку основа математики и ее понятий лежит в практике и последующее ее развитие постоянно корректируется нуждами практики. Именно в этом и заключена сила математики.