113. Угадать задуманное число, ничего не спрашивая у задумывающего

Предложите кому-либо задумать число, затем пусть он умножит задуманное число на произвольно выбранное вами число, к этому числу пусть он прибавит любое данное вами число и полученную сумму разделит на данное вами же произвольное число. В то же время данный вами множитель разделите в уме на данный делитель,- сколько единиц и частей единицы заключается в полученном частном, столько раз предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число, и вы тотчас же скажете ему остаток, который он получил. Этот остаток всегда равен частному, полученному от деления того числа, которое вы дали, чтобы прибавить к произведению, на данный вами же делитель.

Пример. Пусть кто-нибудь задумает 6; предложите ему умножить его на 4, получится 24; предложите прибавить 15; получится 39. Пусть разделит на 3; получится 13. Деля в уме в то же время 4 на 3, вы получаете ⁴/₃, или 1 ¹/₃. Поэтому предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число да еще одну треть этого числа (т. е. шесть да еще два - всего восемь): 13 - 8 = 5, остается 5. Тот же результат получится, если вы данное вами число 15 разделите на данный вами же делитель 3.

Доказательство. Действия, которые производятся в данном случае над задуманным числом п, можно выразить так: ^na+b/_c, а это выражение можно представить в виде ^na/_c + ^b/_c. Ясно, что, вычитая n^a/_c, получим остаток ^b/_c.

Замечание. Настоящая задача решена здесь в довольно общем виде. Употребляется часто такой частный случай ее. Заставляют удваивать задуманное число, затем прибавлять к результату произвольное, но четное число, затем заставляют полученную сумму делить на 2 и из частного вычитать один раз задуманное число. Остаток, конечно, всегда получится равным половине прибавленного раньше четного числа. Очевидно, однако, что интереснее решать задачу в общем виде. Тем более, что при этом можно практиковаться в дробях. Если же почему-либо нежелательно получать дроби, то всегда возможно подобрать такие числа, чтобы дробей не получалось.