114. Кто выбрал четное число?

Даны два числа - одно четное, другое нечетное, и предложено двум лицам взять одному четное число, а другому - нечетное, как кто пожелает. Угадать, кто выбрал четное, а кто - нечетное.

Вы предлагаете, например, Петру и Ивану два числа (одно четное и другое нечетное), например 10 л 9. Из них один уже без вашего ведома берет четное, а другой - нечетное число. Чтобы угадать, какое кто взял число, вы тоже возьмите два числа, четное и нечетное, например 2 и 3, предложите, чтобы Петр взятое им число умножил про себя на 2, а Иван свое число - на 3, после чего пусть они сложат полученные ими числа и скажут вам полученную сумму. Или же пусть скажут только, четное или нечетное число они получили после сложения, так как вам нужно знать только это. Если же хотите задачу сделать более непонятной, то выведайте это у них другим путем (предлагая, например, разделить полученную ими сумму на два и сказать, делится или не делится она нацело, и т. д.). Положим, вы узнали, что получилась четная сумма; тогда ясно, что число, умноженное на 3, было четное, т. е. Иван взял четное число 10, а Петр - нечетное 9. Если же после сложений у них получилась нечетная сумма, то ясно, что тот взял нечетное число, кому вы предложили умножить его число на 3.

Доказательство. Число, которое умножается на 2, дает всегда четное произведение. Следовательно, сумма обоих произведений четна или нечетна, смотря по тому, будет ли четное или нечетное другое произведение. Но если число множится на нечетный множитель, то произведение будет четным, если множимое четно, и нечетным, если нечетное множимое. Итак, по сумме обоих произведений можно судить, четно или нечетно то число, которое множится на нечетный множитель.