I. Поцелуй по расчету

Высь, ширь, глубь. 
Лишь три координаты. 
Мимо них где путь? 
Засов закрыт.

Валерий Брюсов

Поцелуй по расчету

"Мамочка, почему я все время хожу по кругу?" - "отстань, глупышка, а то я приколю к полу и вторую твою ногу!"- так звучит старая детская шутка. Ее, наверное, придумал древний математик, когда был мальчишкой. Повзрослев, он сформулировал ее по-другому: "Окружность - это совокупность точек на плоскости, одинаково удаленных от какой-то одной точки на этой же плоскости". (Взгляните, например, на фрагмент гравюры М. К. Эсхера "Завиток" - вы найдете ее, как и другие работы этого художника, с помощью указателя, помещенного в конце книги. Созданное воображением художника существо использует основное свойство окружности для передвижения.) Подумав немного, древний математик написал еще одну фразу, покороче: "Сфера - это совокупность всех точек, равно удаленных от одной какой-то точки". (Прекрасная иллюстрация на тему "сфера" - еще две гравюры того же автора: "Спирали на сфере" и "Буковый шар".)

С той поры прошло много лет, а новых хороших геометрических шуток не появилось. Создавшееся положение, конечно, беспокоило серьезных ученых, например Исаака Ньютона. Мы бы, вероятно, никогда не узнали об этом, но, по счастью, друг великого математика оксфордский астроном Дэвид Грегори вел дневник. В один из дней 1694 года он подробнейшим образом записал, как они с Ньютоном крупно поспорили: Грегори по обыкновению размышлял вслух на свои небесные темы - в этот раз о том, как звезды различной величины размещаются на небе. И тут вдруг Ньютон перебил его: "Спорим, что тринадцать одинаковых шаров, как их ни расположи, не могут касаться еще одного шара!" Грегори немного подумал и принял спор. Но сколько друзья ни изводили бумаги и слов, ни один из них не убедил другого. И лишь через 180 лет Рейнгольд Хоппе сумел доказать, что великий математик и в этом научном споре оказался прав. Но доказательство Хоппе было таким громоздким, а проблема настолько увлекала ученых, что до самого последнего времени они без устали решали "задачу четырнадцати шаров". Самое простое доказательство придумал англичанин Джон Лич в 1956 году. А в 1962 году в "Трудах Нью-Йоркской Академии наук" появилась большая статья, посвященная все той же задаче.

Но если считать - хотя это было бы большой ошибкой - все эти работы чисто геометрическим юмором, то двум последним шуткам предшествовало несколько более плоских острот. Плоских - в прямом смысле этого слова.

В июне 1936 года читатели журнала "Нейчур" были приятно удивлены. Известнейший английский химик Фредерик Содди, который получил Нобелевскую премию за то, что открыл изотопы, на этот раз порадовал ученый мир поэмой, состоящей из трех стансов. Она называлась (в вольном переводе) "Поцелуй по расчету", и первый ее станс звучал приблизительно так:

Когда к устам прильнут уста, 
Быть может голова пуста. 
Но если вдруг четыре круга 
Решат поцеловать друг друга, 
То лишь геометра расчет 
Их к поцелую приведет. 
Вариантов два, любой не плох: 
Все три в одном, один средь трех (1)*. 
Коль три в одном, то изнутри 
К гиганту тянутся они. (2). 
Но и средь трех он рад вполне: 
Три поцелуя - все извне.

^* (Здесь, а также далее, в скобках стоят номера рисунков, гравюр, фотографий и чертежей, которые, если взглянуть на них, порой могут доставить несколько секунд удовольствия, не говоря уже о том, что они имеют прямое отношение к тексту.)

В следующем стансе Содди в том же поэтическом ключе сообщает придуманную им формулу: удвоенная сумма квадратов обратных радиусов равна квадрату их суммы.

В этой несложной формуле Содди предусмотрел и тот случай, когда больший круг охватывает три меньших: тогда надо просто брать величину радиуса со знаком "минус". Всякому ясно, что теперь ничего не стоит вычислить радиус четвертого круга, чтобы он смог "поцеловаться" с тремя другими.

Впоследствии выяснилось, что формулу эту знал еще Рене Декарт. Но Содди открыл ее вполне самостоятельно. И кроме того, он не удовлетворился целующимися кругами. В третьей и последней части своего "Поцелуя по расчету" Содди перешел с плоскости в пространство от кругов к сферам. И тут прежде всего обнаружилось, что в целовальном обряде принимают участие не четыре, а пять сфер, а чтобы они могли коснуться друг друга, им надо, говоря презренной прозой, подчиниться требованиям формулы: утроенная сумма квадратов обратных радиусов равна квадрату их суммы.

Любители математических головоломок приуныли: все загадки о соприкасающихся кругах и сферах стали решаться с удручающей легкостью. Ну вот, к примеру, одна из них, просто так, чтобы лишний раз помянуть добром Содди. На столе лежат три арбуза, каждый диаметром в тридцать сантиметров, а под ними - апельсин. Конечно же, все фрукты, выращенные в садах геометрии, имеют идеальную сферическую форму. А потому легкий вопрос: каков диаметр апельсина?

Но Нобелевский комитет не дал Фредерику Содди еще одну премию, быть может, потому, что его формулы никак не помогали решать другие геометрические задачи, которые отняли у мыслящего человечества не одну тысячу человеко-часов. А именно - "упаковочные" головоломки. Формулируя задачу на теперь уже привычном нам языке геометрической эротики, мы поставим вопрос так: каково максимальное число кругов (или сфер), которые могут одновременно поцеловать один (одну) такой (такую) же, целуясь при этом со своими соседями?

На плоскости задача элементарно проста: шесть кругов касаются седьмого, центрального (3). (В качестве таких кругов приятно взять четыре гравюры М. К. Эсхера, которые называются "Пределы на круге".) Но со сферами дело обстоит куда сложнее - недаром Ньютон так и не смог убедить своего друга Грегори, что их может быть не больше тринадцати, включая сюда и "целуемую".

В те годы пинг-понг еще не был в моде, а то бы спорщики могли поставить любопытный эксперимент. Отбросив предрассудок, им надо было взять "чертову дюжину" шариков и сдавить их прозрачной резиновой пленкой. Они могли бы убедиться, что "обычная" дюжина охватывает "чертов" шарик таким образом, что все двенадцать шариков располагаются в вершинах воображаемого икосаэдра (правильного двадцатигранника) и между ними остается небольшой зазор (4). Но достаточен ли этот зазор, чтобы втиснуть еще и четырнадцатый шарик? Вот в чем вопрос. Можно пробовать располагать шары в самых различных комбинациях, но место для еще одного не освобождается. Это, однако, вовсе не доказывает, что такую удачную комбинацию найти невозможно.

Но все-таки - да или нет? Как доказать строго? Хоппе придумал - думайте, если это доставляет удовольствие, и вы.

Поцелуй по расчету

Быть может, подобные головоломки вам, как и Исааку Ньютону, покажутся трудными, но попытайтесь все-таки совершить над собой некое интеллектуальное насилие. Все это не просто стандартные "вопросы на повторение пройденного". Впереди космическое развитие темы Круга и Сферы, и к нему надо подготовиться.

Поцелуй по расчету

...По счастью, журнал "Нейчур", заложивший основы изучения геометрических поцелуев, известен своей серьезностью. Серьезностью даже в шутках. Напечатав стансы Содди о целующихся кругах и сферах, редакция посчитала, что вопрос освещен недостаточно фундаментально. И спустя полгода, в январском номере 1937 года, опубликовала еще один заключительный станс, принадлежащий перу Форольда Госсета, обитавшего отнюдь не на Парнасе, но в Кембриджском университете. Это было одно из многих стихотворных произведений, присланных в редакцию с единственной целью: обобщить формулу Содди на случай n-мерного пространства, в котором целуются, естественно, n-мерные сферы - гиперсферы.

Чтобы вполне насладиться этим поэтическим шедевром, нам надо справиться с совсем простым делом: представить в себе n-мерную сферу.

Поцелуй по расчету

"Когда нематематик слышит о четырехмерных вещах, его охватывает священный трепет..." - так говорил Альберт Эйнштейн. А Герман фон Гельмгольц считал, что представить себе четвертое измерение - все равно что слепому от рождения вообразить краски. Заметьте, речь идет всего лишь о четвертом измерении. Что же тогда сказать о пятом, шестом, а то и вообще об n-м?

И все-таки рискнем!

Впервые слова "n-мерное пространство" прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета. Она называлась "О гипотезах, образующих основания геометрии" и в самом деле провозглашала совсем новую, неожиданную и уж во всяком случае неевклидовую геометрию, названную впоследствии "римановой". Впрочем, и Евклид, создавая свою геометрию, возможно, размышлял о "мере мира". "Точка - это то, что не имеет частей",- говорил он. Современный математик посчитал бы эти слова пусть примитивным, но довольно точным определением "объекта нулевого измерения". Точка, оставленная карандашом на бумаге, острие булавки или башенного шпиля - вот эти "объекты" в реальной жизни. Сфера нулевого измерения - это и есть точка.

Поцелуй по расчету

Нить, проволока и любая иная линия - это уже одномерные предметы: у них есть длина. Сфера в пространстве одного измерения - это две точки на прямой: центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними.

Представители двумерного мира имеют и длину и ширину - это ленты, куски ткани, листы бумаги" Окружность, граница двумерного круга - вот что такое сфера в пространстве двух измерений.

И наконец, кубы, пирамиды, дома, корабли и самолеты так же, как и мы с вами, входят в неисчислимую армию "трехмерцев", обладающих вдобавок к длине и ширине еще и высотой. У них есть объем. Сфера в трехмерном пространстве - это шар, "обычная" сфера.

Но вот что любопытно. Проволоку можно сломать, лист бумаги разрезать, а куб распилить. И при этом получается, что одномерная поверхность, линия, разделяется поверхностью нулевого измерения - точкой. Двумерная плоскость делится надвое одномерной линией, а трехмерный куб - двумерной плоскостью. Иными словами, границей "разлома" тела служит какое-то другое тело, измерение которого на единицу ниже.

Что же тогда служит границей четырехмерной сферры? Поистине прав Эйнштейн: оторопь берет, когда пытаешься все это вообразить!

Поцелуй по расчету

Но не будем отчаиваться и зайдем с другого конца.

Если точку "протащить" по бумаге, то получится линия. Линия, в свою очередь, "заметает" плоскость - получается квадрат. Вытянем квадрат из плоскости - сделаем куб. Это уже третье измерение. Но что же такое надо сделать с кубом, чтобы обратить его в четырехмерное тело? И как его себе представить?

А что мы делаем, чтобы изобразить на плоском листе бумаги трехмерный куб? Мы проецируем его на плоскость. Получаются два квадрата один в другом, соединенные вершинами (5). Так спроецируем же и четырехмерный куб! Мы получим по аналогии два куба, один в другом, и снова вершины попарно соединены. Вот он, посланец четвертого измерения, вернее, не сам он, а его проекция на плоскость (6).

И точно так же, рассуждая по аналогии, мы можем отдаленно представить себе четырехмерную сферу. Если спроецировать глобус на плоскость, то проекции двух его половин наложатся одна на другую, и Нью-Йорк окажется где-то в центре нашей Сибири. Проецируя глобус, мы пропускаем одну его полусферу сквозь другую и соединяем их проекции, круги, только по границе - окружности (как квадраты по вершинам). Проекция гиперсферы - два шара, прошедшие один через другой и соединенные только по внешним поверхностям. Конечно, вообразить все это нелегко, но ничего мистического тут нет.

Еще один гость из иных миров носит имя "четырехмерный симплекс". Симплекс - это простейшая из всех возможных фигур. Добавляя каждый раз всего по одной точке, мы пробегаем по ступеням лестницы размерностей. Одна точка - это нульмерный симплекс. Он живет, как уже говорилось, в нулевом измерении. Две точки определяют отрезок - одномерный симплекс. Измерение - первое" Третья точка превращает линию в треугольник - двумерный симплекс. Еще точка - и вот перед нами пирамида. Это уже простейшее из всех трехмерных тел - трехмерный симплекс. Но вот добавлена пятая точка. Эта необычная конструкция состоит из пяти пирамид. Все вместе они отделяют четырехмерный симплекс от остального четырехмерного пространства точно так же, как шесть граней куба отделяют его от остального трехмерного пространства, а три стороны треугольника ограничивают его на плоскости.

Но что дает нам уверенность, что гиперкуб или "старший" из симплексов не принадлежит к нашему трехмерному миру? Существует один простой тест, основанный на формуле, выведенной еще Леонардом Эйлером^*. Это удивительная формула. Она - истинно топологическая, потому что имеет дело не с размерами, углами или площадями, а лишь с числом вершин, ребер и сторон, или граней, любой геометрической фигуры. Вот она:

^* (До Эйлера эту формулу знали Декарт и Лейбниц.)

То есть число граней (Г) плюс число вершин (В) равно числу ребер (Р) плюс 2. Проверьте правильность этой формулы на какой угодно фигуре - кубе, пирамиде, тетраэдре, икосаэдре, произвольном многограннике, теле самой замысловатой формы. При любых деформациях любой из них формула Эйлера верна.

Но возьмите гиперкуб (6): 24 стороны, 16 вершин, 32 ребра и сверх того 8 трехмерных граней - вот то геометрическое богатство, которым он обладает. Простейшие арифметические действия убедят вас, что гиперкуб пришел к нам в гости из сложнейшего четырехмерного мира, для него несправедлива формула Эйлера.

Итак, знакомство состоялось. Так и хочется задать "четырехмерцам" традиционный вопрос: "Ну как там?" Но гиперкуб молчит всеми своими восьмьюдесятью элементами, симплекс тоже безмолвствует, и нам остается лишь еще раз прибегнуть к испытанному приему - разбежаться перед прыжком: раз надо исследовать свойства четвертого измерения - отступим пока во второе.

"Гораздо легче найти ошибку, нежели истину",- писал великий Гёте. В 1884 году Эдвин Эбботт издал книгу, где справедливость этих слов доказывалась с наглядностью геометрического построения.

Книга его называлась "Флатланд - "Плосколяндия", и хотя она была чисто математической по содержанию, но вызвала много шума в разных кругах общества - автора упрекали даже в женоненавистничестве. И в самом деле, в воображаемой Плосколяндии, стране двух измерений, женщины были простейшей из фигур - прямой линией. Все остальные обитатели представляли собой различные многоугольники: рабочие и солдаты - треугольники, ремесленники - квадраты, джентльмены - пятиугольники, а священники были настолько многоугольными многоугольниками, что больше всего походили на круг. И вот в этот плоский, плоский, плоский мир является существо из третьего измерения - сфера. Квадрат (от его лица ведется рассказ) увидел перед собой священника, который вел себя самым противоестественным образом: он то раздувался, то сжимался. Сколько ни пыталась Сфера объяснить Квадрату, что все эти видимые им круги разного диаметра - это все она одна, когда проходит сквозь Плосколяндию вверх и вниз, он так и не смог вообразить себе трехмерную сферу, пронизывающую его двумерный мир.

Как можно убедить разумное существо, что ты посланец иных миров? Только продемонстрировав ему чудо. Здесь у нас с вами, как и у любого "трехмерца", самые широкие возможности. Ну что нам стоит вынуть плоскатика из его дома (а это просто замкнутая кривая), не разрушая стен? Извлечь содержимое плоского яйца, не протыкая его скорлупы? Произвести трансплантацию сердца любому гражданину Плосколяндии, не вскрывая его грудной клетки? Да просто, наконец, приподнять любой предмет в этой стране над плоскостью и тем самым "выключить" его из жизни и даже из поля зрения? И пусть плоскатики сочиняют свои басни о своих "летающих тарелочках".

Если две Плосколяндии удалены друг от друга на тысячи световых лет, но плоская лента их мира извивается в пространстве так, что одни ее участки оказываются поблизости один от другого, как по гравюре "Оболочка" голландского художника Маурица Корнелиса Эсхера, то мы легко можем перенести плоскатика из одной галактики в другую со скоростью, в тысячи раз превышающей "его" скорость света: ведь мы пронесем его через третье измерение.

Такие сказочные возможности несет в себе увеличение размерности мира всего на единицу. Это значит, что "четырехмерцы" так же всемогущи по отношению к нам, как мы - по отношению к "двумерцам". Скажем, нам не под силу надеть левую перчатку на правую руку или правый ботинок - на левую ногу. Но "четырехмерец" без труда мог бы унести на мгновение и перчатку, и ботинок в свое "лишнее" измерение и вернуть их оттуда симметрично отображенными. Первым до этого додумался в 1827 году Франц Фердинанд Мёбиус, человек, чье имя встретится нам еще не раз. В чем тут фокус - вопрос особый, и мы к нему еще вернемся, а пока подумайте: как бы вы могли помочь "двумерцам" обуться, если бы вдруг все их сапожники стали делать туфли только на одну - левую или правую - ногу?

Поцелуй по расчету

Новое измерение таит в себе такие невероятные возможности, что в сознании людей, не обретших твердого философского материалистического фундамента, не могло не вызвать потусторонних мыслей. В 1879 году вышла книга астронома и физика Иоганна Карла Фридриха Цёльнера "Трансцендентная физика". Он развил стройную "теорию" о том, что все покойники должны встречаться в четвертом измерении, которое Цёльнер представлял себе как некую комбинацию Элизиума и Валгаллы - рая и ада.

Этого немецкого ученого можно заподозрить в чем угодно, только не в желании прослыть остряком - он все писал и делал всерьез, что ярко проявилось в истории с Генри Слейдом. В то время Европа упивалась спиритизмом. Слейд как раз и был одним из кумиров околонаучных гостиных. Сей загадочный американец утверждал, что постоянно держит связь с четвертым измерением и охотно демонстрировал свой любимый фокус: завязывал узел на соединенной в кольцо веревке или ленте.

(Как это может сделать существо "высшего порядка", видимо, вообразить себе не так уж сложно, а технология, примененная Слейдом, подробно рассмотрена в книге Гарри Гаудини "Фокусник среди спиритов" и даже в "Трудах Американского общества психиатров". Вместе с этими двумя разоблачительными работами появилась и одна защитительная, написанная "отцом" Шерлока Холмса Артуром Конан Дойлем. Она называлась "История спиритизма", и Слейд в ней выглядит не шарлатаном, а чудотворцем. Если добавить к этому, что и "Труды", и обе книги появились уже в двадцатых годах нашего века, станет понятным, насколько глубокое и длительное впечатление производили заигрывания Слейда с четвертым измерением.)

Цёльнер решил организовать эксперимент по всем правилам науки. Он предложил Слейду превратить морскую раковину, закрученную левой спиралью, в точно такую же, но только зеркально отображенную с правой спиралью. Кроме того, Цёльнер принес на спиритический сеанс немного виннокаменной кислоты с "правым" пространственным расположением молекул и попросил преобразовать ее в кислоту с "левым" расположением тех же молекул. Разумеется, для человека, который запанибрата с четвертым измерением, сделать все это не сложнее, чем завязать узел на соединенной в кольцо ленте. Но, с точки зрения фокусника, тут есть свои трудности - надо суметь синтезировать новую кислоту или же, что еще сложнее, найти симметричную данной морскую ракушку.

Поцелуй по расчету

Конечно, ничего у Слейда не получилось. Но Иоганн Карл Фридрих Цёльнер был слишком серьезным ученым (и слишком легковесным философом), чтобы отказаться от своей "теории" потусторонней физики или заподозрить всемирно известного спирита в элементарной подтасовке. Раз узел появлялся, рассуждал, он, значит, есть и контакт с четвертым измерением. А раз есть четвертое измерение, то, значит, там обитают души умерших...

Вообще сама идея четвертого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков, служила пищей для самого дикого суеверия. Любопытно, что происхождение ее связано с Платоном, самым крупным древнегреческим философом-идеалистом, с именем которого нам много раз предстоит встречаться на страницах этой книги, поскольку оно было присвоено целой группе геометрических тел - вполне материальных, не несущих в себе даже тени идеалистического мировоззрения. Так вот именно Платон в своей "Республике" повествует о прикованных у входа в пещеру пленниках, которые могут видеть лишь противоположную стену ее и на ней свои тени и тени предметов, случайно оказывающихся у них за спиной. Эта невыносимая жизнь длится столь долго, что несчастные в конце концов начинают считать тенями самих себя, да и весь мир кажется им миром теней некоего иного внеземного и более совершенного мира - мира идей.

Неоплатоники, черпавшие свои мистические воззрения не только у своего учителя, но и из различных восточных религиозных учений, развили представление о реальном мире как о тени, отбрасываемой миром потусторонним. Есть мнение, что само выражение "четвертое измерение" (quarta dimensio) появилось впервые в сочинении английского мистика, кембриджского неоплатоника Мора в его книге "Энхиридион Метафизикум", изданной в 1671 году.

Представители различного рода религиозных культов усердно заселяли четвертое измерение (вообще говоря, с точки зрения строгой геометрии правильнее было бы такое выражение: пространство, имеющее четыре измерения) душами усопших. Верующим сообщались и многочисленные доказательства того, что дело обстоит именно таким образом. При этом мистики иудаизма приводили цитаты из каббалистических книг "Зохар" и "Сефер Ецира", где повествуется о явлении душ умерших в наш мир и о творимых ими чудесах; мусульманские проповедники ссылались на некоторые суры Корана и хадисов - священных преданий; идеологи христианства находили неотразимые, по их мнению, свидетельства в Евангелии и апокрифах - библейских книгах, не признаваемых священными официальной церковью. К примеру, во "Втором Послании апостола Павла к Коринфянам" речь идет о человеке, который был "взят до третьего небосвода", что толковалось как безусловное и очевидное перемещение его в четвертое измерение. В его же "Послании к Эфесянам" говорится о "ширине, длине, глубине и высоте", другими словами, о всех четырех измерениях "мира духов". А в "Откровении Иоанна" - "Апокалипсисе" - сказано, что лично сам Иоанн был "вознесен в духе" и при этом увидел "город четырех-квадратный". Ясное дело, что перед его очами предстал гиперкуб, притом именно четырехмерный!

Нет, не математики или физики виновны в том, что идея четырехмерного пространства дала пищу для всякого рода чертовщины. Забавно: Клейну пришлось публично объяснять, что сделанное им математическое открытие (смысл которого сводится к тому, что узлы замкнутой кривой в пространстве трех измерений могут быть развязаны в пространстве четырех измерений) никакого отношения к "миру духов" не имеет, хотя Цёльнер и ссылался именно на эти работы Клейна. Позже даже Эйнштейну пришлось отмежевываться от разного рода мистических спекуляций на понятиях о четырехмерном пространстве Минковского, кривизне пространства-времени и других рожденных теорией относительности представлениях.

Громя в "Материализме и эмпириокритицизме" махизм за отрицание объективной реальности, В. И. Ленин тоже не обошел вниманием этот вопрос. По его мнению, австрийский физик Мах, пользуясь методами "...молчаливых заимствований у материализма...", совершенно справедливо защищает в своей "Механике" "тех математиков, которые исследуют вопрос о мыслимых пространствах с n измерениями, защищает от обвинений в том, будто они повинны в "чудовищных" выводах из их исследований". И далее В. И. Ленин, цитируя и ссылаясь на Маха, пишет: "Новейшая математика... поставила очень важный и полезный вопрос о пространстве с п измерениями, как о мыслимом пространстве, но "действительным случаем" (ein wirklicher Fall) остается только пространство с 3-мя измерениями... Поэтому напрасно "многие теологи, испытывающие затруднения насчет того, куда им поместить ад", а также спириты пожелали извлечь для себя пользу из четвертого измерения..."

В. И. Ленин назвал "прекрасным аргументом" следующее утверждение Маха: "Акушера такого еще не было... который бы помог родам при помощи четвертого измерения". Но этот аргумент, говорит В. И. Ленин, прекрасен только "...для тех, кто видит в критерии практики подтверждение объективной истины, объективной реальности нашего чувственного мира. Если наши ощущения дают нам объективно верный образ внешнего мира, существующего независимо от нас, тогда этот довод с ссылкой на акушера, с ссылкой на всю человеческую практику, годится. Но тогда весь махизм, как философское направление, никуда не годится".

Геометрическая идея n-мерности, как видим, имеет длительную и бурную философскую предысторию.

С помощью этой идеи и многие другие науки пытались разрешить свои трудности и неясности. Например, протекание электрического тока до открытия электрона некоторые физики объясняли некими четырехмерными вихрями. Существовали одно время представления и о четырехмерной химии. Английский химик Хинтон утверждал, что в молекуле алкоголя С₅Н₁₂О все пять атомов углерода находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, что, разумеется, невозможно в нашем трехмерном мире, но зато легко осуществимо в пространстве четырех измерений. На самом же деле, как теперь известно, структурно молекула алкоголя выглядит так:

Но те, кто верил в "четырехмерную химию", упорно считали, что оптическая изомерия, то есть существование соединений одинакового химического состава, но только имеющих кристаллы, зеркально расположенные в пространстве относительно друг друга, свидетельствует о существовании и четвертого измерения тоже. Любопытно и поучительно, что решительный шаг в научном объяснении оптической изомерии был сделан крупным русским химиком А. М. Бутлеровым, который был ревностным сторонником спиритизма. Однако, создавая свою теорию строения химических соединений, он ясно видел, что для того, чтобы двум оптическим изомерам "поменяться местами", то есть превратиться в зеркально отраженные, нет никакой необходимости в четвертом или каком либо ином измерении.

"Тем, кто хорошо знаком с пятым измерением, ничего не стоит раздвинуть помещение до желательных пределов. скажу вам больше, уважаемая госпожа, до черт знает каких пределов!"- самодовольно говорит Коровьев в "Мастере и Маргарите". Неуемная фантазия Булгакова не удовлетворилась даже четвертым измерением - ему понадобилось пятое.

Фантасты тоже не обошли "мир иной" своим вниманием. Первым среди них был, видимо, Герберт Уэллс. Школьный учитель Готфрид Платтнер, герой рассказа Уэллса "История Платтнера", изобрел желтый порошок, который, взорвавшись, забросил изобретателя в четвертое измерение. Через девять дней жизни там Платтнер споткнулся, у него в кармане разбилась бутылка с тем же порошком, и он очутился дома, без потерь и происшествий, если не считать того, что сердце у него переместилось в правую часть грудной клетки, а сам он стал писать левой рукой, да вдобавок зеркально. "Люди как боги" - другое произведение Уэллса, в котором "действует" четвертое измерение. Уэллс лишь открывает список фантастов, которых увлекла эта тема. В этом списке стоят имена многих других знаменитостей этого увлекательного жанра литературы.

Но попробуем остаться на почве реальных фактов Наша мысль рвется в четвертое измерение, а освоили ли мы свое собственное, третье? В полной ли мере познали мы его геометрические свойства и все ли три пространственные координаты - длина, ширина и высота - нам одинаково близки и понятны?

"Геометрия - это интуиция",- определение Гельмгольца не претендует на строгость, но зато оно глубоко по мысли. "Вообразить геометрические отношения интуитивно,- считал он,- это значит выразить те следствия, которые встретятся в мире, где эти отношения имеют силу". Но вот что пишет немецкий философ Ганс Рейхенбах: "Пользуясь нашей геометрической интуицией, мы ограничены своим личным опытом: точками, линиями, площадями, объемом и т. п. Более сложный опыт - это положение точки на прямой или в объеме, пересечение линий в точке, расположение сферы в объеме. Наша интуиция имеет вообразительную функцию, связанную с нашим прошлым чувственным опытом,- например, треугольник, нарисованный на стене, дорожный знак или часть орнамента в виде треугольника. Но вместе с тем у нее есть и нормативная функция, которая не позволяет нам взглянуть на одну и ту же идею с разных сторон".

Вот простейший пример. Дана замкнутая кривая - круг или квадрат. Требуется чисто умозрительно, без карандаша и бумаги, решить: можно ли соединить две точки - одну внутри кривой, другую вне ее, но так, чтобы не пересечь замкнутой кривой.

Представив себе этот элементарный чертежик и немного поразмыслив, мы уверенно утверждаем, что задача невыполнима. Это сработала нормативная функция воображения. Дело в том, что наш "внутренний взор" несет в себе евклидову плоскость - лист бумаги. Конечно же, на листе не соединишь две точки, не перечеркнув кривую, охватывающую одну из них. Но кто говорил нам о типе поверхности, на которой предстоит решать задачу? А если это не плоскость, а, скажем, бублик или автомобильная шина - все получается легко и просто.

Человек слишком привык к двумерному миру. Наша "вообразительная" интуиция тут никогда нас не подводит. Но как только дело доходит до пространственных представлений, она начинает хромать. Высоту дома оценить куда труднее, чем его длину или ширину. А сказать, как далеко находится самолет или облако, неподготовленный человек не может даже приблизительно. Третьей координатой - не то что четвертой!- нам еще овладевать и овладевать.

Причина тут не психологическая, а чисто физиологическая. Все дело в устройстве наших глаз. Когда мы смотрим на удаленный предмет, особые мускулы изгибают хрусталик глаза - естественную линзу, чтобы изменить ее фокусное расстояние и дать нам увидеть предмет отчетливо. Если же мускулы устали, то приходится заводить очки и менять фокусное расстояние искусственно. Наводка на резкость фотокамеры - полная аналогия этому процессу, который в физиологии называется аккомодацией.

И еще в каждом глазе есть группа из шести мускулов, которые поворачивают его таким образом, чтобы направления взгляда правого и левого глаза пересекались в одной точке. Это называется конвергенцией. Так создается бинокулярный эффект - мы видим мир объемным. Стереоскоп, в котором рассматривают "выпуклые" картинки, построен по этому же принципу.

Поцелуй по расчету

"Третье измерение мы обнаруживаем с помощью аккомодации и конвергенции. восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия, которое мы испытываем при аккомодации каждого глаза, и ощущению усилия, которое возникает в обоих глазах, когда они настраиваются на нужный угол сходимости - то есть при их конвергенции. оба эти ощущения мускульные, они совершенно непохожи на зрительные ощущения, которые позволяют нам воспринимать первое и второе измерения",- это пишет не физиолог, а математик, притом известнейший - Анри Пуанкаре. Впрочем, любой из нас сам мог бы прийти к подобным выводам на основе собственного опыта. Мы видим плоскую картину, улавливаем игру света и тени, краски, взаимное расположение фигур и цветовых пятен на ней - и все это зрительные ощущения. Панорама же требует от наших глаз включить мускульный аппарат аккомодации и конвергенции, и мы мгновенно ощущаем его работу. Но интуиции на мускульные усилия, как и на пространственное расположение фигур, у человека еще не выработалось.

Внимательно всмотритесь в гравюры Маурйца Эсхера "Куб и волшебные ленты", "Выпуклое и вогнутое", "Поднимаясь и опускаясь", "Бельведер" и "Водопад". Вы увидите, какие шутки способны сыграть с нами наше восприятие пространства и объема.

Ленты поистине магические - "протуберанцы" на них вы можете по своему произволу считать знаком и выпуклости, и вогнутости. Стоит изменить точку зрения, и лента на рисунке вдруг на глазах перекрутится. Подобные же шутки позволяют себе и целые архитектурные детали.

Поцелуй по расчету

Улыбающийся юноша на приставной лестнице, стоя у ее подножия, был "внутри" "Бельведера", удивительной конструкции. Теперь, когда он поднялся почти до самого верха, он опять "снаружи" и должен преодолеть еще несколько ступенек, чтобы вновь оказаться "внутри" "Бельведера". Как это могло случиться?

Если вам не удастся разгадать эту геометрическую шараду самому, обратитесь за помощью к человеку, изображенному внизу гравюры сидящим на скамье. Перед ним чертеж - проекция куба на плоскость. Кружочками отмечены точки, где пересекаются проекции граней. Но какая из них впереди, а какая сзади? Если отказаться от единственно возможного на первый взгляд ответа на этот вопрос, то получится кубоид - геометрическая модель "Бельведера", которую Человек-на-скамейке держит в руках.

Еще ярче демонстрирует ущербность нашего восприятия трехмерного пространства бесконечная лестница, по которой одни люди идут вверх, а другие - вниз по одним и тем ступеням! Или же непрерывно бегущая вверх вода в "Водопаде".

Английский ученый профессор Е. Р. Лайтвейт из Королевского колледжа науки и техники пытался научить своих подопечных изобретательству. Он считал, что главное - это развить воображение и прежде всего - пространственное. Надо уметь "видеть" невозможные вещи. Студентам демонстрировали, например, пространственный треугольник, который не может существовать в нашем мире (7). А уже знакомый нам кубоид выдавался за коробку, в которую можно складывать эти геометрические призраки (8). Или же будущим эдисонам показывали совсем уж чудовищный рисунок на него даже смотреть несколько секунд подряд невыносимо для здоровой психики! (9)

Поцелуй по расчету

"Утверждение о том, что человек обладает способностью зрительно воспринимать пространство, на первый взгляд кажется совершенно очевидным, однако более серьезный анализ этого вопроса, не обремененный стереотипными представлениями обыденного сознания, убеждает нас в том, что изучению психических механизмов, лежащих в основе нашей способности зрительно воспринимать пространство, должно предшествовать доказательство наличия такой способности",- пишет в своей книге "Зрительное восприятие пространства" советский исследователь А. Д. Логвиненко. Иными словами, не такой уж это простой вопрос о том, как мы видим пространство. И в самом деле, мы живем в трехмерном мире, а мысль наша между тем издавна привержена к двум измерениям. Когда Зевс решил найти середину мира, он поступил просто: послал двух орлов, летящих с одинаковой скоростью, к дальним концам мира и стал ждать, когда они встретятся на обратном пути. Точка встречи - это и есть середина мира. Плоского двумерного мира, каким он виделся Громовержцу.

Человечество пошло не по пути овладения третьим измерением, а по пути его "приручения": люди старались втиснуть объем в плоскость, изобразить окружающий мир на скале, песке или папирусе.

"В нашем трехмерном мире нет по-настоящему ни двумерных, ни четырехмерных вещей, ничто не абсолютно плоско, даже самое тщательно отполированное зеркало. но будем по привычке называть стену или лист бумаги плоскими. с ранних лет человек рисует на таких "плоскостях", чтобы дать впечатление о пространстве, глубине и объеме - так, словно это самая .простая вещь на свете, но разве это не абсурдно - нарисовать на бумаге несколько линий и сказать: "Это дом"?"- эти слова принадлежат Mayрицу Эсхеру. Взгляните на его гравюру "Балкон" - эту удивительную попытку вырваться в третье измерение. Вот что говорит о ней сам автор: "Будем помнить, что пространственное изображение квартала домов и солнца, сияющего над ним,- это чистая фикция: ведь бумага - не что иное, как плоскость, даже если она покрыта освещенными и затемненными участками. Но в порыве самонасмешки, словно издеваясь над собственной беспомощностью, художник сделал попытку разорвать единство плоской поверхности в центре рисунка. Он нанес по задней стороне его удар такой силы, что явно проступило вздутие. Впрочем, результат все равно равен нулю, потому что бумага так и осталась плоской..."

Поцелуй по расчету

Попытки "разорвать единство плоской поверхности" сделаны и в других гравюрах Эсхера: "Рептилии", "Дорические колонны", "Три сферы. I" и "Дракон". Третье измерение здесь буквально вырастает из второго - взаимосвязь видна со всей графической отчетливостью.

Вся беда в том, что мы сами живем в третьем измерении и поэтому смотрим на него "изнутри", наш объемный мир мы видим как бы плоским. Звучит парадоксально, но поместите лист бумаги с нарисованной на нем Плосколяндией и всеми ее обитателями точно на уровне глаз - и вы на секунду испытаете трагедию плоскатиков, обреченных жить в двух измерениях, но ощущать лишь одно. Ведь чтобы увидеть фигуру - квадрат ли, круг, им надо хоть немного "выскочить" из своей плоскости. Но это невозможно, и именно поэтому весь мир они воспринимают как одну сплошную "женщину" - прямую линию. Остается лишь обойти фигуру со всех сторон и ощупать ее, но только представители "низших классов" в Плосколяндии могут позволить себе, да и то изредка, столь вульгарное поведение. "Лучше плохо видеть, чем хорошо щупать!"- одна из первых заповедей воспитанного человека в этой стране.

В предисловии ко второму изданию своей книги Эдвин Эбботт отверг обвинения в женоненавистничестве, хотя и согласился с критиками, что он обрек плоскатиков на ужасную жизнь. Однако, заявил он, плосколяндцы обладают третьим измерением, но только оно вне их восприятия - ведь их мир одной толщины.

Поцелуй по расчету

Так не обладаем ли и мы в зачаточной форме четвертым измерением, несмотря на то что даже третье, не освоено еще нами полностью?

Вместо ответа на этот вопрос - несколько совсем уж поразительных фактов, связанных с пространствами более чем четырех измерений.

Помните спор Ньютона и Грегори о тринадцати шарах, касающихся четырнадцатого? Сколько таких целующихся гипершаров может быть в четырехмерном пространстве? Оказывается, 24. А в пространствах пяти, шести, семи, восьми измерений соответственно 40, 72, 126 и 240. Последнее число было найдено в конце прошлого века русскими математиками А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым и уже известным нам англичанином Форольдом Госсетом.

Но это не самое удивительное в парадоксах многомерности. Вот еще один и последний. Куб вместит в себя по диагонали квадрат, площадь которого больше площади одной его грани. В четырехмерный куб впишется обычный куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба. А в n-мерный куб с ребром в один миллиметр войдет океанский корабль и весь наш трехмерный мир, если только п достигнет нужной величины.

Попытайтесь представить себе эти непредставимые вещи - и вы услышите музыку сфер, о которой, собственно, и шла речь в этой главе.

Поцелуй по расчету

Математика - это большой город, 
чьи предместья не перестают 
разрастаться, в то время как 
центр периодически перестраивается, 
следуя каждый раз все более 
ясному плану и стремясь к все 
более и более величественному 
расположению, в то время как... 
старые кварталы с их лабиринтом 
переулков сносятся для того, чтобы 
проложить к окраине улицы все 
более прямые, все более 
широкие и удобные...

Никола Бурбаки

Поцелуй по расчету