107. Четное число

Задумайте четное число. Утройте его. Возьмите половину полученного числа и опять утройте ее. Если Вы скажете, чему равно частное от деления найденного числа на 9, то я назову задуманное число.

Пример. Задумано 6. После утроения получается 18. Половина этого числа равна 9. Утроив, получаем 27. Если теперь разделить на девять, то получится 3, т. е. половина задуманного числа.

Доказательство. Если задумано четное число 2n, то, проделав с ним указанную последовательность действий, получим

Удваивая частное n, получаем задуманное число 2n. Этот фокус можно показывать и в более общем виде, предлагая задумать произвольное целое число. При этом вводятся некоторые изменения.

Если утроенное задуманное число на два не делится, то к утроенному числу нужно сначала добавить 1, а потом разделить на два и действовать, как и ранее. Нужно также иметь в виду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавить 1.

Пример. Задумано число 5. Утраивая, получаем 15. Чтобы разделить пополам нацело, нужно прибавить 1, получится 16. Половина от 16 равна 8, утроив, получаем 24. Частное от деления с остатком этого числа на 9 равно 2. Умножая это число на 2 и прибавляя 1, получаем задуманное число 5.

Проверим это правило для нахождения задуманного числа в общем случае. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2n + 1. Наши действия принимают вид

Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1, находим 6n + 3 + 1 = 6n + 4. Разделив это число на 2, получим 3n + 2. Далее, (3n + 2)*3 = 9n + 6.

Частное от деления 9n + 6 на 9 равно n (а остаток равен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2n + 1.

Если вы показываете этот фокус в первый раз и утроенное число на 2 не делится, то ваш товарищ обязательно спросит: "А что делать, если число на 2 не делится?" Этот вопрос укажет вам, что при угадывании нужно удвоенное частное увеличить на единицу. Вы можете и сами спросить, разделилось ли число на 2. Нужно только, чтобы этот вопрос прозвучал как попытка помочь вашему товарищу в выполнении арифметических действий и он не заподозрил бы, что его ответ на этот вопрос поможет вам в угадывании задуманного, числа.