Беседа третья. Теоретическая и прикладная математика

Широко распространено мнение, что математика и математики далеки от жизни, от ее сложных и постоянно изменяющихся проблем. В результате изучения школьного курса возникает мысль о том, что математика с ее простыми понятиями не способна охватить все разнообразие Столь сложной и вечно изменяющейся природы.

Предыдущее изложение до некоторой степени показывает ошибочность таких представлений и приоткрывает завесу, за которой скрыто для подавляющего большинства людей обилие методов математического познания, богатейшие возможности современной математики для исследования процессов и явлений, а также их характеристик во времени. Однако следует согласиться с тем, что принятая в монографической и учебной литературе по математике система изложения, при которой абстрактные понятия не наполняются жизненным содержанием и их выводы не находят применений к реальным задачам практики во всем ее современном многообразии, неизбежно способствует воспитанию указанной точки зрения, а также укреплению позиции тех, кто в математике видит скорее игру ума, чем решение вопросов, крайне необходимых для науки, для жизни, для прогресса человеческого общества. Этому содействуют и сами математики, утверждая, что они изучают не саму действительность, а лишь математические структуры, не выясняя, какое отношение имеют эти структуры к процессам того мира, в котором мы живем. Более того, нередко можно встретить и высказывания крупных ученых, согласно которым математические понятия и проблемы возникают независимо от запросов практики и только по абсолютно непонятному предопределению выводы математики поразительно хорошо соответствуют закономерностям окружающего нас чувственного мира.

Мы сталкиваемся с математиками двух существенно различных направлений - теоретиками, которые исследуют математические закономерности сами по себе, вне связи с практическими вопросами, и прикладниками. Интересы последних в первую очередь определяются запросами практики научной или производственной (экономической, сельскохозяйственной или иной). Они используют арсенал математических идей, методов и результатов для получения содержательных выводов об определенных явлениях, будь то явления экономики, организации производства, инженерного дела или медицины. Конечно, далеко не всегда в математике уже заготовлены необходимые для такого изучения понятия и идеи. В этом случае математик прикладного направления должен искать необходимые новые подходы и в случае нужды разрабатывать новые математические методы и даже новые ветви математической науки.

Несомненно и то, что имеется промежуточный тип математиков, которым близки как чисто теоретические проблемы, так и проблемы практики. Именно к этому типу ученых принадлежали знаменитые Архимед, И. Ньютон (1643-1727), Л. Эйлер, О. Коши, П. Л. Чебышев (1821-1894), А. Пуанкаре (1854-1912). Одни математики, имея в запасе математические методы, ищут для них применения. Другие, имея перед глазами ту или иную проблему естествознания или практики, ищут для нее тот прием математического описания, который ближе всего передает существо реальной проблемы, ее природу. Пожалуй, к первому типу математиков можно отнести О. Коши, сделавшего много для становления теории упругости. Ко второму же типу я отнес бы И. Ньютона, П. Л. Чебышева, Л. Эйлера. Понятно, что и это подразделение достаточно условно, поскольку нередко случается, что математик ведет себя как представитель одного психологического типа в одних случаях, а в других - как представитель другого.

К математикам чисто теоретического склада, для которых существует лишь математическая задача и совершенно неинтересны возможные связи с другими областями науки или практики, я отнес бы К. Вейерштрасса (1815-1897) и Н. Бурбаки (группу французских математиков, сделавших многое для современной перестройки математики). Число представителей чисто теоретического направления математических исследований в настоящее время очень велико, и без всякого труда можно называть десятки имен выдающихся представителей математики нашего времени, которых (по крайней мере внешне) совсем не интересуют вопросы применений, сама возможность использования их теоретических построений для задачи изучения явлений окружающего нас мира.

Мое глубокое убеждение состоит в том, что для развития науки, для прогресса наших знаний важны все направления творческих талантов, все психологические типы ученых. Однако мы не имеем права забывать о нуждах общества, об его прикладных потребностях, и поэтому следует показывать нашей молодежи увлекательность математического исследования прикладных проблем, их глубину и разнообразие и как они влекут за собой необходимость широких теоретических обобщений. Именно по этой причине особенно важно значительную часть молодых математиков умело направлять в сторону прикладных интересов. Это важно для общества. Это важно и для самих молодых людей, поскольку для них расширяется круг тех вопросов, которыми они могут заниматься не только ради повышения своего культурного и научного уровня, но и для применения своих творческих сил и способностей.

Нередко говорят не только о математиках, что один из них теоретик, а другой - прикладник, но и о самой математике, что одни ее ветви - чисто теоретические, а другие - прикладные. В действительности дело обстоит сложнее и представление о прикладных возможностях различных областей математики не остается неизменным, а подвергается значительному изменению со временем. До начала XVIII столетия весь арсенал прикладной математики сводился лишь к простейшим правилам арифметики и началам геометрии. Что в ту пору требовалось? Уметь производить взаимные расчеты в коммерческих операциях; очень приближенно подсчитывать запасы, необходимые для обеспечения армии; вычислять площади, объемы и длины. Задачи навигации нуждались еще в элементах сферической геометрии, которая использовалась широко также в астрономии. Теория чисел, получившая значительное развитие еще в Древней Греции, в руках Диофанта, являлась той же арифметикой, но изучавшей глубокие свойства целых положительных чисел. Теория вероятностей, математический анализ и аналитическая геометрия находились в ту пору лишь в самом зачаточном состоянии.

Резкое расширение средств прикладной математики принес XVIII век, когда трудами Ньютона и Лейбница (1646-1716), а также их предшественников - Кавальери (1598-1647), Ферма (1601-1665), Барроу (1630-1677) и др. были заложены основы дифференциального и интегрального исчислений. Их появление было стимулировано важной задачей, связанной с изучением движения, в частности с необходимостью дать точное определение понятия скорости точки в данный момент времени. Математический анализ, включавший в ту пору дифференциальное и интегральное исчисления, а также элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вошел в арсенал первоочередных средств прикладной математики. Необходимым условием развития математического анализа была аналитическая геометрия, созданная Рене Декартом (1596-1650) и имевшая своими предшественииками безвестных строителей египетских пирамид, широко использовавших идею прямоугольных координат для перенесения картины с наброска на стену или потолок.

Весь XVIII век ушел на совершенствование новых для того времени математических понятий, идей и направлений мысли, а также на расширение поля применения математического анализа. В первую очередь развилась механика, для которой математический анализ явился долгожданным методом исследования. Астрономия, изучавшая движение планет, превосходно воспользовалась новым математическим методом для своего прогресса. Попытки исследовать математическими методами явления гидродинамики, распространения тепла, упругих явлений и пр. привели к разработке теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Наш век резко расширил число тех областей математики, которые имеют серьезное прикладное значение. Развитие наших представлений о пространстве и времени потребовало отказа от убеждения о том, что мир управляется геометрией Евклида. Геометрии Н. И. Лобачевского и Б. Риманна (1826-1866) получили, помимо философских применений, глубокое использование в построении новой физики. Когда выяснилось, что физика нуждается в новых математических представлениях, геометрия получила дополнительный импульс для дальнейшего развития. Еще в середине XIX века, в связи с развитием физики молекулярных представлений, ввели в рассмотрение многомерную геометрию (более чем трех измерений). Эволюция систем молекул при этом получила наглядное геометрическое истолкование.

Наше столетие потребовало дальнейшего расширения математических средств, используемых в физике. В первую очередь потребовалось построить математический анализ бесконечномерных пространств - функциональный анализ. В свою очередь задачи электротехники, аэродинамики и теории упругости привели теорию функций комплексного переменного в число прикладных дисциплин.

Еще в начале прошлого века теория вероятностей нашла применение в теории ошибок наблюдений, теории стрельбы, кинетической теории газов. Сейчас теория вероятностей - основное орудие математического исследования подавляющего большинства задач биологии, теории связи, физики, организации производства, экономики. Теория вероятностей стала не только средством вычислений, но и основным орудием проникновения в суть явлений природы и общественных процессов. Она превратилась в одну из наиболее общих концепций современной науки.

Математическая логика, развивавшаяся первоначально как метод логического обоснования математики, получила теперь многочисленные важные применения. Достаточно упомянуть о широком использовании математической логики при программировании вычислительных и логических задач для электронных вычислительных машин. Упомянем также составление программ для автоматического управления процессами.

Сказанное позволяет нам сделать такое заключение: в наше время трудно указать какую-либо ветвь математики, которая не находила бы применений в огромном разнообразии проблем практики. По-видимому, разделение математики на теоретическую и прикладную потеряло смысл. Вероятно, точнее было бы говорить, что не математика, а математики разделяются по своим интересам и творческой деятельности на теоретиков и прикладников. Среди математиков-теоретиков имеются такие, кто считают целью своей научной жизни решение трудных задач, оставшихся нерешенными от прежних поколений. Эти задачи интересуют их сами по себе, вне связи не только с задачами практики, но и с прогрессом самой математики как цельного организма. Этот тип математиков имеет право на существование не только в связи с тем, что им приходится преодолевать огромные трудности: (именно они и мешали решить эти задачи раньше), но и в связи с необходимостью поиска совсем новых методов исследования, которые позднее могут быть использованы для решения не только данного, но и множества иных вопросов.

От математика-прикладника требуется очень многое: он обязан овладеть существом прикладной задачи, уметь подобрать или разработать заново математический аппарат, позволяющий полнее отразить природу явления, составить математическую модель ? исследуемого процесса, вывести из нее существенные следствия и найти их реальное истолкование. Наконец, он должен владеть методами проверки соответствия предложенной им модели реальному явлению и иметь мужество отказаться от этой модели, если она не соответствует природе вещей и плохо отражает действительное течение исследуемого процесса.

Для прогресса науки исключительно важен тот тип математического творчества, который стремится познать математическими методами явления природы (технические, общественные или иные), умеет находить нужный для этого аппарат исследования. Для представителей этого творческого типа задача практики является исходным пунктом общематематических размышлений, отправной точкой для построения теорий, способных стать средством решения не только данной задачи, но и множества других. Именно такой подход особенно способствует расширению границ воздействия науки и выявлению единства материального мира, позволяет человечеству совершать свой победный марш от незнания к знанию.