Задачи и дополнения

1. Укажем наиболее простой способ построения матриц Адамара сколь угодно больших порядков. Пусть Н_n - матрица Адамара порядка n и -Н_n - матрица с противоположными элементами. Составим из них матрицу порядка 2n следующим образом:

Именно таким образом получались одна из другой матрицы порядков 1, 2, 4, 8, приведенные в начале этого параграфа.

Доказать, что матрица Н_2n является матрицей Адамара.

2. Следующие две операции преобразуют матрицу Адамара снова в матрицу Адамара:

1) перестановка строк (или столбцов);

2) умножение строки (или столбца) на -1.

С помощью этих операций любую матрицу Адамара можно преобразовать в так называемую нормализованную матрицу Адамара, у которой первая строка и первый столбец состоят из одних единиц.

3. Докажем, что если H - матрица Адамара порядка n > 2, то n кратно 4.

Действительно, можно считать матрицу Н нормализованной матрицей Адамара. Переставляя ее столбцы, всегда можно добиться, чтобы первые три строки матрицы имели вид:

Получается четыре типа столбцов. Пусть i, j, k, l означают соответственно число столбцов первого, второго, третьего и четвертого типов. Свойство ортогональности строк влечет тогда также равенства:

Кроме того,

Из этих равенств получаем i = j = k = l = n/4, откуда и следует наше утверждение.

4. Изложим еще один метод построения матрицы Адамара - метод Пэли. Рассмотрим поле Z_р вычетов по модулю р, где р - простое число. Всякий элемент Z_p, являющийся квадратом какого-либо элемента того же поля, называется квадратичным вычетом, всякий другой - квадратичным невычетом. Определим на Z_p следующую функцию χ‾(i), называемую символом Лежандра ^*):

^*) (Адриен Мари Лежандр (1752-1833) - французский математик, плодотворно работавший в теории чисел и в ряде разделов математического анализа и механики.)

Исходя из этого определения, можно доказать, что для всякого с ≠ 0 выполняется равенство

Рассмотрим теперь квадратную матрицу Q порядка р, элементы которой q_ij (i, j = 1, 2, ..., р) определяются следующим образом:

Пусть Е - единичная матрица порядка р, a J - квадратная матрица того же порядка, все элементы которой равны 1. Тогда, пользуясь (3), можно доказать равенства

Пусть теперь p = 4k - 1. В этом случае матрица

является матрицей Адамара порядка p + 1. Действительно, вычисляя произведение НН^Т, получаем:

Далее, как нетрудно проверить, матрица Q порядка р = 4k - 1 совпадает с матрицей -Q^T. Отсюда с учетом (4) имеем:

Таким образом, HH^T = (р + 1)E.

5. В качестве примера построим матрицу Адамара порядка 8. При этом р = 7. Функция χ(i) задается следующей таблицей:

Матрицы Q и Н имеют тогда вид:

6. Построить методом Пэли матрицу Адамара порядка 12 и найти соответствующие коды Адамара.