Беседа седьмая. Математика - язык науки

Впервые четко и ясно о математике как языке науки сказал великий естествоиспытатель прошлого Галилео Галилей почти четыреста лет назад: "Философия написана в грандиозной книге, которая открыта всегда для всех и каждого,- я говорю о природе. Но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее - математические формулы". Несомненно, что с тех пор наука добилась огромных успехов, а роль математики в познании неизмеримо возросла. Многие успехи техники, экономики, естествознания, организации производства без широкого использования математики и ее методов были бы просто невозможны. Недаром один из крупнейших физиков современности В. Гейзенберг так охарактеризовал место математики в современной теоретической физике: "...первичным языком, который вырабатывают в процессе научного усвоения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов"^*.

^* (В. Гейзенберг. Физика и философия. М., Изд-во иностр. лит., 1963, с. 140-141.)

Для общения и для выражения своих мыслей люди создали величайшее средство - живой разговорный язык и письменную его запись. Язык на протяжении времен не оставался неизменным - он приспосабливался к условиям жизни, обогащался словарным запасом, вырабатывал новые средства для выражения тончайших оттенков мысли и человеческих эмоций. И тем не менее, несмотря па всю свою гибкость и многогранность, в ряде случаев он оказывается недостаточным и более того - неудовлетворительным средством общения. В различных областях деятельности поэтому вырабатываются как бы свои собственные языки, специально приспособленные для точного и краткого выражения мыслей, системы действий, правил поведения, свойственных определенным видам человеческой деятельности. Приведем пример.

При выдаче рабочего задания на изготовление того или иного изделия техники никогда не ограничиваются только словесным описанием. Для уточнения размеров, формы и иных особенностей изделия необходим в первую очередь чертеж. В какой-то мере чертеж является тем своеобразным языком, который приспособлен для передачи информации, сообщаемой исполнителю конструктором. Чертеж не допускает разночтений и позволяет в наглядной форме передать большое количество сведений, необходимых для успешного выполнения работы. Эта форма общения несравненно удобнее и экономнее обычной словесной, поскольку словесное описание даже не очень сложного конструкторского задания было бы настолько громоздким, что в нем мог бы запутаться сам автор. У этого способа передачи информации имеется еще одно несомненное преимущество: его без труда прочтет любой специалист, даже не владеющий языком конструктора.

В науке особенно важна ясность и точность выражения мыслей. Язык науки не должен создавать дополнительных трудностей для восприятия сообщаемой информации, он должен однозначно и без потерь доносить до партнеров идеи и факты, не допускать искажений и возможности дополнительных толкований. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено при передаче или в процессе рассуждений. Необходимо также предусмотреть все мыслимые исходы и не пропустить каких-либо других, кролю рассмотренных, возможностей. Научное изложение должно быть кратким и вполне определенным. Именно поэтому наука обязана разрабатывать собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Вспомним, как четок и лаконичен язык химических формул. Он позволяет химикам не только записывать ход химических реакций, но предвидеть свойства химических соединений. Однако этот язык, несмотря на всю его важность, не распространяется на другие области знания. В этом отношении язык математики обладает несравненно большей универсальностью. Об этом прекрасно было сказано известным физиком Луи де Бройлем: "... где можно успешно применить математический подход к проблемам, наука вынуждена пользоваться особым языком, символическим языком, своего рода стенографией абстрактной мысли, формулы которой, когда они правильно записаны, по-видимому, не оставляют места ни для какой-либо неопределенности, ни для какого-либо неточного истолкования"^*.

^* (Луи де Бройль. По тропам науки. М., Изд-во лит., 1962, с, 326.)

Сказанное, естественно, относится не только к области научных исследований. В одинаковой мере оно относится и к многочисленным прикладным областям деятельности. Недаром в последние годы возник ряд ветвей прикладных математических исследований, которые позволяют в строгой и точной форме передать требования практики и получить возможность формулировки и решения насущных ее задач. Так появилась полезная ветвь математических исследований, получившая название сетевого планирования, специально приспособленная к исследованию вопросов, связанных с выявлением оптимального распределения работ. Огромное развитие испытала комплексная теория, получившая наименование исследования операций. Она позволила формализовать постановку важных проблем, связанных с изучением так называемых больших систем, с которыми имеет дело экономика, транспорт, связь, производство, все народное хозяйство в целом.

Заметим вдобавок, что математическая символика не только не оставляет места для неточности выражения мысли и расплывчатого истолкования написанного, но она позволяет автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов. Для пояснения рассмотрим следующий простой пример. В геодезии, при расчете конструкций, в экономике, физике возникает необходимость в решении систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. С помощью привычной алгебраической символики необходимые действия производятся по определенным правилам и, если уравнений немного, то они осуществляются без каких бы то ни было трудностей. Более того, нет нужды каждый раз проводить при решении задач какие-то специальные рассуждения - они выполнены для всех подобных систем раз и навсегда. Применение набора стандартных правил позволяет без принципиальных затруднений довести решение каждой такой задачи до конца.

Представим, что мы лишены языка математических символов и в нашем распоряжении имеется лишь обычный разговорный язык. В таком положении находятся, например, все те, кто должен решать алгебраические задачи арифметическим способом, При этом немедленно возникают ненужные осложнения. Каждая задача становится особой проблемой, для которой нужно разрабатывать специальную систему рассуждений. Самый простой вопрос при этом уже требует значительного умственного напряжения. Вспомним, как просто решаются сложные арифметические задачи алгебраическими методами, когда для этого используется простейшая алгебраическая символика, и как сложно их решать арифметическим путем. А ведь мы рассмотрели лишь самую простую задачу, с которой приходится сталкиваться постоянно и в теории, и в практической деятельности.

Приведем еще один пример. Из школьной жизни мы знаем, какие значительные трудности возникают при вычислении площадей плоских фигур и поверхностей пространственных тел, а также объемов даже простейших тел методами элементарной геометрии. Интегральное исчисление с присущим ему широким использованием аналитической геометрии полностью снимает все эти трудности и позволяет по определенным несложным правилам почти автоматически производить необходимые вычисления. Для этого уже не требуется проявления творческой инициативы и изобретательности.

Математическая символика позволяет сжимать запись информации, делать ее легко обозримой и доступной для последующей обработки. Это относится ко всей математике, ко всем ее разделам. Для примера, обширные статистические сведения удается посредством таблицы и аппроксимирующих распределений сжать в одну строку или в короткую табличку.

В последние годы появилась новая линия в развитии формальных языков, связанная с вычислительной техникой и использованием электронных вычислительных машин для управления производственными процессами, информационными системами, линиями связи, а также для решения экономических и организационных задач. Необходимо общение с машиной, необходимо предоставить ей возможность в каждый момент самостоятельно выбирать правильное в данных условиях действие. Но машина не понимает человеческую речь, с ней нужно проводить диалог на доступном ей языке, который не должен допускать разночтений, неопределенности, недостаточности или же чрезмерной избыточности сообщаемой информации. В настоящее время разработан ряд формальных языков, посредством которых машина воспринимает поставляемую ей информацию и действует с учетом создавшейся обстановки. Понятно, что при этом сам процесс управления производится посредством не только формальных языков, по и на базе разработанной математической модели самого явления. Оба эти момента и делают электронные вычислительные машины гибким средством при выполнении как сложнейших вычислительных работ, так и последовательности логических операций.

Естественно теперь спросить себя: не приведут ли использование формализованных языков и математизация науки к отмиранию обычного языка в научных исследованиях и в практическом общении людей. Ответ должен быть дан отрицательный, поскольку как формальные языки, так и наш повседневный язык обладают лишь ограниченными возможностями. У каждого из них имеются свои сильные и слабые стороны. В результате любая область деятельности вынуждена использовать как символический, так и обычный разговорный язык. К получению логических следствий из первичных предпосылок прекрасно приспособлен язык формул. Но он не может нас вывести за пределы уже сложившихся понятий и представлений. На математическом языке нет возможности проводить далеко идущие неформальные аналогии или неожиданные индуктивные выводы, он не приспособлен к выражению эмоций. Так его сила превращается в какой-то мере в слабость. И здесь ему на помощь приходит обычный, неформализованный язык с его неисчерпаемым богатством оттенков и возможностей. Об этом прекрасно сказал Луи де Бройль: "Символический язык с его суховатой точностью не дает научной мысли все те выразительные средства, которые ей необходимы, и поэтому даже в работах, почти целиком состоящих из математических формул, текст, написанный обычным языком, сохраняет всю свою важность и позволяет прослеживать во всех ее тонкостях мысль автора и понять истинное значение полученных им результатов.

Почему это так? Не следует ли думать, что, по крайней мере в некоторых областях, математического языка со всей его прозрачной ясностью должно хватить для передачи мысли ученого, всегда жаждущего точности? Причины этого очевидного парадокса глубоки, и на эту тему можно было бы говорить очень долго. Мы коснемся лишь двух сторон этого вопроса. Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является так же его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может больше выйти... В силу своей строгой дедуктивности математический язык позволяет детально описать уже полученные интеллектуальные ценности; но он не позволяет получить что-либо новое. Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные представления являются источниками великого прогресса науки. Лишь обычный язык, поскольку он более гибок, более богат оттенками и более емок, при всей своей относительной неточности по сравнению со строгим символическим языком, позволяет формулировать истинно новые идеи и оправдывать их введение путем наводящих соображений или аналогий"^*.

^* (Луи де Бройль. По тропам науки. М., Изд-во иностр. лит., 1962, с. 326-327.)

Хорошо известно, что научное творчество состоит не только и не столько в формальных выводах, сколько в поиске объекта исследования, предвидении важности вытекаемых из него следствий, поисках метода исследования, формулировке ожидаемых результатов, построении модели явления. Понятно, что при таком разнообразии задач, стоящих перед исследователем, он должен использовать все богатство имеющихся в его распоряжении средств получения и переработки получаемой информации. При таком подходе к делу одним лишь формальным языком обойтись уже невозможно и необходимо широко привлекать как обычный неформализованный язык, так и пашу интуицию с их способностями к далеко идущим аналогиям. Нам еще недостаточно ясен процесс творчества. Мы не знаем, каким языком мы пользуемся в процессе познания. Обычным же языком и формализованными языками мы пользуемся скорее только для изложения идей и результатов, методов их получения и истолкования, чем для творческого акта.

Теперь, в связи с введением в школьную программу элементов программирования, особое значение приобретает символический язык, в том числе и язык математических символов.