80. Правильный шестиугольник

Из квадрата получить правильный шестиугольник.

Решение. Перегибаем квадрат через середины противоположных сторон (рис. 74). Получаем линии АОВ и COD. На сгибах АО и ОВ строим известным нам уже способом равносторонние треугольники АОE, AON, BOF, BOG.

Рис. 74

Делаем сгибы EF и NG.

Многоугольник AECFBGDN и будет правильным шестиугольником, в чем каждый без труда убедится сам. Наибольшее расстояние между точками многоугольника есть, очевидно, АВ.

На рис. 75 представлен образец орнамента из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников, который вы теперь легко можете построить сами.

Рис. 75

Можно, в свою очередь, разделить шестиугольник на равные правильные шестиугольники и равносторонние треугольники (рис. 76), делая перегибы через точки, делящие его стороны на три равные части. Получается красивый симметричный орнамент.

Рис. 76

Можно получить шестиугольник еще и следующим путем. Возьмем равносторонний треугольник и перегнем его так, чтобы все его вершины сошлись в центре.

Из того, что мы уже знаем о равностороннем треугольнике, нетрудно вывести, что сторона полученного шестиугольника равна ¹/₃ стороны взятого равностороннего треугольника. Площадь же этого шестиугольника равна ²/₃ площади взятого треугольника.