Часть I. Математизация знаний и стиль научного мышления

Беседа первая. Математика в системе знаний

За время своего существования человечество прошло огромный путь от незнания к знанию и от неполного знания к более полному и совершенному. Несмотря на то что этот путь привел к открытию многих законов природы и к построению захватывающе интересной картины мира, каждый день приносит новые открытия, новое проникновение в недостаточно изученные, а порой и полностью неизвестные тайны природы. Но для того, чтобы продвинуться в область неизведанного как можно дальше и поставить на службу обществу новые силы природы, наука должна смело врываться в те области знания, которыми человечество интересовалось еще недостаточно серьезно или которые из-за сложности господствующих там явлений казались недоступными нашему познанию.

На глазах нашего поколения наука сделала колоссальный шаг в изучении законов природы и в использовании полученных знаний. Достаточно сказать о поразивших воображение успехах в покорении космоса и исследованиях внутриатомных явлений, а также о первых операциях на сердце. То, что было так недавно еще неизвестным, за пределами представлений людей и тем более вне их практической деятельности, теперь стало привычным и вошло в нашу жизнь. Успехи медицины позволили вернуть к активной жизни многих, казалось бы, безнадежно больных людей, для которых была потеряна радость восприятия красоты окружающего мира.

Осенью 1945 года человечество было потрясено гибелью многих десятков тысяч японских граждан от атомных бомбежек. Ядерное оружие вошло в жизнь народов. Величайшие достижения человеческого разума, связанные с именами Пьера Кюри, Марии Склодовской-Кюри, Э. Резерфорда, Н. Бора, Луи де Бройля, Энрико Ферми и других, были поставлены на службу разрушению и гибели. Значительные круги человечества охватило уныние, и в мире даже стали раздаваться голоса за запрещение научных исследований, за необходимость отказа от научного прогресса во имя жизни человечества. Однако это невозможно, поскольку жизнь общества неразрывными нитями связана с научно-техническим прогрессом и социальным совершенствованием. Речь поэтому должна идти не о прекращении научных исследований, а о прекращении их использования во зло человеческому обществу, в направлении уничтожения жизни на Земле.

Не прошло и десяти лет после трагедий Нагасаки и Хиросимы, когда 27 июня 1954 года народы мира узнали, что атом может служить не только разрушению, но и созиданию. Вблизи от небольшого подмосковного городка Обнинска была построена и начала давать ток первая в мире атомная электростанция. С тех пор построены десятки несравненно более мощных атомных электростанций, которые уже дают заметный процент электрической энергии, вырабатываемой в мире, но воспоминания о дне 27 июня не могут быть стерты из человеческой памяти. Теперь, когда энергетический кризис грозно постучал в дверь, каждому из нас становится ясно, как важен тот факт, что человечество изучило строение атома и советская наука обуздала его грозную силу, направив по электрическим сетям в жилища людей, на поля и на заводы. Пройдет совсем немного времени и значительная часть электроэнергии будет произведена за счет силы атома.

Человеческая память сохранила нам гордые мечты о полетах в космос. Легенды о Гильгомеше, Дедале и Икаре, сказки почти всех народов мира возносили человеческую мысль к Луне, Солнцу, далеким звездам. Но, чтобы мечты стали превращаться в действительность, потребовался долгий путь научных исканий, построения величественных теорий и гениальных инженерных изобретений. Первая математическая теория полета в космос была предложена скромным учителем гимназии в Калуге К. Э. Циолковским (1851-1935) еще в конце XIX века. Его мысль опередила эпоху. Но его открытия создали твердую базу для последующих полетов, легли в основу технических решений, позволивших осуществить запуск первых космических станций. Для того чтобы наступило 4 октября 1957 года - день запуска первого искусственного спутника Земли,- понадобилось более пятидесяти лет поисков, научного и технического творчества.

Первый человек поднялся в космос 12 апреля 1961 года и за полетом Юрия Гагарина - первого космонавта - с тревогой, волнением и восхищением следил весь мир. Многие, очень многие люди ощутили в этот незабываемый день, что они не только граждане своей страны, но также "земляне" и успех любого народа является одновременно и их успехом. Это чувство возросло, когда в долгие дни 16-24 июня 1969 года мы все с замиранием сердца следили за полетом отважных космонавтов Н. Армстронга, Э. Олдрина и М. Коллинза, высадившихся впервые на поверхность Луны, нашего вечного и единственного спутника. Кто из нас не переживал тогда за их судьбу и не желал им благополучного возвращения?

Потребовалась колоссальная работа мысли в самых разнообразных направлениях, и в том числе в области математики, чтобы сделать реальностью полеты в космос, овладение энергией атома и многие тысячи других идей. Математика превратилась в абсолютно необходимого помощника крупнейших исследований нашего времени, наряду с экспериментом, стала мощнейшим орудием познания. Она на определенных этапах развития знаний является единственным средством познания, позволяющим, подобно скальпелю хирурга, проникать во внутренние свойства вещей. А эксперимент, опыт сам потребовал участия математической мысли, чтобы сделать его целесообразным.

Известный украинский физик К. Д. Синельников заявил, что "математика в современной физике не является просто орудием расчета; вне математики невозможно достаточно полное понимание свойств микромира"^*.

^* (Философские вопросы современной физики. Сборник. Киев, Изд-во АН УССР, 1956, с. 10.)

Другой крупный современный физик - Е. Вигнер (США) в восхищении от поразительных возможностей математики для изучения явлений природы писал, что "...невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой..."^*

^* (Непостижимая эффективность математики в естественных науках:- Сер. матем. и киберн., 1971, № 10, с. 23.)

Математика начинает приобретать все большее значение в экономике, организации производства, а также в социальных науках. Чем это вызвано, какие причины дают математике столь большую силу, мы обсудим позднее и убедимся в том, что не мистика и произвольное создание математических понятий, а глубокое проникновение в требования практики дает математике ее мощь и общность методов.

Положение математики в современном мире далеко не то, каким оно было сто или даже только сорок лет назад. Математика превратилась в повседневное орудие исследования в физике, астрономии, биологии, инженерном деле, организации производства и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Многие крупные врачи, экономисты и специалисты в области социальных исследований считают, что дальнейший прогресс их дисциплин тесно связан с более широким и полнокровным использованием математических методов, чем это было до настоящего времени. Там, где еще недавно царил чисто качественный подход, теперь отыскиваются строгие количественные закономерности и строятся математические модели изучаемых явлений. И чем грандиознее замыслы познания, относятся ли они к макро- или микромиру, тем более значительной становится роль математики. Это отчетливо представлял себе Ленин, когда в основном своем философском произведении "Материализм и эмпириокритицизм" писал о том, что "...приближение к таким однородным и простым элементам материи, законы движения которых допускают математическую обработку"^* является крупнейшим достижением естествознания.

^* (Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм.- Полн, собр. соч., т. 18, с. 326.)

Теперь, по сравнению с положением в начале текущего столетия, мы далеко продвинулись в изучении явлений микромира, т. е. как раз элементов материи. Значение математики для познания закономерностей микромира резко возросло. Более того, оказалось, что многие из них были найдены чисто математическим путем, а не были первоначально подмечены непосредственными наблюдениями. Но для того, чтобы математика оказалась способной играть свою истинную роль в исследовании процессов микромира (да и не только микромира), она должна систематически развивать свои методы и арсенал своих основных понятий.

Как ни велики успехи научного познания, мы замечаем множество проблем, еще недостаточно исследованных и требующих дополнительных усилий, порой очень значительных. Назовем процессы мышления, причины развития психических заболеваний, управление познавательной деятельностью. В то же время мы все отдаем себе отчет в том, как важно возможно быстрее продвинуть вперед наше понимание этих явлений. Действительно, если бы нам были известны достаточно точно процессы мышления, то это позволило бы облегчить и ускорить обучение детей и взрослых, приобрести новые возможности в лечении психических заболеваний. Но эти задачи настолько сложны, что чисто экспериментальными путями их разрешить нет никаких надежд. Необходимо привлечь совсем иные возможности познания, в частности путь математического моделирования этих процессов и последующего получения логических следствий, уже доступных непосредственному наблюдению. Этот прием оправдал себя во многих областях знания - в астрономии, физике, химии и пр.

Мы до сих пор говорили о математике лишь как об орудии исследования в других областях знания и практической деятельности. Позднее мы убедимся в том, что этот аспект тесно связан с прогрессом самой математики, с расширением поля ее исследований, развитием ее основных понятий и созданием новых концепций. Пока же мы ограничились лишь взглядом на нее с позиций потребителя, с позиций определения ее ценности для развития человеческой культуры и общественного благосостояния. В этом плане математика занимает совершенно выдающееся положение. И хотя она сама не производит материальные ценности и непосредственно не изучает окружающий нас мир, она оказывает в этом неоценимую помощь человечеству.