149. Жуки

Представьте себе, что вам удалось поймать 25 жуков и рассадить их по одному на каждой клетке куска шахматной доски размером 5*5 (рис. 143). Давайте предположим теперь, что каждый жук переполз на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку этого куска доски. Как вы думаете, останутся ли при этом пустые клетки?

Рис. 143

Решение. Как бы жуки ни переползали, всегда останется пустая клетка. Действительно, назовем черными тех жуков, которые сначала сидели на черных клетках, а остальных назовем белыми. После того, как каждый жук переполз на соседнюю клетку, все черные жуки оказались на белых клетках. Мы имеем 13 черных жуков и только 12 белых клеток. Значит, на некоторой белой клетке встретятся по крайней мере два жука. Но тогда одна клетка доски останется пустой (ведь число клеток равно числу жуков).

Точно такой же ответ будет в случае любой квадратной доски с нечетным числом клеток. Подтвердить это можно аналогичным рассуждением.