108. Видоизменение предыдущей задачи

Утроить задуманное число, затем взять половину произведения; если же произведение получится нечетное, то прибавить к нему единицу и потом разделить пополам. Утроить снова эту половину, затем взять половину полученного числа, прибавляя, как выше, 1, если от умножения на 3 получится нечетное число. Затем надо спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и частное умножить на 4. При этом нужно иметь в виду, что если при делении на два в первый раз приходилось прибавлять 1, то угадывающему нужно тоже держать в уме 1, а если при делении и во второй раз приходилось прибавлять 1, то нужно запомнить еще 2. Следовательно, если оба раза деление на 2 не могло быть выполнено нацело без прибавления 1, то, умножив частное на 4, нужно к полученному числу прибавить еще 3; если же деление пополам нацело не выполняется только в первый раз, то прибавляется 1, а если только во второй, то прибавляется 2.

Пример. Задумано 7; утраивая, получим 21; чтобы разделить пополам нацело, надо прибавить 1; прибавляя ее и деля 22 пополам, получим 11; по утроении получим 33; чтобы взять половину, опять нужно прибавить 1, после чего получим 34, половина этого числа есть 17. Здесь 9 содержится только 1 раз. Следовательно, нужно взять число 4 и к нему прибавить еще 3, так как деление и в первом и во втором случае совершалось лишь после прибавления 1. Получается: 4 + 3 = 7, т. е. задуманное число.

Доказательство. Всякое число может быть представлено в одной из следующих форм: 4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3, где букве n нужно придавать значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.

1) Возьмем сначала число вида 4n и произведем над ним указанные выше дедствия. Получается

2) Для числа вида 4n + 1 получим

Частное от деления 9n + 3 на 9 равно n, и, пользуясь правилом, мы угадываем число 4n + 1.

3) Для числа вида 4n + 2 имеем

Частное от деления 9n + 5 на 9 равно n, и, прибавляя к 4n число 2 (деление нацело не выполнилось только во второй раз), получаем задуманное число.

4) Для числа вида 4n + 3 имеем

Частное от деления 9n + 8 на 9 равно n, и, поступая с ним, как указано в условии, находим задуманное число 4n + 3.

Таким образом, всегда получается задуманное число.