Беседа четвертая. Математизация знаний

Астрономы и физики раньше представителей других наук пришли к убеждению, что математические методы необходимы для них не только в качестве средства вычислений, но и в качестве одного из основных путей проникновения в сущность изучаемых ими закономерностей. Инженерные науки также широко использовали математические средства для предварительного расчета конструкций. Об очень высокой оценке возможностей математики для практики прекрасно сказано в одном из древнерусских пособий по артиллерии: "Начальное, во-первых, орудие еже пушкарю подобает при себе иметь - есть циркуль"^*. Этой фразой подчеркивается значение геометрии и математических знаний вообще для артиллерии, для задачи наводки орудий на цель, для определения расстояния до цели.

^* (Цит. по кн.: А. Платов, Л. Кирпичев. Исторический очерк образования развития артиллерийского училища. Спб, 1870, с. 1.)

Тщательные наблюдения показывают, что при современных скоростях технологических процессов (химических, бумагоделательных, проката металлов и т. д.) человеческая психика уже неспособна своевременно принимать решение о дальнейшем течении технологического процесса или на основе полученной информации осуществлять необходимое управление им. В результате управление всегда запаздывает, а зачастую оказывается даже ошибочным, поскольку мысль оператора не успела не только принять необходимое решение, но даже уследить за происшедшими изменениями. А такое опоздание приносит огромные материальные убытки, поскольку уменьшается производительность оборудования и ухудшается качество изготовляемой продукции. Так, к примеру, выяснилось, что при ручном управлении производством бумаги приблизительно только 10% времени человек способен удержать производство вблизи оптимального уровня. Остальные же 90% времени процесс далек от наилучшего своего протекания, и в результате качество продукции становится нестабильным и производительность оборудования падает.

В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. Многие области науки и практической деятельности, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств исследования, теперь стремятся наверстать упущенное. Причина этого заключается не в быстро преходящей моде, а в том, что чисто качественное изучение явлений природы, экономики, организации производства, врачебного дела зачастую оказывается недостаточным. Как можно, для примера, автоматизировать выплавку стали или крекинг нефти без знания точных количественных закономерностей, свойственных этим процессам? Как можно заставить рационально работать систему телефонной связи, если предварительно не изучить ни количественных закономерностей поступления требований от абонентов, ни распределения длительностей обслуживания этих требований линиями связи? Вот почему автоматизация технологических процессов неизбежно приводит к использованию математики и заставляет в свою очередь математику обращать внимание на решение новых вопросов и на разработку новых методов исследования.

Хорошо известно, что наши знания не только становятся обширнее, но и глубже, точнее. Многое из того, что было исследовано раньше и для своего времени казалось исчерпывающе познанным, в наши дни требует новых усилий с целью приведения принятых представлений в соответствие с требованиями практики и нашего стремления к познанию тех закономерностей, которыми управляются интересующие нас явления. Особенно повысились требования к поиску закономерностей, которые получили бы точное количественное выражение. К этому принуждает сама жизнь, вечно развивающаяся практическая деятельность.

Со все большей остротой возникает необходимость передачи управления скоростными производственными процессами автоматам. Но автоматическое устройство само по себе не в состоянии решать логические задачи и на основе сведений о состоянии технологического процесса делать заключение о том, как его продолжать, какие изменения необходимо вносить в управляющие параметры - температуру, химический состав, скорость и пр. Автомат не понимает указаний качественного характера - делай лучше, обрабатывай точнее. Ему требуются строгие количественные приказы типа: если температура процесса такова, химический состав сырья такой-то, то скорость процесса должна иметь определенное значение; а если температура превзошла некоторый предел t₀, то требуется немедленно уменьшить нагрев смеси. Но для этого необходимо предварительно разработать количественную теорию процесса, которым управляют, и затем на основе этой теории разработать программу действия управляющего автомата. Так неизбежно прогресс в области техники вызывает необходимость привлечения математики для решения насущных производственных задач. А таких задач возникает множество.

До того как возникла задача управления производством, была рассмотрена и в значительной мере решена важная проблема автоматического управления полетом самолета. Ею начали всерьез заниматься уже в тридцатые годы, и без удовлетворительных подходов к ее решению не могло быть и речи об осуществлении сверхдальних перелетов. Построение теории управления каждым отдельным процессом не могло продолжаться слишком долго, поскольку такой подход не слишком рационален и заставляет много раз возвращаться к поиску ответов на примерно одни и те же вопросы. Появилась естественная необходимость построения общей теории управления процессами, и притом не какого-нибудь управления, а самого лучшего в том или другом смысле, т. е. оптимального управления. Такая математическая задача со всей остротой возникла в середине нашего столетия и привлекла внимание многих выдающихся математиков во всех развитых в научном отношении странах. Принципиальные успехи были достигнуты в СССР Л. С. Понтрягиным (род. в 1908) и его учениками, а в США Р. Белмаиом и его сотрудниками. Разработанные ими подходы привели к превосходным математическим теориям - динамическому программированию и теории оптимального управления. Родившись из задач инженерного дела, экономики, связи и других практических запросов, эти математические теории немедленно привели к многочисленным практическим применениям, в значительной мере - повлиявшим на ускорение технического прогресса.

Роль математики для развития других наук и практики невозможно установить сразу на все времена. Изменяются вопросы, которые требуют разрешения, характер решаемых задач, а также форма необходимого ответа. Математическое изучение явления неизбежно упрощает его. По мере уточнения наших знаний и выяснения роли ранее неучтенных факторов удается математическое описание процесса сделать более полным и точным. Процесс такого рода уточнений нельзя прервать, как нельзя ограничить развитие самого знания.

Смысл математизации знаний состоит не в том, чтобы все познание свести к чисто вычислительным или логическим операциям и не оставить места ни эксперименту, ни наблюдению. Такая программа завела бы познание в тупик. Цели математизации более реальны и плодотворны. Их смысл можно высказать, пожалуй, таким образом: из точно сформулированных предпосылок выводить логические следствия, в том числе и такие, которые могут быть непосредственно наблюдаемы; сделать доступными логическому и количественному анализу сложные и запутанные процессы, на которые наслаивается, как правило, множество второстепенных влияний; посредством математического анализа не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности; получить реальную возможность прогнозировать течение явлений, добиваясь не только качественного, но и количественного согласия с реальным их протеканием.

Если эти предсказания оправдываются, то теория укрепляет свое положение и накапливает дополнительные выводы. Однако рано или поздно, поскольку математическая теория реальных явлений всегда приближенна, обязательно наступит момент, когда какое-то следствие теории не подтвердится практикой или экспериментом или какой-то опытный факт останется необъясним теорией. Это будет означать, что теория пришла в противоречие с действительностью, что она уже оказывается недостаточной. Необходим в этом случае пересмотр исходных предпосылок теории, изменение тех фундаментальных положений, которые ранее казались не вызывающими сомнений, незыблемыми. Основанная на таком пересмотре новая теория должна быть способна проникать в суть изучаемых явлений глубже, чем предшествующая и, возможно, объяснить попутно и ряд других явлений, которые ранее лежали вне компетенции старой теории.

Математизация" наших знаний состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы создавать тот специфический математический подход, а вместе с ним и формальный аппарат, который позволил бы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности. Так случилось в период, когда изучение движения стало насущной необходимостью. Именно тогда Ньютон и Лейбниц создали основы математического анализа, который до сих пор служит в качестве одного из основных орудий разнообразных применений математики.

Прежде чем практическая задача становится объектом математического исследования, она должна пройти длительный путь. Для этого прежде всего нужно точно сформулировать, какую задачу ставит перед собой исследователь. Попытаемся придать этому требованию более определенный смысл на примере управления. В последние годы ряд педагогов, увлеченных заманчивой идеей оптимального управления, неоднократно высказывали мысль о том, что процесс обучения должен быть построен так, чтобы преподаватель мог им управлять наилучшим образом. Несомненно, что это прекрасно, но, спрашивается, как это требование сделать предметом целенаправленной работы, какой точный смысл следует придать этому пока еще расплывчатому пожеланию? Ведь можно добиваться того, чтобы лучшие учащиеся класса продвигались в познании программы возможно быстрее. Но можно добиваться и того, чтобы все школьники усвоили программный материал в установленные сроки с полным пониманием дела, но, быть может, путем пренебрежения интересами небольшого числа лучших учащихся? Но можно предложить и другие критерии для оценки качества управления. Какой же путь управления процессом познания избрать и считать наилучшим? На мой взгляд, в этом примере далеко еще не все подготовлено к тому, чтобы появилась сама возможность использовать математические средства исследования. Эта проблема важна, но она требует прежде всего уточнения самой постановки. Но имеется также и ряд других трудностей; связанных с индивидуальными особенностями учащихся и учителей, отсутствием средств точной оценки качества обучения, а также учета психологической атмосферы в классе.

С такого типа трудностями приходится сталкиваться постоянно, а особенно там, где имеют дело с психикой людей, их интересами. Однако некоторые из этих трудностей встречаются даже при управлении системами механизмов. Так, скажем, при запуске космической станции на Марс или Венеру можно ставить задачу достижения нужной нам планеты а) в кратчайший срок или б) с минимальной затратой горючего. Различие целей приводит, вообще говоря, к необходимости использовать различные управления.

Для каждого процесса можно предложить не одно единственное, но бесконечно много различных управлений. Естественно, что желательно выбрать лучшее из них в определенном смысле или, как принято говорить, оптимальное управление. Как это сделать? Путь опробования одного за другим не приведет к цели, поскольку этот путь весьма долог и не приносит уверенности в том, что он приводит действительно к оптимальному управлению. Остается единственная возможность - построить математическую теорию и разыскать искомое решение, использовав соответствующий математический формализм.

Чтобы управлять, нужно опираться на определенный запас сведений о течении процесса и о состоянии определяющих его параметров в каждый из интересующих нас моментов времени. Но какую информацию и сколько следует при этом ее собирать и как рационально использовать? Вдобавок, как оценить количество собранной информации? Эти вопросы возникли в науке и послужили основой создания большой и содержательной теории, получившей название теории информации. Как всегда, теория возникает не вдруг, не сразу, а нуждается в определенном периоде для своего становления и возмужания. Необходимость в передаче сведений появилась у человечества еще очень давно, и в глубокой древности были придуманы для этой цели, помимо устной и письменной речи, многочисленные способы - световые и звуковые сигналы, разного типа шифры и знаки. Однако все это еще не приводило к необходимости создания специальной теории. Потребовались десятилетня использования телеграфной и телефонной связи, чтобы возникли вопросы о пропускной способности сетей связи, о выяснении количества информации, которое несет то или другое сообщение, о том, какие его элементы излишни и носят скорее паразитический, чем деловой характер. Значительный шаг в построении системы понятий, получении первых фундаментальных результатов, в постановке ряда новых вопросов был сделан в начале сороковых годов выдающимся американским исследователем Клодом Шенноном. С тех пор эта теория получила значительное и многостороннее развитие как в плане математических исследований, так и в плане серьезных применений в различных областях знания (в том числе и в ряде областей математики - математической статистике, теории функций и т. д.).

Уместно сказать, что понятие количества информации, введенное так, что оно применимо ко всем без исключения приемам передачи, явилось настоящим откровением. Шеннон сделал как раз тот шаг, в котором так нуждались как сама наука, так и многочисленные области практической деятельности. Появилась возможность сравнения различных методов кодирования передаваемой информации и тем самым выбора наилучшего из них в том или ином смысле. Для примера, удалось установить, что принятые в телеграфии способы кодирования букв алфавита в виде системы точек и тире можно несколько улучшить, если использовать статистические особенности языка и частоту использования в нем различных звуков (букв). Удалось дать сравнительную оценку возможностей разных органов чувств для восприятия информации.

Теория информации, будучи результатом научного и технического прогресса, сама дает дополнительный толчок этому прогрессу, обнаруживая те стороны нашего знания, которые нуждаются в совершенствовании, и обеспечивая этому новые возможности.

Развитие телефонной связи в начале нашего века привело сотрудника копенгагенской телефонной станции К. Эрланга к постановке ряда своеобразных задач, ранее не возникавших в науке. Речь шла о том, чтобы научиться заранее рассчитывать пропускную способность телефонных станций и сетей, не допуская возможности длительных задержек соединения абонента с нужным ему номером. Трудности, которые при этом возникают, хорошо известны - вызовы от абонентов поступают в случайные моменты времени, длительность начавшегося разговора неизвестна и может изменяться в зависимости от случая в весьма широких пределах. Попытки производить расчеты, основываясь лишь на средних значениях длительностей разговоров и расстояний между последовательными поступлениями требований (вызовов), не приводили к удовлетворительным результатам. Влияние случайного разброса значений этих величин оказывалось решающим фактором. Без учета влияния этой, так сказать, двойной случайности разумного решения найти невозможно. Выход из такого положения удалось найти как раз К. Эрлангу. Тем самым он стал основателем нового научного направления в теории связи и в математике, поскольку его исследования повлияли на возникновение теории случайных процессов. Начатые им научные разработки получали многочисленные названия: теория скученности, теория линий ожидания (во Франции), теория очередей (в Англии и США), теории массового обслуживания (в СССР).

Прошло лишь несколько лет после первых работ Эрланга, как оказалось, что аналогичные вопросы появились в задачах организации производства, в инженерном деле, в естествознании. Тем самым было подтверждено, что Эрлангу удалось напасть на задачи не только узкоприкладного значения, но и весьма общие. Отсюда следовало, что они заслуживают всестороннего теоретического и экспериментального развития. И действительно, в наши дни вопросами теории массового обслуживания занимается большое число математиков, экономистов, организаторов производства, специалистов по теории связи. При этом поддерживается, как правило, самый тесный контакт между представителями прикладных направлений мысли и математиками. Этим достигается возможность почти мгновенной корректировки поставленных задач математического характера и прикладных рекомендаций. Теория тесно увязывается с практикой.

Остановимся на некоторых из вновь возникших задач. В тридцатые годы, в связи с появлением автоматизированных станков и механизмов, появилась возможность поручать рабочему обслуживание вместо одного нескольких станков. Это позволяло рациональнее использовать время рабочего, но в тоже время создавало предпосылку для дополнительного простоя оборудования. Действительно, появлялась возможность такой ситуации: когда рабочий приводил в работоспособное состояние один станок, мог остановиться другой или другие из остальных ему порученных. И здесь вновь исследователь оказывался в условиях двойной случайности: моменты потери работоспособности станками случайны, длительность их восстановления имеет случайный разброс.

В начале сороковых годов подобные же задачи возникли в ядерной физике в связи с изучением радиоактивного распада, космических лучей, использованием счетчиков Гейгер - Мюллера и пр. Позднее количество областей применения теории массового обслуживания стало увеличиваться как снежный ком - вопросы организации производства, торговой сети, городского и внегородского транспорта, подсчет пропускной способности морских и авиационных портов, организация работы вычислительных и информационных комплексов. В следующем параграфе мы несколько подробнее рассмотрим один из упомянутых примеров.

Большой и сложный путь пройден математикой - от правил примитивного счета до предвычисления траекторий небесных тел и выбора оптимальной траектории космической станции; от непосредственного измерения расстояний на местности до прогнозирования существования элементов материи, которые ни разу в истории никем не наблюдались. Во многих областях науки созревает мысль о том, что математика является тем решающим методом, который позволит сдвинуть с места решение фундаментальных проблем, играющих исключительное значение для будущего человечества. Среди этих проблем мне хотелось бы назвать лишь две - изучение высшей нервной деятельности и разработку более рациональных методов обучения. Для решения обеих этих проблем в связи с усложнением условий жизни общества, с колоссальным, все ускоряющимся ростом поступающей в наше сознание информации, быстрым ростом объема накопленных знаний прежние, отработанные методы получения знаний оказываются недостаточными. Возникла необходимость разработки вопросов быстрой и плотной укладки новой научной информации в длительной памяти человеческого мозга и развития творческих способностей человека. Математика в решении этих задач еще скажет свое весомое слово.