Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




предыдущая главасодержаниеследующая глава

Задачи и дополнения

1. Укажем наиболее простой способ построения матриц Адамара сколь угодно больших порядков. Пусть Нn - матрица Адамара порядка n и -Нn - матрица с противоположными элементами. Составим из них матрицу порядка 2n следующим образом:


Именно таким образом получались одна из другой матрицы порядков 1, 2, 4, 8, приведенные в начале этого параграфа.

Доказать, что матрица Н2n является матрицей Адамара.

2. Следующие две операции преобразуют матрицу Адамара снова в матрицу Адамара:

1) перестановка строк (или столбцов);

2) умножение строки (или столбца) на -1.

С помощью этих операций любую матрицу Адамара можно преобразовать в так называемую нормализованную матрицу Адамара, у которой первая строка и первый столбец состоят из одних единиц.

3. Докажем, что если H - матрица Адамара порядка n > 2, то n кратно 4.

Действительно, можно считать матрицу Н нормализованной матрицей Адамара. Переставляя ее столбцы, всегда можно добиться, чтобы первые три строки матрицы имели вид:


Получается четыре типа столбцов. Пусть i, j, k, l означают соответственно число столбцов первого, второго, третьего и четвертого типов. Свойство ортогональности строк влечет тогда также равенства:

i + j - k - l = 0,
i - j + k - l = 0,
i - j - k + l = 0.

Кроме того,

i + j + k + l = n.

Из этих равенств получаем i = j = k = l = n/4, откуда и следует наше утверждение.

4. Изложим еще один метод построения матрицы Адамара - метод Пэли. Рассмотрим поле Zр вычетов по модулю р, где р - простое число. Всякий элемент Zp, являющийся квадратом какого-либо элемента того же поля, называется квадратичным вычетом, всякий другой - квадратичным невычетом. Определим на Zp следующую функцию χ‾(i), называемую символом Лежандра *):


*) (Адриен Мари Лежандр (1752-1833) - французский математик, плодотворно работавший в теории чисел и в ряде разделов математического анализа и механики.)

Исходя из этого определения, можно доказать, что для всякого с ≠ 0 выполняется равенство

χ(1‾) χ(‾1 + ‾c) + χ(2‾) χ(‾2 + ‾c) + ... + χ(p-1)‾ χ (p-1‾ + c‾) = -1. (3)

Рассмотрим теперь квадратную матрицу Q порядка р, элементы которой qij (i, j = 1, 2, ..., р) определяются следующим образом:

qij = χ(j‾ - i‾).

Пусть Е - единичная матрица порядка р, a J - квадратная матрица того же порядка, все элементы которой равны 1. Тогда, пользуясь (3), можно доказать равенства

QQT = pE - J, QJ = JQ = 0. (4)

Пусть теперь p = 4k - 1. В этом случае матрица


является матрицей Адамара порядка p + 1. Действительно, вычисляя произведение ННТ, получаем:


Далее, как нетрудно проверить, матрица Q порядка р = 4k - 1 совпадает с матрицей -QT. Отсюда с учетом (4) имеем:

J + (Q - E) (QT - E) = J + QQT - Q - QT + E = J + pE - J - Q + Q + E = (p + 1)E.

Таким образом, HHT = (р + 1)E.

5. В качестве примера построим матрицу Адамара порядка 8. При этом р = 7. Функция χ(i) задается следующей таблицей:


Матрицы Q и Н имеют тогда вид:



6. Построить методом Пэли матрицу Адамара порядка 12 и найти соответствующие коды Адамара.

предыдущая главасодержаниеследующая глава




ИНТЕРЕСНО:

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru