VI. Мировая гармония

Рано или поздно всякая правильная 
математическая идея находила 
применение в том или ином деле.

Алексей Николаевич Крылов

Мировая гармония

"Симметрия... охватывает свойства всех физических полей, с которыми имеют дело физик и химик",- считал академик Владимир Иванович Вернадский. Но если уж речь идет о физике и химике, то что говорить о математике?

Мировая гармония

Правильные геометрические мозаики, истинные образцы симметрии, как мы имели удовольствие убедиться, двойственны в том смысле, что центры составляющих их фигур служат вершинами для других фигур. И точно так же дело обстоит у правильных многогранников, только их в этом случае называют взаимными. Октаэдр, например, взаимен кубу^* (20, 21), икосаэдр - додекаэдру (22), а вот тетраэдр взаимен сам себе (23), как квадратная мозаика тоже сама себе двойственна (19). Об этом говорит и симметрия символов Шлефли - {4,3} и {3,4} у куба и октаэдра, {3,5} и {5,3} - у икосаэдра и додекаэдра, {3,3} - у тетраэдра и {4,4} - у квадратной мозаики. Именно поэтому родственные мозаики и многогранники изящнейшим образом вписываются друг в друга.

^* ("Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных - куб, а его, если позволительно так сказать, супруга - октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней, а центры граней куба соответствуют вершинам октаэдра",- писал Кеплер. Это видно и на гравюре Эсхера "Кристалл".)

Но вот что настораживает. Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник - вы увидите его в правом верхнем углу гравюры Маурица Эсхера "Звезды"^*. Эта фигура встретится нам в виде гравюры "Двойной планетоид". Лука Пачоли, первым обнаруживший эту фигуру, назвал ее "продолженным октаэдром", а его великий друг Леонардо да Винчи сделал соответствующий деревянный каркас, перерисовав его затем в их общую книгу "О божественной пропорции". "Octacedron elevatus solidus", то есть "продолженный октаэдр сплошной",- написано там его рукой (24). Иоганн Кеплер переоткрыл эту фигуру сто лет спустя и присвоил ей имя "стелла октангула" - "восьмиугольная звезда". Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Но она же перечеркивает все, что было сказано до сих пор! Мы вынуждены признать "стеллу октангулу" правильным многогранником: ведь все ее грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны!

^* (На этой же гравюре внимательный глаз различит и все правильные многогранники. В частности, нижний хамелеон держится nej редкими лапами за октаэдр и тетраэдр, а хвостом обвил другой октаэдр. Верхняя же тварь, наоборот, обвила хвостом ребро тетраэдра, а лапами вцепилась в два октаэдра.)

Что же это - шестое платоново тело?! Нет, просто удавшаяся провокация. В определении правильного многогранника сознательно - в расчете на кажущуюся очевидность - не было расшифровано слово "выпуклый". А оно означает дополнительное требование: "и все грани которого лежат по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них". Если же отказаться от такого ограничения, то к Платоновым телам, кроме "продолженного октаэдра", придется добавить еще четыре многогранника (их называют телами Кеплера-Пуансо), каждый из которых будет "почти правильным". Все они получаются "озвездыванием" Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур - грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются. Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится та же знакомая нам фигура, что возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров - "стелла октангула", которую совсем недаром Лука Пачоли называл "продолженным октаэдром". Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре "почти правильных многогранника. Один из них - малый звездчатый додекаэдр (25), полученный впервые Иоганном Кеплером, вы видите на эсхеровских гравюрах "Силы гравитации" и "Порядок и хаос".

"Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из нее",- рассказывал Э. Ч. Титчмарш, современный английский историк математики. Подобная же история случилась и с кеплеровским звездчатым додекаэдром.

Открыв этот "колючий" многогранник, Кеплер так и назвал его "еж" и поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу "Мировая гармония", где космогонические и астрономические вопросы решались с помощью соотношений, найденных в музыке и в формах правильных многогранников и многоугольников^*. Но ученые отказывались считать кеплеровского ежа многогранником.

^* (Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году,- "О гармонии мирл пять книг". Разными авторами оно переводится как "Гармония мира" и как "О гармонии мира".)

У этого упрямства была своя логика и своя предыстория. Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут - геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли, который был уже настолько свободомыслен - все-таки XIX век!- что не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г-Р вовсе не равняется двойке.

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины^*.

^* (На каждой из двенадцати пятиугольных граней "обычного" Додекаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней становится 5*12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер - всего их станет 30+(5*12) = 90. И, наконец, любая пирамида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гравюре "Силы гравитации".)

Тогда В+Г-Р = 32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово "правильный" - ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники.

Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

Мировая гармония (20)

И при том его еще и не надо было бы золотить - во всяком случае для геометров: золотое отношение, "божественная" пропорция связывает любой "брусок" каркаса обычного додекаэдра с тем же "бруском", но продолженным до точки встречи в вершине "колючки" кеплеровского ежа. Но Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Это увидел наш старый знакомый Август Фердинанд Мёбиус, а сам многогранник - он называется "большой додекаэдр" - построил французский геометр Луи Пуансо спустя без малого двести лет после кеплеровских звездчатых фигур. Если эти две удивительно красивые фигуры расположить рядом, то станет видна их "взаимность" (25, 26).

О двух других телах Кеплера-Пуансо (большом звездчатом додекаэдре - 27 и большом икосаэдре - 28) тоже можно было бы сказать немало интересного. Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать: ведь удивительное дело, почему и в этой паре, "увидев" одну фигуру, Кеплер честь открытия второй оставил Пуансо?

А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Порядок и хаос". Вот что пишет о ней сам художник: "Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей". Мы уже воспользовались одной из них - веревкой, когда говорили о головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился и сам додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный - мы позаимствовали его с другой гравюры того же автора - "Рептилии". Посмотрите на нее внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой, составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная, шестигранная.

Мировая гармония (21)

"В мире нет места для некрасивой математики",- считал Готфрид Харди.

Обложку прекрасной книги Гарольда Скотта Макдональда Коксетера "Введение в геометрию" (ей тоже очень многим обязана эта "Рапсодия") украшает фигура, которую вычертил в 1932 году Джон Флаундере Петри, сын великого египтолога и - что гораздо интереснее - один из очень немногих людей на Земле, кто умел строить в своем воображении четырехмерные тела, подсчитывать в уме число их элементов и отчетливо представлять себе их взаимное расположение. Вычерченная им фигура, о которой идет речь, вполне земная, трехмерная, но и она была получена довольно непросто. Вписанный в сферу правильный икосаэдр спроецировали на эту сферу из ее центра (29). Все его ребра перешли в дуги большого круга, которые разбили сферу на множество сферических треугольников. (Дуги эти на плоскости изображаются эллипсами, в этом и была основная сложность вычерчивания "фигуры Петри".) Таким образом, правильный многогранник породил правильную сферическую мозаику - узор, покрывающий всю сферу, составленный из одинаковых фигур. (Центральные и периферийные треугольники выглядят разными только из-за того, что спроецированный на сферу икосаэдр пришлось спроецировать еще раз - на плоскость страницы этой книги, а при этом нельзя обойтись без искажений.)

Мировая гармония (22)

Но у "фигуры Петри" есть еще одно замечательное свойство. Вглядитесь в нее повнимательнее, она того вполне заслуживает. Можно не только получить сеть сферических треугольников из правильного многогранника, но и, наоборот, этой сетью поймать платоново тело, да не одно, а целых два! Шесть треугольников, окружающих вершину, образуют треугольную грань раздувшегося до сферы икосаэдра, а десять треугольников, объединившихся вокруг вершины в центре,- пятиугольную грань такого же додекаэдра. Другие грани вы теперь увидите без труда. И, повинуясь вашей воле, разбитая на черно-белые треугольники сфера, подобно оборотню зрительных иллюзий, преобразуется то в двенадцати, а то и в двадцатигранник. Ничего удивительного в подобной двойственности нет, стоит лишь, вспомнить, что символ Шлефли у икосаэдра {3,5}, а у додекаэдра - {5,3}. То есть они взаимные многогранники: середины граней одного служат вершинами для другого (22).

Мировая гармония (23)

"Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников,- одна из самых увлекательных глав геометрии" - таково мнение Л. А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики. Не будем же лишать себя удовольствия познакомиться с еще одним - самым многочисленным - отрядом многогранников, имеющих отношение к нашим Платоновым телам. Для этого надо лишь быть последовательным - отказаться еще от одного ограничения.

Почему правильные многоугольники, служащие гранями, так уж обязательно должны быть все на одно лицо? И сразу же обретают право на жизнь полуправильные многогранники, описанные еще Архимедом. Они получаются из Платоновых тел либо "отсечением углов", либо "отсечением ребер". Интересно, что две тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего тринадцать, и лишь в 1957 году обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из пяти квадратов и четырех правильных треугольников, можно повернуть на 45 градусов. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник, который можно было бы назвать ашкинузеэдром - в честь открывшего его советского математика В. Г. Ашкинузе.

Мировая гармония (24)

Итак, к пяти правильным Платоновым и пяти почти правильным, то есть звездчатым, телам Кеплера-Пуансо надо прибавить еще четырнадцать полуправильных тел Архимеда-Ашкинузе. Но тогда уж, по справедливости, надо включить в этот реестр и "почти полуправильные", то есть звездчатые полуправильные многогранники: например, звездчатый кубооктаэдр, изображенный на гравюре М. К. Эсхера "Кристалл". Тут, однако, есть одна тонкость. Если про правильные - обычные и звездчатые- многогранники Огюстен Коши в 1812 году строго доказал, что их может быть только десять, то касательно полуправильных известно лишь, что 14 обычных дают 51 звездчатый. Но исчерпывается ли этим "полуправильное многообразие" - этого сегодняшние геометры не знают^*.

^* (Множество звездчатых тел получил советский исследователь В. Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов" созданных В. А. Сомовым и А. М. Бреславцем.)

Впрочем, даже если и удастся доказать, что эти фигуры заполняют собой всю "обойму", то и тогда никто не назовет суммарного числа полуправильных фигур. Ведь в их число входят еще две бесконечные серии, описанные Архимедом в трактате "О многогранниках". Это призмы и антипризмы - фигуры, в основаниях которых лежат любые правильные n-угольники, а боковыми гранями служат либо квадраты, либо равносторонние треугольники. Так, словно потешаясь над нашим вполне естественным стремлением провести полную инвентаризацию всех ее тайн, Природа приготовила для нас целых две геометрические бесконечности.

Но это не единственная из ее геометрических шуток.

"Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с сотворения мира до собрания британской ассоциации в абердине в 1885 году, сколько найдется таких, которые на вопрос "сжался ли песок под вашей ногой?" ответили бы иначе, чем "да!"?"- вопрошал на лекции в Балтиморе лорд Кельвин. И на самом деле, никто не усомнился бы в правильности такого ответа, пока Осборн Рейнольде не доложил в Абердине о своих наблюдениях и выводах. "Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становился сухим,- рассказывал он членам Британской ассоциации ученых.- Надавливание ноги расплющивает, расширяет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды выдавливается из этого места в окружающее пространство... Поднимая ногу, мы видим, что песок под ней и вокруг этого места через некоторое время снова становится влажным. Это происходит потому, что песок снова сокращается после удаления надавливающих сил и избыток воды выступает на поверхность".

Итак, песок не сжимается, а, наоборот, расширяется под ногой, а когда мы ее убираем, он вновь "сокращается". Это удивительное явление, обнаруженное физиком, могло бы быть предсказано математиком. Оно связано с проблемой так называемой "плотной упаковки равных сфер". А эта проблема, в свою очередь, тесно связана и с нашими многогранниками, и с нашими мозаиками.

Мировая гармония (25)

На плоскости есть две возможности уложить круги: вписав их в квадратную и в шестиугольную мозаику. Интуиция подсказывает, а расчет подтверждает: второй способ позволяет уложить круги более компактно, как говорят, плотность упаковки тут выше. Можно доказать (это и сделал венгерский математик Ласло Фейеш Тот), что более плотной упаковки придумать невозможно.

Впрочем, открытие это совершено миллионы лет назад. Его коллективный автор - пчелы. (Взгляните еще раз на гравюру М. К. Эсхера "Метаморфозы. II". На ней вы увидите, как квадратная мозаика переходит в гексагональную - шестиугольную. "На этом месте,- пишет сам художник,- возникает ассоциация "шестиугольники - соты", и мысль эта поддерживается личинками, которые начинают шевелиться в каждой ячейке".)

Мировая гармония (26)

Но в пространстве дело обстоит намного сложнее - вопрос о том, упакуются ли сферы, помещенные в трехмерные соты самым плотным образом, остается открытым. (То есть, поскольку центры их окажутся в вершинах куба, не ясно, является ли простая кубическая упаковка самой компактной.) У подножия старых военных памятников лежат обычно пушечные ядра в виде пирамиды - верхнее ядро покоится на четырех других, те, в свою очередь, на девяти ниже расположенных ядрах и т. д. Каждое попавшее внутрь пирамиды ядро касается двенадцати других - четырех в своем слое, четырех внизу и вверху. Это так называемая кубическая плотная упаковка, описанная Кеплером. Если положить пирамиду набок, то получится другой способ упаковки ядер-сфер, но плотность ее та же самая (точное ее значение 0,7408). Есть и еще варианты, но ни один не гарантирует самое компактное расположение.

(В том числе и тот, "икосаэдрический" (4), все из того же спора Ньютона с Грегори.).

Вопрос об упаковках - не праздный и не абстрактный. Он связан со строением вещества, его прочностью, а потому кровно интересует специалистов в разных областях науки.

Джон Десмонд Бернал, который был президентом Всемирного Совета Мира, крупный английский ученый, считал, например, что "текучесть жидкости есть результат ее молекулярной неоднородности".

Мировая гармония (27)

И потому начались эксперименты.

"Земляника растет и под крапивой",- подметил Шекспир. Геометрическая мысль плодоносит и в худших условиях. "Я сдавливал свежий горох в одном и том же котле с силой в 1600, 800 и 400 фунтов,- писал еще в 1727 году Стефан Хейлс в своей "Статистике растений",- при этих опытах горох расплющивался, но его уровень не повышался, так как под действием большого веса масса гороха заполняла промежутки между горошинами, которые превращались в прелестные маленькие додекаэдры". Через двести с лишним лет, в 1939 году, опыт этот повторили два ботаника - Д. Марвин и Э. Мацке. Они заменили горошины свинцовыми пулями и увеличили давление в десять раз. Получились неправильные четырнадцатигранные тела. Грани были по преимуществу пятиугольными, хотя среди них встречались и четырех- и шестиугольные. Далее было обнаружено, что внутренние клетки растительных тканей тоже имеют в среднем четырнадцать граней. Исследовали под микроскопом пену, состоящую из двух тысяч пузырьков. Те шестьсот из них, что расположились в центре, имели в среднем по 13,7 касания с соседями, но чаще всего они превращались в тринадцатигранник, составленный из одного четырехугольника, двух шестиугольников и десяти пятиугольников. В 1959 году Джон Бернал изящнейшим образом показал, что пятиугольная грань действительно имеет преимущество перед другими. Он изготовил из пластилина массу одинаковых шариков, вывалял их в меловой пудре, а затем спрессовал в сплошной ком. У получившихся фигур в среднем было 13,3 грани, в большинстве своем пятиугольных.

Мировая гармония (28)

И спрессованная случайная упаковка равных свинцовых пуль или пластилиновых шариков, и приблизительно однородная ткань, состоящая из растительных клеток, и пена, образованная примерно одинаковыми пузырьками, как бы стремятся приблизиться к трехмерным пространственным сотам, в которых число граней единичной ячейки находится где-то между пятью и шестью. Это "между", то есть дробное число граней, означает, что соты существуют в статистическом смысле: в каких-то ячейках четыре, в каких-то - пять, в каких-то - шесть граней.

Соты, то есть пространство, заполненное многогранниками, позволяют изучать пространственные фигуры, "находясь" между ними и миром плоскости. (Эта идея пришла в голову в 1897 году Форольду Госсету, молодому английскому юристу, который из-за отсутствия клиентов развлекался тем, что подсчитывал правильные фигуры, имеющие вид на жительство в четвертом, пятом, шестом и вообще любом измерении. Оказалось, что в четырехмерном пространстве их шесть, а в пяти - и более мерном живут лишь три правильных выпуклых многогранника - аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. Правда, доказал это не Госсет, а Стрингхэм еще в 1880 году^*. Но мысли Госсета о многомерных сотах математики не оценили, и скромный юрист вернулся к своим законам. Однако когда в журнале "Нейчур" в 1936 году появились стансы Ф. Содди "Поцелуй по расчету", где речь шла о "целующихся" многомерных сферах, Госсет откликнулся: он изложил в стихах часть тех выводов, что почти сорок лет пролежали в его архивах.) Соты помогли найти точную цифру, а именно 0,7797 (ее получил К. Роджерс в 1958 году), выше которой не может быть плотность ни одной упаковки. И в то же время очевидно, что любая меньшая плотность получается как бы сама собой, за счет случайных причин. Об этом и говорит эксперимент Осборна Рейнольдса на морском берегу: путешествуя по мокрому пляжу, мы изменяем упаковку песчинок, делая ее менее плотной, а такие варианты всегда, что называется, "под ногой". Под ударами волн или дождевых капель песчинки располагаются самым плотным из возможных способов. Теперь уже любое воздействие извне, особенно столь грубое, как давление ноги знаменитого ученого, не только не в силах уплотнить песок, но неизбежно разрушает "наиплотнейшеё" расположение песчинок, и потому вода засасывается в поры между ними. Рейнольде, разобравшись в сути явления, не советовал доверять продавцу, который, насыпав зерно в меру, начинает ревностно уминать его, как бы демонстрируя свое бескорыстие. На самом же деле при умелом уминании объем зерна может возрасти процентов на десять, а то и больше.

^* (Это если считать по дате опубликования работы. Но Людвиг Шлефли получил то же доказательство раньше. Его рукопись долго пролежала в университетах Лейпцига и Берна и была опубликована лишь а 1901 году, через шесть лет после смерти автора.)

Еще нагляднее иллюстрирует тот же принцип трюк, проделываемый индийскими факирами. Они, тихонько потряхивая, наполняют кувшин с узким отверстием невареным рисом, а затем несколько раз погружают в него нож - как можно глубже. На десятый-одиннадцатый раз нож вдруг, на удивление всем, не ведающим о наиплотнейших упаковках, застревает, и факир с торжеством держит на нем весь сосуд!

Мировая гармония (29)

Но, пожалуй, наиболее эффектен фокус, который сумели продемонстрировать сотрудники Научно-исследовательского института железобетона И. Г. Людковский и Ю. С. Волков. Колонны и опоры, придуманные ими, намного прочнее, чем любые из до сих пор известных строителям. Они словно сделаны из специальных дорогих сплавов. А на самом деле их конструкция представляет собой длинную спираль, свитую из проволоки, внутри которой насыпаны шары из стекла или каменного литья. Промежутки между шарами заливают бетоном. Как совершенно правильно пишут авторы сверхпрочной колонны в февральском номере журнала "Бетон и железобетон" за 1971 год, "при свободной укладке шары располагаются компактно, по так называемой кубооктаэдоической системе, когда один шар соприкасается с двенадцатью другими. Заполнение объема шарами составляет 74 процента". То есть одно из уже известных нам расположений пушечных ядер с плотностью 0,7408.

Оказывается, ни материал самих шаров (их можно делать из стекла, камня, шлакоситалла), ни исполнение окружающей их спиральной обоймы (Людковский и Волков предлагают заменить прочную проволоку стеклопластиковой арматурой, которая, кстати, устойчива против коррозии), ни, наконец, состав заполняющего промежутки между шарами раствора (марка бетона) не слишком сильно влияют на прочность колонны. Одна лишь геометрия превращает хрупкое стекло в безотказный металл, многотонным нагрузкам противостоит одна лишь сила математической мысли.

"Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. сам евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот",- говорит пчела в "Тысяче и одной ночи". Она права: пчелиная ячейка представляет собой нижнюю половину ромбододекаэдра, одного из полуправильных архимедовых тел, и это решение с точки зрения экономии воска и строительных усилий настолько разумно, что в академических кругах Франции возникла научная дискуссия, итог которой подвел Бернар Фонтенель, заявив, что за пчелами нельзя признать геометрического мышления на уровне Ньютона и Лейбница (хотя они и рассчитывают свои постройки в полном соответствии с открытым этими учеными дифференциальным исчислением и вытекающим из него принципом минимума), но они используют достижения высшей математики, подчиняясь божественному указанию и руководству.

Строители и архитекторы издавна предпочитают геометрические соображения даже самым очевидным и убедительным фактам. Они, например, пренебрегают заветом предков и с охотой строят дома на песке. Более того, если грунт не вызывает у них доверия, они выбрасывают его прочь и привозят на это место песок, который затем утрамбовывают. После объяснений Рейнольдса ясно, что песчинки приходят в состояние наиплотнейшего расположения и грунт приобретает все свойства твердого тела. Именно поэтому до сих пор прочно стоит "твердыня власти роковой" - Петропавловская крепость, первое большое архитектурное сооружение, построенное на песке - и на геометрической идее, заложенной в ее фундамент.

"Есть тонкие, властительные связи",- говорил поэт. Связь между правильными многоугольниками, мозаиками и многогранниками слишком глубока, чтобы не быть явной - они дети одной и той же математической идеи. Как плоскость можно покрыть некоторыми из правильных многоугольников, так и пространство удается заполнить Платоновыми телами. Случай с кубами тривиален. Но взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Плоские черви", которой он предпослал такие слова: "Строительный кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, и это логично, потому что такие кирпичи соединять друг с другом проще всего. Но любой человек, любящий и понимающий красоту правильных тел, может пожалеть, что строители не используют другие формы. Например, тетраэдры, перемежающиеся с октаэдрами, могут складываться один с другим не хуже традиционных кирпичей. Вот дом, построенный из комбинаций этих двух форм. Он не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных поверхностей, ни полов, ни стен, ни потолка - в обычном понимании этих слов. Вот почему он весь внутри заполнен какой-то жидкой средой, в которой плавают существа, напоминающие плоских червей - планарий".

Эти плоские черви вновь возвращают нас к мозаикам - обитателям двумерного мира.

Евклидову плоскость можно покрыть квадратами так, чтобы в каждой вершине их сходилось по четыре,- это и будет мозаика {4,4}. Но стоит нам захотеть объединить квадраты таким образом, чтобы к каждой вершине прилегало лишь три из них, как фигура замкнется в пространстве и мы получим куб {4,3}. Точно так же плоскость удается заполнить правильными треугольниками, собранными по шестеркам в каждой вершине,- мозаика {3,6}. Но если надо, чтобы вершину окружали три, четыре или пять таких треугольников, то мы опять получим замкнутые пространственные тела - уже знакомые нам тетраэдр {3,3}, октаэдр {3,4} и икосаэдр {3,5}.

Размышляя об этих превращениях, мы постигаем простейшие понятия топологии. И вместе с тем становится ясным, насколько общи ее законы, насколько универсален характер изучаемых ею зависимостей.

Первым, кто увидел глубокую общность мозаик и многогранников, был Иоганн Кеплер. Именно он предложил рассматривать плоскость, заполненную прилегающими друг к другу многоугольниками, как выродившийся многогранник и потому смог применить к ним одну и и ту же общую теорию.

Потом эта его мысль была продолжена в обе стороны: жалкая многократно "надломленная" прямая линия стала выродившимся многоугольником, а многогранники превратились всего лишь в трехмерных представителей неких многомерных сверхтел - величественных "политопов", речь о которых впереди.

Что же касается великолепных сферических мозаик, то их положение в известном смысле промежуточное - от плоскости ушли, а к многогранникам не пришли. Но именно поэтому они оказались очень удобным инструментом для исследования пространственных фигур. Кроме того, благодаря своей броской красоте они были изучены давно - первым их описывал известный на Востоке математик Абу-л-Ваф, живший в X веке. И в наши дни сферические мозаики притягивают к себе внимание художественных натур. Например, эсхеровские "Буковый шар", "Ангелы и дьяволы" и "Сфера с человеческими фигурами" - ювелирно вырезанные из дерева пространственные мозаики так хороши, что легко могут стать источником вдохновения и фантазии.

Мировая гармония

И то и другое нам понадобится, когда речь пойдет о фигурах, живущих в четвертом и более высоких измерениях,- сверхмногогранниках.

Высшее назначение математики - 
находить порядок в хаосе, 
который нас окружает.

Норберт Винер