100. Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше - у земного шара или у апельсина?

Решение. "Здравый смысл" подсказывает такой ответ: "Конечно, у апельсина образуется больший зазор, чем у Земли! Ведь в сравнении с окружностью земного шара - 40 000 км - какой-нибудь один метр есть столь ничтожная величина, что прибавка ее останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью один метр - огромная величина, и прибавка ее к длине окружности должна быть весьма ощутима".

Однако давайте проверим наше заключение с помощью вычислений. Пусть длина окружности земного шара равна С, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = ^C/_2π и радиус апельсина r = ^c/2π. После прибавки к обручам одного метра окружность обруча у Земли будет С + 1, а у апельсина с + 1, радиусы же их соответственно будут ^{C + 1}/_2π и ^{c + 1}/_2π. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же приращение:

Итак, у Земли и у апельсина получится один и тот же зазор в ¹/_2π метра, т. е. примерно 16 см. Столь "поразительный" результат есть следствие постоянства отношения длины любой окружности к ее радиусу.