115. Та же задача с двумя взаимно простыми числами

Предложите двоим заметить любое из данных двух чисел, но таких, чтобы эти числа были между собой взаимно простые, как, например, 9 и 7, и, кроме того, чтобы одно из них было составное (как в данном примере 9). Множителями, на которые вы хотите, чтобы умножили замеченные числа, возьмите также два взаимно простых числа, но таких, чтобы одно из них содержалось целое число раз в одном из чисел, данных на выбор. Например, если взять 3 и 2, то эти числа и взаимно простые и 3 есть множитель 9. Вслед за тем предложите одному умножить выбранное им число на 2, а другому - на 3, сложить результаты и сказать вам или полученную сумму, или же сказать, делится ли эта сумма нацело на тот данный вами множитель, который, в свою очередь, содержится в одном из предложенных вами на выбор чисел. (Например, во взятом нами примере узнать, делится ли число на 3.) Узнав это, сразу можно определить, кто какое число заметил. В самом деле, если полученная сумма делится на 3, это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, т. е. 7; наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, т. е. 9. Точно так же поступают и в тех случаях, когда берутся и предлагаются другие числа, лишь бы они удовлетворяли изложенным выше условиям.

Доказательство. Пусть А и В - взаимно простые числа и два других а и с - тоже взаимно простые числа, причем А кратно числу а. После соответствующих умножений может получиться сумма Ac + Ва или Аа + Вс. Ясно, что первая сумма делима на а, вторая же - нет. Следовательно, В умножится или не умножится на а, смотря по тому, делима или неделима на а сумма, полученная задумавшими после соответствующих умножений и сложения.