112. Угадать несколько задуманных чисел

I. Пусть кто-нибудь задумает нечетное число каких-либо чисел, т. е. 3, или 5, или 7, или 9 и т. д. чисел, и пусть он скажет вам сумму первого и второго чисел, затем суммы второго и третьего, третьего и четвертого и т. д., наконец, сумму последнего из задуманных им чисел и первого.

Возьмите эти суммы в том же порядке, как они сказаны вам, и сложите вместе все те, которые стоят на нечетных местах (т. е. 1-ю с 3-й, с 5-й и т. д.), а затем сложите все те, которые стоят на четных местах (т.е. 2-ю с 4-й, с 6-й и т. д.), и вычтите из первого результата второй. Остаток и даст удвоенное первое задуманное число. Беря половину этого остатка, получаем само число. Зная его, нетрудно найти остальные числа, так как суммы первого и второго, второго и третьего и т. д. известны.

Доказательство. Пусть задуманные числа будут а, b, с, d, е. Даны суммы а + b, b + с, с + d, d + e, e + а. Складывая суммы, стоящие на нечетных местах, получим a + b + c + d + e + a и, складывая суммы, стоящие на четных местах, получим b + с + d + е.

Вычитая из первой суммы вторую, получаем 2а. Половина этого числа есть первое из задуманных чисел а. Вычитая а из а + b, получим b т. д.

II. Если же кто-нибудь задумает четное число чисел, то, как и выше, пусть он скажет суммы задуманных чисел по два (первого со вторым, второго с третьим и т. д.), но в конце пусть объявит сумму не последнего с первым задуманным числом, но последнего со вторым. После этого опять нужно сложить все суммы, стоящие на нечетных местах, кроме первой затем все суммы, стоящие на четных местах, и из второго результата вычесть первый. Остаток и даст удвоенное второе задуманное число.

Доказательство. Пусть задуманы числа а, b, с, d, e, f, Даны суммы а + b, b + с, с + d, d + e, е + f, f + b. Суммы, стоящие на нечетных местах, за исключением первой, дают с + d + e + f. Суммы, стоящие на четных местах, дают b + c + d + e + f + b. Разность между этой суммой и предыдущей есть 2b; половина этого числа и есть задуманное второе число b. Остальные числа найти уже легко.

Замечания. Можно эти задачи решать иными способами, из которых укажем на следующие.

Пусть число задуманных чисел будет нечетное.

Сложив все данные суммы и разделив полученное число пополам, найдем сумму всех задуманных чисел. Если же задумано четное число чисел, то сложим все данные суммы, кроме первой, результат поделим пополам и получим сумму всех задуманных чисел, кроме первого. Но, зная сумму всех задуманных чисел, легко найти в данном случае каждое число в отдельности. Пусть, например, задуманы числа 2, 3, 4, 5, 6. Суммы, которые даются, будут: 5, 7, 9, 11,8. Складывая эти числа, получим 40. Половина этого числа (20) и есть сумма всех задуманных чисел.

Зная теперь, что сумма 2-го и 3-го задуманных чисел есть 7, а сумма 4-го и 5-го чисел есть 11, вычитаем 7 + 11 = 18 из 20 и получаем первое задуманное число 2 и т. д.

Подобным же образом надо поступать и в том случае, когда задумано четное число чисел.

Можно узнавать числа и так. Если кто-либо задумает 3 числа, предложите ему сказать их суммы по два, как объяснено выше; если он задумал 4 числа, предложите ему сложить их по три и сказать вам суммы; если задумано 5 чисел, предложите сложить их по четыре и сказать вам суммы и т. д. Затем, чтобы отгадать задуманные числа, нужно руководствоваться следующим общим правилом.

Все известные суммы сложить и полученный результат разделить на число, единицей меньшее числа задуманных чисел. Полученное частное и есть сумма всех задуманных чисел. После этого уже нетрудно найти каждое число в отдельности. Пусть, например, задуманы 3, 5, 6, 8. Суммы по три будут 3 + 5 + 6 = 14, 5 + 6 + 8 = 19, 6 + 8 + 3 = 17, 8 + 3 + 5 = 16. Складывая эти суммы, получаем 66. Эту сумму надо разделить на 3 (т. е. на число, единицей меньшее числа задуманных чисел). Получается 22 - сумма всех задуманных чисел. Если теперь из 22 вычесть 14, получим последнее из задуманных чисел (8); вычитая 19, получаем первое (3) и т. д. Понять и доказать все это нетрудно.

Желающим предоставляем доказать, почему в случае четного числа задуманных чисел нельзя брать попарно суммы так, чтобы последняя состояла из последнего задуманного числа плюс первое, а непременно надо так, чтобы складывать последнее и второе из задуманных чисел.