Беседа вторая. Из прошлого в будущее

За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на. протяжении которого неоднократно изменялся ее характер, содержание и стиль изложения. От первичных представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками, от предметных представлений о целых числах в пределах первого десятка математика пришла к образованию многих новых понятий и сильных методов, превративших ее в мощное средство исследования природы и гибкое орудие практики. От примитивного счета посредством камешков, палочек и зарубок на стволе дерева математика развилась в обширную стройную научную дисциплину с собственным предметом исследования и специфическими глубокими методами. Она выработала собственный язык, очень экономный и точный, который оказался исключительно эффективным не только внутри математики, но и в многочисленных областях ее применений.

Первичные математические представления были в обиходе у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Смутные, неоформившиеся понятия "больше", "меньше", "равно", относящиеся к конкретным предметам, выработанные в результате каждодневного опыта, давали первобытному человеку полезные сведения. Формирование идеи счета в пределах единиц относится к тому периоду истории человечества, от которого не сохранилось никаких письменных памятников. Это вполне естественно, поскольку речь, искусство счета, первичные навыки мышления относятся к временам несравненно более ранним, чем появление самой несовершенной письменности. Судить о развитии математических понятий на ранней стадии человеческого общества удается лишь на основе косвенных данных - наблюдений над некоторыми племенами, находившимися еще в XIV-XIX вв. в первобытном состоянии; изучении особенностей языков, являющихся не только средством общения, но и ценнейшим памятником духовной культуры прошлого.

Хозяйственные потребности вынуждали людей совершенствовать правила счета, измерения расстояний, а также расширять объем математических понятий. Однако в течение длительного времени накопленные сведения были в значительной мере чисто рецептурными и не осознавались в качестве самостоятельной ветви знания. Интересно отметить, что на этой ступени развития математические сведения различных народов, практически даже не общавшихся менаду собой, поразительно близки по форме и содержанию. Правила вычисления объемов и площадей, использовавшиеся в Древнем Вавилоне и Египте, тождественны аналогичным правилам Древнего Китая. Свойство сторон прямоугольного треугольника, известное под именем теоремы Пифагора, было найдено для частных случаев треугольников с целочисленными сторонами задолго до Пифагора в Древнем Вавилоне. Оно было известно и в Древнем Китае. В этом нет ничего удивительного, поскольку все народы, обращаясь к изучению геометрических форм или свойств целых положительных чисел, исходят фактически из одних и тех же практических задач. Люди просто-напросто не могли не считать предметов, не столкнуться с необходимостью различать прямоугольники, круги, треугольники, цилиндры, параллелепипеды и тетраэдры. Хозяйственные потребности вынудили постепенно (и к тому же это происходило чрезвычайно медленно) выработать правила вычисления площадей и объемов наиболее простых плоских фигур и пространственных тел. Этого требовали нужды передела земель, вычисления объема зернохранилищ, подсчет объема необходимых земляных работ при постройке оборонительных сооружений.

Постепенно люди научились выполнять арифметические действия с целыми числами, а затем и с рациональными дробями; научились правильно вычислять площади довольно сложных фигур и объемы простейших тел. Уже в ту пору люди изобрели вспомогательные средства для упрощения взаимных расчетов.

Так на протяжении тысячелетий опытом и разумом многочисленных безвестных тружеников и мыслителей закладывался фундамент современной математической науки. Пусть эти изобретения и весьма примитивны, но их создание стало важным элементом человеческой культуры. И если теперь человечество знает несравненно больше и мечтает о разрешении проблем, которые совсем недавно казались фантастическими, то в этом велика заслуга предшествующих поколений, па опыте которых базируются наши знания и практические навыки.

В связи со сказанным нельзя удержаться от того, чтобы не привести здесь высказывание одного поэта нашего века: "Математик - это человек, который ... вносит новое в математическое знание. Человек, впервые формулировавший, что "два и два четыре),- великий математик, если даже он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо большие вещи, например, паровоз с паровозом,- все эти люди - не математики"^*. А ведь в начальный период развития математики были подмечены не только правила сложения целых чисел, но и многие другие закономерности, сохранившиеся в арифметике и геометрии до наших дней. Наше поколение - полноправный наследник прошлого, и наша задача - передать последующим поколениям больше, чем мы получили сами.

^* (Маяковский В. В. Как делать стихи?- М., Советский писатель, 1952, с. 5.)

В Древней Греции математика стала формироваться как дедуктивная наука. Из сборника рецептов, которыми следует пользоваться в тех или иных житейских ситуациях, она превратилась в логически стройную систему научных знаний. В культурном развитии человеческого общества произошел скачок, равного которому не было на протяжении всей истории научных знаний. Но было бы ошибкой считать, что лишь практические потребности были причиной этого поразительного прогресса в научном и культурном развитии человечества. Не меньшее значение здесь играли и другие факторы, в том числе социальные. Именно в ту пору впервые в Греции на место деспотической формы правления пришла демократия, относившаяся лишь к свободным и не касавшаяся рабов. Но она требовала обоснования мнений и решений, а не беспрекословного выполнения того, что прикажет единоличный правитель, деспот. Это изменение формы правления, привело и в математике к серьезной перестройке системы мышления и изложения результатов: математические правила следует не просто заучить. Предварительно необходимо доказать их логически на базе бесспорных истин - аксиом.

Интересно отметить, что крупнейший прогресс математики в Древней Греции не замедлил сказаться и на математическом образовании. В Древнем Вавилоне и Египте математика излагалась просто как система практических навыков, крайне важных для будущей работы государственного чиновника. В сохранившихся "ученических тетрадках" того времени нет даже намека на вывод или даже на пояснение изучаемых правил математики: все основано на зазубривании определенной последовательности действий. Иное положение сложилось в Древней Греции. Там тоже были школы, в которых будущие купцы и ремесленники обучались математическим сведениям, необходимым для их предстоящей повседневной деятельности или, как выражался Платон, для "бытных нужд". Но существовали и такие школы, в которых математика излагалась как система научных знаний, логически выводимых из некоторых первичных положений, принимаемых за истинные, из аксиом. Этот подход, как писал Платон, был направлен на познание "сущего", а не "бытного". Человечество осознало важность математического познания как такового, безотносительно к задачам конкретной практики. Заметим кстати, что именно ко времени Греции эллинского периода следует отнести разделение математики на "чистую" (теоретическую) и "прикладную".

Предпосылки к новому бурному всплеску и последующему все возрастающему прогрессу математических знаний создала эпоха развития мануфактурного производства, великих морских открытий и создания артиллерии. Проблема движения, расчета траектории движущегося под влиянием заданной силы тела, превратилась в центральную задачу той эпохи. Её решение, вместе с решением задачи о проведении касательной к заданной кривой, привело к созданию дифференциального и интегрального исчислений. У И. Ньютона и Г. Лейбница в этом были многочисленные предшественники - Б. Кавальери, Н. Ферма, И. Барроу и др. В математику вошло новое действие - переход к пределу. Для того чтобы освободить это понятие от мистических наслоений и придать ему алгоритмическую силу, потребовались напряженная работа многих поколений математиков, а также длительные споры и накопление фактов. Мы получили от прошлого уже хорошо формализованное и логически отработанное понятие предела, и многие трудности, с которыми были связаны первые его шаги, сейчас являются лишь достоянием истории.

Для Ньютона изобретение математического анализа и основных связанных с ним операций - дифференцирования и интегрирования - было лишь необходимым шагом на пути решения проблем динамики. Они были тем специфическим математическим языком, на котором было можно разговаривать с природой и изучать движение в простейшей его механической форме. В XVIII и XIX веках открытия следовали одно за другим, как из рога изобилия. XVIII век принес решение основных проблем динамики точки и твердого тела, тогда же были заложены и далеко продвинуты основы небесной механики. Наука получила в свои руки правила, позволявшие по заданным силам получать уравнения движения материальных тел и тем самым к вычислениям сводить изучение их эволюции. Классическая часть математики - геометрия приобрела в математическом анализе своего мощного союзника. Появилась новая математическая дисциплина - дифференциальная геометрия, основанная на широком использовании математического анализа и тесно связанная с задачами механики. Л. Эйлер (1707-1783) начал разрабатывать основы вариационного исчисления - теории решения ряда своеобразных задач на разыскание оптимальных решений, представляющих огромное значение для механики, физики и инженерных применений. От вариационного исчисления идут нити к современной теории оптимального управления процессами. К XVIII веку следует отнести также построение основ математической гидродинамики (Д. Бернулли), теории функций комплексного переменного (Л. Эйлер), аналитической теории чисел (Л. Эйлер), теории дифференциальных уравнений - основного орудия исследования во всем естествознании. На рубеже XVIII и XIX столетий с разных позиций к построению основ математической физики и основного ее математического аппарата - теории дифференциальных уравнений в частных производных, в первую очередь уравнений второго порядка подошли как физики, так и математики. Неоценимый вклад в эту новую теорию внесли О. Коши (1789-1857), Ж. Фурье (1768-1830), П. Лаплас (1749-1827), М. В. Остроградский (1801-1862).

Принципиальный сдвиг в математическом мышлении связан с именами К. Гаусса (1777-1855), Н. И. Лобачевского (1792-1856), Я. Бойяи (1802-1860). Их идеи имеют не только математический, но и глубокий философский характер. Речь идет о построении так называемых неевклидовых геометрий. Со времени Евклида у всех ученых была глубокая уверенность в том, что мир, в котором мы живем, устроен так, как нас учит школьная геометрия. Эта уверенность была столь велика, что в философии И. Канта появилось учение о врожденных идеях и в качестве одной из них Кант называл представление о пространстве, в котором мы живем. Он считал, что геометрия Евклида единственно возможна и ее образы вложены в нас до нашего рождения.

Сто пятьдесят лет назад, в феврале 1826 года, Н. И. Лобачевский выступил с докладом, в котором впервые в истории строилась геометрия, отличная от евклидовой. Лобачевский изменил лишь одну аксиому - знаменитый пятый постулат о параллельных, согласно которому через любую точку плоскости можно провести в ней одну единственную прямую, параллельную данной прямой. Лобачевскому удалось построить логически непротиворечивую геометрию, в которой все аксиомы сохранялись, а постулат о параллельных заменялся на иной - через каждую точку плоскости вне данной прямой можно провести две различные параллельные прямые. Через шесть лет после Лобачевского была опубликована статья Я. Бойяи, в которой развивалась та же самая идея. Наконец, после смерти К. Гаусса в его рукописных заметках были обнаружены некоторые результаты, датированные началом XIX века, в которых содержались элементы геометрии Лобачевского.

Появление логически безупречных геометрических систем, отличных от геометрии Евклида, знаменовало собой новый этап в развитии математики: в нее прочно вошел аксиоматический метод. Уже в нашем столетии была создана теория относительности, связанная с глубокими изменениями взглядов на строение реального пространства. Собственно идея множественности геометрических систем, участвующих в строении реального пространства, была высказана еще Н. И. Лобачевским: "Возможно некоторые силы в природе следуют одной, другие - своей особой геометрии"^*.

^* (Полн. собр. соч. М., 1952, т. 2, с. 159.)

XX век принес математике множество новых идей, приведших как к созданию новых ее теоретических ветвей, так и к расширению ее применений. Она стала абстрактнее, по в то же время более гибкой, более приспособленной к изучению окружающего нас мира и его явлений, стала смелее не только применять уже готовый логический аппарат, но и разрабатывать новые средства, стремясь с их помощью точнее и полнее передавать особенности изучаемых явлений. Алгебра превратилась в общую теорию алгебраических операций над объектами произвольной природы, а не только над числами. Особое значение в начале века получила новая математическая дисциплина - теория множеств, превратившаяся в двадцатые годы в фундамент всей математики. Понятие близости, всегда игравшее в математике большую роль^*, стало отправным пунктом для развития ряда новых направлений математической мысли. На этой базе началось создание теоретико-множественной топологии. Введение в рассмотрение понятий топологического и метрического пространства дало возможность распространить геометрическую наглядность на многие разделы анализа. Отсюда был уже только один шаг к созданию функционального анализа, ставшего в наши дни одним из основных аналитических средств физики. Под влиянием запросов физики, биологии и техники возникли идеи теории случайных процессов. Настойчивая необходимость науки и практики в осуществлении грандиозных вычислительных работ привела к созданию электронных вычислительных машин, которые в свою очередь оказали решающее воздействие на прогресс самой математики во всех ее аспектах.

^* (Например, при приближении иррациональных чисел рациональными, непрерывных функций - многочленами.)